7.10Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 6751 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Если мы положим ^+	^
F	= F , что обычно имеет место, мы получим важное следствие

Ур. (7.406) принцип детального баланса, утверждающий, что вероятность квантового перехода n ! k равна вероятности обратного перехода k ! n.

d3r 02e iqr

d3r 02e iqr

11.03.2022

Мы рассматриваем решение уравнение Шр¼дингера с потенциалом, зависящим от времени,

i~	@		^
i~	@t	n(x; t) = H n(x; t)
	^		^	^
		H = H0		+ V (x; t) :

Считаем, что о невозмущ¼нном гамильтониане мы вс¼ знаем

H0 i = i i ;

h ij i0i = ii0 :

Рассмотрим возмущение, действующее малый интервал времени

V^ (x; t) =	8 V^ (x; t) ;			0 t :
	<	0	;	t < 0
	<	0	;	t >
	:

(7.407)

(7.408)

(7.409)

(7.410)

(7.411)

Предполагаем, что мало.

Будем считать, что до включения возмущения, система находилась в стационарном

состоянии n.
В параграфе 7.8 мы получили, что волновая функция n(x; t)	состояния, которое
до включения возмущения описывалось невозмущ¼нной функцией	n (ñì. Óð. (7.300)),

может быть представлена в виде ряда нестационарной теории возмущений

n(x; t) =

akn(t)e

kt k(x) ;

akn(t) =

akn(0) + akn(1)(t) + O

V 2

;

akn(0)

= kn ;

akn (t) =

i~ Z0

dt0 ei!knt0 Vkn(t0) ;

(1)

n(x; t) = e

nt n(x) ; t 0 ;

!kn

k n

(7.412)

(7.413)

(7.414)

(7.415)

(7.416)

(7.417)

356

это вероятность найти си-

Физический смысл коэффициентов akn åñòü òî, ÷òî jakn(t)j2

стему, описываемую функцией n(x; t), в состоянии k в момент времени t. Соответсвено, эта вероятность для k 6= n с точностью до первых поправок по возмущению V имеет вид

Wn!k(t) = jakn(t)j2 = i1~

dt0 ei!knt0 Vkn(t0)	:	(7.418)

Заметим, что использованная теория возмущений имеет смысл только до того момента времени, пока вероятности меньше единицы: Wn!k(t) < 1.

Нас будут интересовать вероятности при t ! 1. В этом случае Ур. (7.418) примет вид

Wn!k(

) =

akn(

)

dt0 ei!knt0 Vkn(t0) 2

(7.419)

i~ Z

Если возмущение V^ мало, или, если оно действует

в течение короткого

момента време-

ни, то интеграл в Ур. (7.419) будет мал и мы сможем применять нестационарную теорию возмущений.

Рассмотрим теперь случай, когда возмущение включается в нулевой момент времени и продолжает затем действовать бесконечно долго, стремясь к постоянному оператору ^

ïðè t ! 1

	V^ (x; t) ;		t > 0
V^ (x; t) =	0	;	t 0	;	(7.420)
ãäå
^		^			(7.421)
tlim V (x; t)		= V (x) 6= 0 :			(7.421)
!1

Так как оператор ^

V (x) не зависит от времени, мы можем рассмотреть стационарные

состояния гамильтониана

^	^	~				~
H0	+ V (x) i(x)					= ~i i(x) ;
	h	~	j	~	i
				i0		= ii0 :
		i

(7.422)

(7.423)

В этом случае формула (7.415) оказывается неприменимой, так как стоящий там интеграл по времени является неопредел¼нным. Тем не менее, эта формула имеет ясный

357

физический смысл. Действительно, рассмотрим

akn

(t) =

i~ Z0

i~ i!kn Z0

dt0

@t0 ei!knt0 Vkn(t0)

dt0 ei!knt0 Vkn(t0) =

(1)

@t0 Vkn(t0)

dt0 ei!knt0

= i~ i!kn ei!knt0Vkn(t0) 0 i1~ i!kn Z

dt0 ei!knt0

Vkn(t0)

ei!kntVkn(t) +

~!kn

@t0

( k n)tVkn(t)

Vkn(t0) :

dt0 ei!knt0

n k

~!kn

@t0

(7.424)

(7.425)

(7.426)

(7.427)

Зметим, что первый член в (7.427) совпадает с поправкой к волновой функции, учи-

тывающей постоянное возмущение ^

V (x) (см. Ур. (7.53), (7.54)). Присутствие множите-

ëÿ e

( k n)t является следствием того, что функция

n(x; t) раскладывается по базису

(x)

(см. Ур. (7.412)), а не по базису

(x)

, как в Ур. (7.54). Поэтому первый

за сч¼т постоянного возмуще-

член определяет поправку к функции n(t < 0)

= ne ~

íèÿ ^

V (x).

Вероятность перехода определяется вторым членом при t ! 1

Wn!k	=		1	1dt0 ei!knt0
Wn!k	=	2	2	1dt0 ei!knt0
	~		!kn	Z
					0

@	Vkn(t0)	:	(7.428)
@t0

Интеграл в этой формуле должен сходиться и может быть мал, так как в виду Ур. (7.421)

@	Vkn(t0)	! 0 ; t0 ! 1 :	(7.429)
@t0

Важным случаем является постановка задачи, когда переход осуществляется в из

состояния дискретного спектра в состояние непрерывного спектра. Полученные формулы остаются верны и в случае, когда ~

k описывает состояние непрерывного спектра. Однако в этом случае физический смысл имеет вероятность перехода в состояния непрерывного спектра в интервале энергий [ k; k + d k]

1 Z dWn!k = ~2

dt0 ei!knt0Vkn(t0) d k : (7.430)

358

Предполагаем, что мало.

В случае внезапного включения возмущения производная

Нормировка функций непрерывного спектра определяется условием

d kh k j k0 i = 1 :

(7.431)

Часто рассматривают переход в состояния с импульсом в определ¼нном интервале или какой-то другой физической величины. При этом условие нормировки будет меняться, соответственно.

Рассмотрим медленное включение возмущения. Если возмущение ^

V (x; t) ìàëî ìåíÿ-

ется за промежутки времени 1=!kn, то значение интеграла в Ур. (7.428) и (7.430) будет мало. В пределе бесконечно медленного включения возмущения вероятность переходов с изменением энергии (с ненулевой частотой !kn) стремится к нулю. Таким образом, при достаточно медленном (адиабатическом) включения возмущения система, находившаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии, будет оставаться в том же состоянии.

Рассмотрим быстрое включение возмущения.

	V^ (x; t)	=	8	@t@	V^ (x; t)	;	0 < t	:	(7.432)
@			<	0		;	t 0
							t >
@t				0		;	t >
			:

@t@0 Vkn(t0) в момент включе-

ния становится очень большой. Тогда мы можем вынести медленно меняющийся множитель ei!knt0 (t0 = 0) на интервале времени, за который происходит включение,

Wn!k =

1dt0 ei!knt0

Vkn(t0)

(7.433)

@t0

!kn

dt0

Vkn(t0)

(7.434)

@t0

!kn

dt0

Vkn(t0)

(7.435)

@t0

!kn

Vkn

(7.436)

!kn

359

Рассмотрим вероятности перехода под влиянием внезапно включившегося возмущения с другой точки зрения. Пусть до включения возмущения система описывалась функцией n

^	n	= n n :	(7.437)
H0

Пусть время включения возмущения очень мало 1=!kn. Тогда за время волновая функция n не успевает измениться. Однако гамильтониан системы уже успел измениться

^	^	^	(7.438)
H	= H0	+ V (x) :	(7.438)

В новом гамильтониане состояние n уже не является стационарным. Вероятность найти

систему в стационарном состоянии		~
		k (ñì. Óð. (7.422)) åñòü
	Wn!k =			h~kj ni 2			(7.439)
Покажем, что при достаточно малом возмущении						эта формула переходит в Ур. (7.436).
Рассмотрим следующие равенства
		^	= nj ni ;				(7.440)
		H0j ni	= nj ni ;				(7.440)
	~	^				~	(7.441)
	h kjH0j ni		= nh kj ni				(7.441)
è
			~	^		~	(7.442)
		h kjH			= h kj~k ;		(7.442)
		~	^			~	(7.443)
		h kjHj ni			= ~kh kj ni ;		(7.443)
~	^	~	^			~	(7.444)
h kjH0j ni + h kjV j ni					= ~kh kj ni :		(7.444)

Вычтем равенства (7.441) и (7.444)

~ ^	~
h kjV j ni	= (~k n)h kj ni :

Воспользуемся малостью возмущения. С точностью до поправок порядка записать

h j^ j i h~ j i 2

k V n = ( k n) k n + O V :

			^		^
h	~		h kjV j ni	=	h kjV j ni	:
h	kj	ni	k n		~!kn

Получаем сдедующее выражение для вероятности перехода

				h			i	2	^	2
Wn	!	k	=		~k	n		=	jh kjV j nij		:
Wn		k	=		~k	n		=	~2!kn2		:
					j				~2!kn2

Оно совпадает с Ур. (7.436).

(7.445)

V 2 мы можем

(7.446)

(7.447)

(7.448)

360

7.11Примеры внезапного включения возмущения: тол- чок ядра атома

Рассмотрим пару процессов, представленных в [1] 41.

Ядро атома, находящегося в основном состоянии, испытывает внезапный толчок, в результате которого оно приобретает скорость v, длительность толчка предполагается

малой как по сравнению с электронными периодами, так и по сравнению с a=v, где a

атомные размеры. Определить вероятность возбуждения атома под влиянием такого

встряхивания .

Переходим к системе отсч¼та O0, движущейся вместе с ядром после удара. В силу условия a=v ядро можно считать практически не сместившимся за время удара, так что координаты электронов в системе O0 и в исходной системе O непосредственно после возмущения совпадают. Начальная волновая функция в системе O0 åñòü

~0	= 0 exp iq =1 r !	; q = m~ev ;	(7.449)
	Z

ãäå 0 волновая функция основного состояния при неподвижном ядре, а суммирование

âэкспоненте производится по всем Z электронам в атоме. Искомая вероятность перехода

âk-å состояние определяется теперь, согласно Ур. (7.439), формулой

W0!k

h~kj 0i

h kj exp

r !j 0i 2

(7.450)

В частности, если qa 1, то, разлагая экспоненциальный множитель под знаком интеграла и замечая, что интеграл h kj 0i = 0, получим

W0!k	=	h~kj 0i	2	=	h kjq	Z	r j 0i 2	:	(7.451)
						=1
						X

Определим теперь полную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода при внезапном встряхивании .

Искомую вероятность можно вычислить как разность

ãäå W0!0 вероятность атому остаться в основном состоянии. Волновая функция основного состояния имеет вид

(r) = ( a03) 1=2e r=a0 ;

(7.453)

361

ãäå a0 = 0:529 10 10 m боровский радиус. Вычислим интеграл

	Z	a03
	d3r 02e iqr =	1
		1
	=

		a03
	=	1

		a03
	=	1

		a03
	=	1

		a03

1		1	2
Z	dr r2	Z	d cos Z	'e 2r=a0 e iqr
0		1	0
1		1	2
Z	dr r2	Z	d cos Z	d' e 2r=a0 e iqr cos
0		1	0

2 dr r2e 2r=a0 d cos e iqr cos

(7.454)

(7.455)

(7.456)

(7.457)

(7.458)

=		1	2	1		(7.459)
	a03			( iq)

(2=a0

+ iq)2

dr(2=a0 + iq) r(2=a0 + iq)e r(2=a0+iq)

(7.460)

1dr(2=a0

iq)

r(2=a0

iq)e r(2=a0 iq)

(2=a

iq)2

(7.461)

a03 2

(7.462)

( iq)

(2=a0 + iq)2 (2=a0 iq)2

(2)

(2=a0 iq)2 (2=a0 + iq)2

a03

( iq)

(2=a0 + iq)2(2=a0 iq)2

(7.463)

( 8iq)=a0

:(7.464)

a03

( iq) (4=a02 + q2)2

a04(4=a02 + q2)2

1 + 41 q2a02 2

Мы использовали интегральное представление -функции

		1
(z)	=	Z0	dx xz 1e x ;	(7.465)
(n)	=	(n 1)! :		(7.466)

362

Получаем, что вероятность перехода в k-е состояние имеет вид

1 W0!0 = 1	1	:	(7.467)
	1 + 41 q2a02 2

В пределе qa0 1 эта вероятность стремиться к нулю как

1 W0!0 = q2a02 :

(7.468)

Вероятность возбуждения очень мала.

В пределе qa0 ! 1 вероятность возбуждения стремиться к единице

1 W0!0	= 1	qa0		8	(7.469)
				:
			2

Атом водорода скорее всего перейд¼т в возбужд¼нное состояние.

7.12Примеры внезапного включения возмущения: -

распад ядра атома

Рассмотрим процесс, представленный в [1] 41.

Определим вероятность вылета электрона из K-оболочки атома (1s-электроны) с большим атомным номером Z при -распаде ядра (n ! p + e + e). Скорость -частицы предполагается большой по сравнению со скоростью K-электрона.

В указанных условиях длительность прохождения электрона через K-оболочку мала

по сравнению с периодом обращения электрона, так что изменение заряда ядра можно считать мгновенным. Роль возмущения играет при этом изменение

1
V = r	(7.470)

поля ядра при малом (1 по сравнению с Z) изменении его заряда. То есть заряд ядра

почти мгновенно меняется на единицу.

Согласно Ур. (7.436), (7.473) вероятность перехода одного из двух электронов K- оболочки с энергией

	E1s =	Z2
E0 =			:	(7.471)
		2
в состояние непрерывного спектра с энергией
	p2			(7.472)
E	=

	2

363

в интервале dE = [E; E + dE] есть

1s!E

jh EjV j 1sij

dE = 2

jh EjV j 1sij

(7.473)

~2!EE2

(E E0)2

4jh EjV j 1sij

dE :

(7.474)

(p2 + Z2)2

Множитель 2 присутствует потому, что в K-оболочке есть два электрона (1s-электроны). Волновые функции электрона непрерывного спектра должны нормироваться на -функцию

от энергии.

Здесь используется атомная система единиц ~ = 1, jej = 1, me = 1. В атомной системе единиц c = 1= , где = e~2c 1371 постоянная тонкой структуры.

В интеграле, определяющем матричный элемент h j^ j i, существенна обобласть

E V 1s

близких ( 1=Z, см. Ур. (5.626))) расстояний от ядра, в которой для волновой функции 1s-электрона и состояния непрерывного спектра можно пользоваться водородоподобным выражением. Конечное состояние электрона должно иметь момент l = 0 (совпадающий

с моментом начального состояния, так как возмущение скаляр).

Волновые функции 1s-электрона (в атомных единицах) имеет вид (см. Ур. (5.616), (5.617))

		1			1
1s(r)	=			P10	(r)Y00( ; ') = 2Z3=2e Zr	p		;	(7.475)
			r
							4
Pn=1;l=0(r)	=	P10(r) = 2Z3=2re Zr :							(7.476)

Спиновую зависимость волновых функций будем опускать.

Волновые функции электрона непрерывного спектра (в атомных единицах) имеет вид (см. Ур. (5.677) Волновая функция P (r) имеет вид

(r)

(r)Y

( ; ') ;

(7.477)

Elml

lml

1=2

j (

+ 1

l+1

ipr

(7.478)

PEl(r)

(2 )

p iZ e

(2l + 1)!

(2pr)

F (l + 1 +

; 2l + 2; 2ipr) ;

(7.479)

h Elml j E0l0ml0i

ll0 mlml0

dr PE(r)PE0(r) = ll0 mlml0 (E E0) ;

(7.480)

p = 2E :

(7.481)

364

Для случая l = 0 волновая функция имеет вид

PE0(r)

(2 ) 1=2 p 1=2

(2pr)e ipr

e 2p

1 p

F (1 +

; 2; 2ipr) :

Рассмотрим отдельно -функцию

1=2

1 +

1=2

p p

Используя формулы

(1 + z) = z (z) ;

(1 z) (z)

;

sin( z)

получаем

1=2

= 2

sin

e p

31=2

= e

Z 2 Z

1 e

2 Z

Теперь можем записать функцию PE0 â âèäå

PE0(r) = (2 ) 1=2 p 1=2 e 2p e 2p				2	2 p	1			3		1=2
PE0(r) = (2 ) 1=2 p 1=2 e 2p e 2p				2	2 p	1		2 Z	3		(2pr)e ipr
			Z Z	4	Z					5
			Z Z
	iZ						1 e p
F (1 +		; 2; 2ipr)
F (1 +	p	; 2; 2ipr)

231=2

		4Z				iZ
=	4			5	re iprF (1 +		; 2; 2ipr) :
		1 e	2 Z			p
			p

(7.482)

(7.483)

(7.484)

(7.485)

(7.486)

(7.487)

(7.488)

(7.489)

(7.490)

(7.491)

365

h EjV^ j 1si =	h Ejr j 1si = Z0						d3r E+0 r 10 = Z0			dr PE	0 r P10		(7.492)
			1					1			1
	2				3		1=2
							1=2		1
=		1		e 2 pZ			2Z3=2		Z dr reiprF (1 p ; 2; 2ipr)r re Zr (7.493)
	4			4Z		5						iZ	1
								0
								0

231=2 1

16Z4

dr e r(Z ip)rF (1

; 2; 2ipr)

(7.494)

2 Z

231=2


=		16Z4			J 1	:	(7.495)
=	4 1 e			5	J 1	:	(7.495)
			2 Z
			p

Воспользуемся формулами [1] (f.1), (f.3)

		1
J	=	Z0	dz e zz F ( ; ; kz) ;	(7.496)
J 1	=	( ) ( k) :		(7.497)

В нашем случае

	= Z ip ;				(7.498)
	=	1 ;			(7.499)
	=	1	iZ	;	(7.500)

			p
	=	2 ;			(7.501)
k	= 2ip ;				(7.502)
	=	1 :			(7.503)

366

J 1 =

dr e r(Z ip)rF (1

p ; 2; 2ipr)

(2)(Z ip) 1 iZp (Z + ip) 1+ iZp

(Z ip) p (Z + ip) p

ip=Z) p (1 + ip=Z) p

(Z ip)(Z + ip)

(1 + ip=Z) p

Z2 + p2

Воспользуемся формулой

arctg

(1 + i )i=

exp 2

;

i= 2

ln(1+i )

ln(1

i )

1 + i

(1 + i )

= exp ln

i2'

exp

= exp

e i'

exp h 2

i ;

j1 i j ;

tg '

;

arctg :

Тогда мы можем записать

exp 2

arctg(p=Z)

(1 + ip=Z) p

p=Z

16Z4

31=2

h EjV j 1si

= 4

51=2 J

1 e 2 pZ

16Z

(1 +

2 Z

+ p

ip=Z) p

(7.504)

(7.505)

(7.506)

(7.507)

(7.508)

(7.509)

(7.510)

(7.511)

(7.512)

(7.513)

(7.514)

(7.515)

(7.516)

(7.517)

367

Получаем следующее выражение для вероятности (см. Ур. (7.474) )

dW1s!E

Введ¼м функцию

lim

							^				2
= 2		4jh EjV j 1sij										dE
			(p2 + Z2)2																		(1 + ip=Z)
																								iZ	4
=				8									16Z
=			2				2		2								2 Z				2 2			2
	(p		+ Z					)	2		1								3		(Z + p )
											1			e p										p
									4							4		5
			2	7	Z	4			4									5				iZ	4
			2		Z								1									iZ	4
=																			(1 + ip=Z) p					:
=	(Z2 + p2)4									1			e		2 Z									:
	(Z2 + p2)4									1			e		p


f( )			=				1 e 2 = exp											4				;
									1											arctg
f( ) =						exp( 4) = e 4 ;
f( )			=						:
f( )			=				2		:
							2

Тогда мы можем записать

	p		1		iZ	4
f		=		(1 + ip=Z) p
f	Z	=	1 e 2 Z=p	(1 + ip=Z) p
		=		exp 4			:
		=	1 e 2 Z=p	exp 4	p=Z		:
			1 e 2 Z=p		p=Z
			1		arctg(p=Z)

Выражение для вероятности примет вид

	27Z4		p	7			p
dW1s!E =		f		dE =	2	f		dE :
	(Z2 + p2)4		Z		Z4(1 + p2=Z2)4		Z

Рассмотрим предельные случаи

dW1s!E

;

E ! 0 ;

dW1s!E

27Z4 p

26Z3

; E ! 1 ;

p = 2E :

p8 2 Z

(7.518)

(7.519)

(7.520)

(7.521)

(7.522)

(7.523)

(7.524)

(7.525)

(7.526)

(7.527)

(7.528)

Результаты показывают, что вероятнее вылет электронов с малой энергией.

Полная вероятность ионизации K-оболочки получается интегрированием по всем энергиям вылетающего электрона. Численный расч¼т да¼т [1]

W =	0:65	:	(7.529)
	Z2

368

Видно, что чем больше Z, тем сложнее ионизировать 1s-электрон.

Заметим, что радиус K-оболочки в атомных единицах равен (см. Ур. (5.626))

r1s =	1	:	(7.530)
	Z

Получаем, что полное сечение ионизации пропорционально площади круга радиуса r1s.

369

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 6751 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf