2.3Операторы в гильбертовом пространстве

13.09.2022

Оператор это правило, по которому одному элементу ( f) гильбертова пространства (H) сопоставляется другой элемент ( g)

	^	= g :	(2.46)
	Af	= g :	(2.46)
^		^
D(A) область определения оператора A.
^	^
R(A) область значений оператора A.
^	^	^	(2.47)
A : D(A)		! R(A) :	(2.47)

Далее, для краткости изложения, мы будем говорить, что операторы определены на вс¼м гильбертовом пространстве H, т.е. D ^ H. Однако, очевидно, что это не всегда

(A) =

òàê.

2.3.1Примеры операторов

1.	Единичный оператор ^	^
	E (èëè I)
		^	= f ;	8f 2 H :	(2.48)
		Ef	= f ;	8f 2 H :	(2.48)
			^	^
	Здесь мы можем утверждать, что D(A) = R(A) = H.
2.	Нулевой оператор
		^	= 0 ;	8f 2 H :	(2.49)
		0f	= 0 ;	8f 2 H :

Далее нулевой элемент гильбертова пространства мы будем обозначать как 0.

Замечание: здесь важно, что равенство Ур. (2.49) должно быть выполнено для каждого элемента пространства H.

3.Оператор проектирования на подпространство

Пусть имеется подпространство M гильбертова пространства H. Тогда любой элемент h 2 H можно представить в виде

h = f + g ;	f 2 M ;	(f; g) = 0 :		(2.50)
Оператором проектирования на подпространство M			называется оператор	^
Оператором проектирования на подпространство M				PM òà-
êîé, ÷òî
^	= f ;	h 2 H		(2.51)
PMh	= f ;	h 2 H		(2.51)

èëè

^	=	f ;	f 2 M ;	(2.52)
PMf
^	=	0 ;	g 62 M:	(2.53)
PMg

Оператор проектирования обладает свойством идемпотентности

^2	^	(2.54)
PM	= PM :	(2.54)

Замечание: не путать оператор проектирования с проекционным оператором (проектором), который мы будем изучать ниже.

Далее мы рассмотрим операторы, действующие в пространстве функций одной вещественной переменной L2.

4. Оператор умножения на переменную

x'^ (x) = x'(x) = (x) :

(2.55)

Мы предполагаем, что (x) = x'(x) также интегрируема с квадратом модуля. Это сужает область определения оператора x^.

5.	Оператор инверсии
	^	'( x) =						(x) :	(2.56)
	I'(x) =	'( x) =						(x) :	(2.56)
6.	Оператор сдвига
	^	'(x + a) =						(x) :	(2.57)
	Ta'(x) =	'(x + a) =						(x) :	(2.57)
7.	Оператор масштаба (c > 0)
	^	p
	^	p			c '(cx) = (x) :				(2.58)
	Mc'(x) =				c '(cx) = (x) :
8.	Оператор дифференцирования
	^		d
	D'(x) =		dx			'(x) =		(x) :	(2.59)
9.	Оператор импульса
	p'^ (x) = i~				d
							'(x) =	(x) :	(2.60)
				dx			'(x) =	(x) :	(2.60)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 675 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf