Рис. 7.3: Эффект Пашена-Бака

7.7Эффект Штарка

Эффект Штарка это расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле. В этом случае выделенное направление зада¼т напряж¼нность электрического поля E.

Âэтом параграфе мы будем пренебрегать спином.

Âпервой части мы рассмотрим случай уровня энергии вырожденного по угловым

квантовым числам (проекциям орбитального момента ml), но невырожденного по орби- тальному моменту (l). В этом случае эффект Штарка квадратичен по E.

Затем, во второй части параграфа, мы рассмотрим частный случай, когда уровни энергии вырождены (квазивырождены) по орбитальному моменту ( l). Здесь эффект

Штарка будет линеен по E.

7.7.1Квадратичный эффект Штарка

Рассмотрим электрическое поле с постоянным вектором напряж¼нности ( E)

Скалярный потенциал электромагнитного поля можно выбрать в виде

Потенциальная энергия, отвечающая взаимодействию электрона с постоянным электри- ческим полем имеет вид (см. Ур. (6.218))

Взаимодействие с внешним электрическим полем (E) будем учитывать по теории

340

В случае центрального поля собственные функции невозмущ¼нного гамильтониана можно искать в виде (см. Ур. (5.558))

Поправка первого порядка по возмущению к энергии имеет вид (см. Ур. (7.31), (7.79))

Enlm(1) l = eh nlml jrEj nlml i = 0 : (7.262)

Заметим, что этот матричный элемент равен нулю. Действительно, представим шаровые функции как функции от единичного вектора n = r=r

Сделаем замену переменных r = r0 (тогда n = n0) и воспользуемся тем, что шаровые функции имеют определ¼нную ч¼тность (см. Ур. (5.116)) ( Ylml ( n0) = ( 1)lYlml (n0)),

Получаем, что матричный элемент равен нулю.

Направим ось z по направлению напряж¼нности электрического поля так, что E = Eez. Тогда ненулевые матричные элементы возмущения будут иметь вид

341

В Ур. (7.272) мы использовали правило сложения моментов Ур. (5.460). Получаем, что

^

функция z nl0m0l есть собственная функция эрмитовского оператора lz с собственным чис- ëîì m0l. Она ортогональна всем функциям nlml ñ ml 6= m0l.

Функция z собственная функция оператора l^2

т.е., она описывает систему с орбитальным моментом l = 1. По правилам сложения мо-

ментов Ур. (5.466) функция z nl0m0l есть линейная комбинация функций с орбитальным моментом L

С уч¼том Ур. (7.262) получаем, что ненулевые матричные элементы будут только при

Утверждение (7.268) доказали.

Таким образом, мы получаем, что в центральном поле поправка первого порядка по напряж¼нности электрического поля равна нулю.

Поправка второго порядка уже не равна нулю (см. Ур. (7.63))

Заметим, что в рамках стандартной (невырожденной) теории возмущений

Таким образом, эффект Штарка является квадратичным по напряж¼нности электриче- ского поля.

342

7.7.2Линейный эффект Штарка

Рассмотрим частный случай, когда уровни энергии вырожденны (или квазивырожденны) по орбитальному моменту.

Для простоты изложения будем считать, что уровни энергии строго вырождены. Заметим, что в кулоновском поле (U = rZ , релятивистские единицы) невозмущ¼н-

ные уровни энергии вырождены по орбитальному моменту ( l) (см. Ур. (5.608)). В этом случае надо применять вырожденную теорию возмущений. Рассмотрим случай 2s (l = 0) и 2p (l = 1) электронов. Согласно формуле Бора эти электроны имеют одинаковую энергию

Мы имеем четыре состояния с одинаковой энергией: ( l = 0, ml = 0), (l = 1, ml = 1),

(l = 1, ml = 0), (l = 1, ml = 1). На функциях l=0;ml=0, l=1;ml=0, l=1;ml=1, l=1;ml= 1 матрица ~

H0 (см. Ур. (7.104)) имеет вид

Собственные значения этой матрцы находятся из условия, что детерминант следующей матрицы должен равняться нулю (т.е., матрица должна быть вырожденной)

343