Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 / 6750 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 > Следующая >>>

7.9Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения

04.03.2022

Мы рассматриваем решение уравнение Шр¼дингера с потенциалом, зависящим от времени,

i~	@			^
i~	@t	n(x; t) =		H n(x; t)
	^		=	^	^
		H	=	H0	+ V (t) :

Считаем, что о невозмущ¼нном гамильтониане мы вс¼ знаем

(7.333)

(7.334)

^	i	=	i i ;	(7.335)
H0
h ij i0i		=	ii0 :	(7.336)

В предыдущем параграфе мы получили, что при включении в момент времени t = 0

возмущения волновая функция состояния n (см. Ур. (7.300)), эволюционирует следующим образом

n(x; t)	=	Xk		akn(t)e			i	kt k(x) ;		(7.337)
n(x; t)	=	Xk		akn(t)e			~	kt k(x) ;		(7.337)
akn(t)	=	akn(0) + akn(1)(t) + O V 2							;	(7.338)
akn(0)	= kn ;									(7.339)
akn (t)	=		i~ Z0		t	ei!knt0 Vkn(t0) ;
akn (t)	=		i~ Z0		dt0	ei!knt0 Vkn(t0) ;				(7.340)
(1)			1
n(x; t)	=	n(x) ;				t 0 ;				(7.341)
ãäå
Vkn(t)		=				^				(7.342)
Vkn(t)		=			h kjV (t)j ni :					(7.342)

Квадрат модуля коэффициентов разложения ( akn(t)) имеет смысл вероятности найти систему в состоянии k в момент времени t

Wn!k(t) = jakn(t)j2 = 1

dt0 ei!knt Vkn(t)	:	(7.343)

348

Рассмотрим возмущение следующего вида

^	^	i!t
V (x; t) = F (x)e

Оператор ^

V (x; t) эрмитовский

+ F^+(x)e i!t :

(7.344)

^ +

(x; t)

(7.345)

V (x; t) :

Матричные элементы оператора ^

V (x; t) имеют вид

i!tj ni

= h kj

i!t

(

V^ (t)

F^(x)ei!t

F^+

x)e i!t

ei!t

(7.346)

j nie

(7.347)

= h kjF j nie + h kjF

Амплитуда перехода n ! k в первом порядке нестационарной теории возмущений равна (нулевой порядок равен нулю)

akn	(t) =	i~ Z0		t	Vkn(t)
akn	(t) =	i~ Z0		dt0 ei!knt0	Vkn(t)
(1)		1
		1	Z	t
	=	1		dt0 ei!knt0	h kjF^j niei!t + h kjF^+j nie i!t
	=	i~		dt0 ei!knt0	h kjF^j niei!t + h kjF^+j nie i!t
		0
				t				t
	=	1	h kjF^j ni Z0		dt0 ei(!kn+!)t0 +	1	h kjF^+j ni Z0	dt0 ei(!kn !)t0
	=	i~	h kjF^j ni Z0		dt0 ei(!kn+!)t0 +	i~	h kjF^+j ni Z0	dt0 ei(!kn !)t0

(7.348)

(7.349)

(7.350)

i(!kn+!)t

h kjF j ni

i(!kn + !)

(7.351)

i(!kn !)t

(7.352)

h kjF

j ni

i(!kn !)

j j

!kn+!

(7.353)

i k F n i(! + !)

+i1~h kjF^+j nii(!kn1 !)

2 t e i

t ei

(7.354)

i1~h kjF^j ni(!kn2+ !) sin !kn2+ ! t ei

(7.355)

!kn

+i1~h kjF^+j ni(!kn2

!) sin !kn2 ! t ei

t :

(7.356)

!kn

349

Вероятность перехода имеет вид

Wn!k =

akn(1)

(t)

!kn + !

F^ n

sin

(!kn

+ !)

!kn

F^+

sin2

~2(!kn

!)2

~2(!kn + !)(!kn !)

sin

!kn + !

t sin

!kn !

t ei!t

+h kjF j ni

h kjF

j ni

~2(!kn + !)(!kn !)

sin

!kn + !

t sin

!kn !

t e i!t :

Введ¼м две функции

sin2 xt

x2t

Ft(x)

;

t(x)

sin x2

Рассмотрим некоторые свойства этих функций

Ft(0)

;

t(0)

;

Ft(t) /

;

t ! 1 ;

åñëè

x 6= 0 :

sin2

x2t

dx Ft(x) =

sin2 y

= 1 ;

lim Ft(x)

(x) :

t!1

(7.357)

(7.358)

(7.359)

(7.360)

(7.361)

(7.362)

(7.363)

(7.364)

(7.365)

(7.366)

(7.367)

(7.368)

(7.369)

(7.370)

(7.371)

350

Построение -образных последовательностей обсуждалась в параграфе 2.8.4 (см. Ур. (2.243)).

sin

(7.372)

dx t(x)

= 1 ;

(7.373)

sin y

lim t(x)

(x) :

(7.374)

t!1

Такая -функция обсуждалась в параграфе 2.8.3. Заметим, что

tlim

t(!kn + !) t(!kn !)

= 0 ;

åñëè

!kn 6= 0 :

(7.375)

Действительно, даже при ! = !kn 6= 0 мы имеем

(!kn2

sin

kn2

tlim 1 t(!kn + !) t(!kn

tlim 1 sin

(7.376)

+!)t

!)t

!1 t

!1 t (!kn + !) (!kn !)

(7.377)

tlim 1 sin

(!kn2

+!)t

!1 t (!kn + !) 2

(7.378)

tlim sin (!kn2

+!)t

2 !1

(!kn + !)

(!kn

+ !) = 0 :

(7.379)

Вероятность перехода можно записать как

Wn!k =

akn

(t)

(1)

tFt(!kn + !)

~ 2

tFt(!kn

t(!kn + !) t(!kn

4 2

+h kjF j ni

h kjF

j ni

t(!kn + !) t(!kn

Рассмотрим случай, когда частота, с которой поле меняется со к j!knj

! j!knj :

(7.380)

(7.381)

(7.382)

!)ei!t (7.383)

!)e i!t : (7.384) временем ( !) близка

(7.385)

351

В этом случае членами (7.383), (7.384) можно пренебречь.

Wn!k(t)

h kjF^j ni

~22tFt(!kn + !)

(7.386)

(7.387)

2 tFt(!kn

!) :

Замечание: мы рассматриваем случай, когда возмущение мало и, соответственно, ве- роятности переходов Wn!k малы, то есть возмущение настолько слабо, что скорее всего система останется в состоянии n. Мы предполагаем, что вероятность переходов настолько мала, что сделав переход n ! k система останется в состоянии k. Вероятность совершить ещ¼ один переход (то есть к моменту времени t совершить уже два перехода n ! k ! k0) пренебрежимо мала. При этом мы должны, конечно же, считать, что вре-

мя t достаточно мало. Чтобы описывать два и более переходов необходимо учитывать

следующие порядки теории возмущений.

Из формулы (7.386) видно, что вероятность найти систему в состоянии k пропорци- онально:

Чем сильнее возмущение, тем больше вероятность совершить			2			2
		переход.		^+
1. квадрату модуля матричного элемента возмущения	^		èëè		j ni	.
	h kjF j ni			h kjF

2.времени t. Чем дольше длится возмущение, тем больше вероятность совершить переход.

3.функции Ft. Чем ближе частота ! к частоте перехода !kn (ñì. Óð (7.313)), òåì больше вероятность совершить переход. Рассмотрим этот пункт подробнее.

Физический интерес представляет вероятность перехода в единицу времени (которую часто тоже называют вероятностью)

(1)

Pn!k(t) =

Wkn(t) =

2akn

(t)

(7.388)

(7.389)

+ !) + 2

Ft(!kn

i!t

+ Re

h kjF^j nih kjF^

j ni

t(!kn + !) t(!kn !)e

: (7.390)

~2t

Опять пренебрегая последним членом (с уч¼том (7.385), (7.375)) получаем

(1)

Pn!k(t) =

Wkn(t) =

2akn

(t)

(7.391)

+ !) +

Ft(!kn

!) :

(7.392)

352

Рассмотрим как выглядит функция Ft(x) (ñì. Ðèñ. 7.4)

sin2			xt
	x2t
Ft(x) =			2	:	(7.393)
		2

Ðèñ. 7.4:

Давайте рассмотрим этот процесс как способ определения частоты перехода !kn. Ìû видим, что за время измерения t (или лучше t = t) мы сможем определить резонанс с точностью

j!kn !j >

;

(7.394)

2 ~

j k n ~!j >

2 ~

(7.395)

Получаем, что за время измерения t (или, что то же самое, t) мы можем измерить разность уровней энергии k n с точностью, определяемой неравенством

t > 2 ~;				(7.396)
Обычно это условие записывают в виде
t	~		:	(7.397)
		2

353

(7.399)

стала заметно отлична от

Это неравенство называют соотношением неопредел¼нности для энергии и времени. Это соотношение надо сравнить с соотношением неопредел¼нности для импульса и координаты (см. Ур. (3.219))

p x	~	:	(7.398)
	2

Соотношение неопредел¼нности для энергии и времени (7.397) очень важно. Заметим, что, если разность между уровнями j n kj мала, то тоже мало. Поэтому соотношение неопредел¼нности для энергии и времени показывает, что время, необходимое на то, чтобы вероятность перехода между уровнями энергии n è k

нуля, определяется как

t 2~ :

То есть переходы между близкими уровнями происходят реже (с меньшей вероятностью), чем между дальними.

С другой стороны, соотношение неопредел¼нности для энергии и времени показывает, что, если возмущение длилось время t, то за это время возможны только переходы

j n kj	~	:	(7.400)
	2 t

Замечание: считается, что квантовые переходы происходят мгновенно. То есть в единицу времени происходит ограниченное количество мгновенных квантовых переходов.

Рассмотрим процесс рождения электорон-позитронной пары. Для этого процесса необ- ходима энергия 2mec2. Действительно, позитрон это дырка в отрицательном электрон-

ном спектре уравнения Дирака (с энергией меньше mec2). Электрон непрерывного спек- тра имеет энергию больше mec2. Для возбуждения электрона, изначально с энергиейi < mec2, в состояние с энергией f > mec2 нужна энергия больше f i > 2mec2. Â результате этого перехода образуются две частицы: дырка в отрицательном электронном спектре (позитрон) и электрон в положительном непрерывном спектре. Время, необходимое на такой процесс, можно оценить как

6:6 10 16 eV s

0:3

10 21 s :

(7.401)

4mec2

4 0:511 106 eV

То есть для рождения электрон-позитронной пары необходимо возмущение, которое бу- дет длиться более 10 21 s. Помимо этого, возмущение должно быть достаточно сильное,

чтоб передать за это время необходимую энергию.

354

Рассмотрим формально предел t ! 1, с уч¼том Ур. (7.371), (7.375) , мы получаем из Ур. (7.390)

n!k

lim P

(t)

t!1

~2 h

kj j

(

kn +

) +

~2 h

)

ni 2

(~!kn + ~!) +

(~!kn

~!) :

j j

(7.402)

(7.403)

(7.404)

С уч¼том определения (7.313)

		!kn	=	1	( k n)			(7.405)
		!kn	=	~	( k n)			(7.405)
вероятность перехода в единицу времени запишется как
Pn!k =	2~ h kjF^j ni 2 ( k + ~! n) + 2~ h kjF^+j ni 2 ( k n ~!) :(7.406)

Выражения в аргументах		-функциях	реализуют закон			сохранения		энергии. Здесь ! > 0.
Первый член этой формулы отвечает распаду состояния							n в состояние с более низкой

энергией k: n > k. Второй член этой формулы отвечает возбуждению состояния n â состояние с более высокой энергией k: n < k.

Замечание: в нашей постановке задачи начальное состояние n фиксировано, соответ- ственно, фиксирована его энергия ( n). Частота, с которой изменяется внешнее поле во времени (!), тоже фиксирована. Конечное состояние можно рассматривать как произ-

вольное, однако, даже в этом случае, его энергия может принимать только определ¼нные дискретные значения k 2 f ig из спектра невозмущ¼нного гамильтониана. Таким обра-

зом, мы получим ненулевые вероятности перехода в единицу времени ( Pn!k) только для переходов в состояния с энергией k = n !, если они существуют.

Также надо обратить внимание, что при ! = j!knj вероятность становится бесконечной ( -функция в нуле). Это связано с пределом t ! 1.

Однако, эти выражения для вероятностей могут иметь физический смысл. Мы рассмотрели случай когерентного возбуждения, у которого частота ! имеет определ¼нное

значение. Реальные возмущения имеют некоторое распределение по частоте !. Если мы проинтегрируем по частоте ! полученное выражение для вероятностей в единицу времени, то -функции уйдут.

Разность уровней энергии имеет неопредел¼нность как за сч¼т конечности времени измерения t, так и за сч¼т неопредел¼нности частоты возмущения !. Если размазанность

возмущения по ! велика, мы сможем применять формулу Ур. (7.406). Работать с -

функциями значительно удобнее, чем с функциями Ft.

За физически прозрачное содержание и исключительно широкую сферу применения формулу Ур. (7.406) называют золотым правилом Ферми .

355

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 / 6750 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf