Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6747 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Рис. 7.1: Эффект Зеемана для бесспиновой частицы

7.5Аномальный эффект Зеемана

Аномальный эффект Зеемана это эффект Зеемана (расщепление уровней энергии в магнитном поле) для электрона с уч¼том релятивистских поправок.

Ранее мы вывели уравнение Паули для электрона в электрическом ( E = rU) и постоянном магнитном (H = rotA и H постоянный вектор) полях (Ур. (6.327)), которое

учитывает поправки порядка ( Z)2 (в релятивистских единицах, 1371 ). Затем мы рассмотрели релятивистские поправки (relativistic corrections (rel cor)) для электрона в только электрическом поле с точностью до поправок порядка ( Z)4, получив уравнение

Брейта-Паули (Ур. (6.382)).

Объединим это гамильтонианы, учтя взаимодейстие электрона с магнитным полем с точностью до поправок ( Z)2 (потому что считаем магнитное поле слабым) и с электри-

ческим полем с точностью до поправок ( Z)4. Гамильтониан Паули (6.327)

p^2

+ U

2me

2mec

H(l + 2s^) +

2mec2

(7.189)

Гамильтониан Брейта-Паули (6.383)

p^2

+ U

p^4

[rU p^] +

hBP =

2me

8me3c2

4me2c2

8me2c2

U :

(7.190)

Мы будем рассматривать следующий гамильтониан

p^2

+ U

2me

2mec

H(l + 2s^) +

2mec2

+ Hrel cor ;

(7.191)

p^4

[rU p^] +

Hrel cor

8me3c2

4me2c2

8me2c2

U :

(7.192)

Считая магнитное поле слабым, пренебреж¼м квадратичным по полю членом (

A2)

2mec

p^2

+ U

2me

2mec

H(l + 2s^) + Hrel cor :

(7.193)

332

Мы считаем, что релятивистские поправки достаточно большие, что их необходимо учи- тывать.

Направим ось z по полю H так, чтобы H = Hez, тогда гамильтониан примет вид

^	p^2		e~	^	^
H =	2me	+ U	2mec	H(lz + 2^sz) + Hrel cor :		(7.194)

Будем считать невозмущ¼нным гамильтонианом гамильтониан без магнитного поля, а взаимодействие с магнитным полем будем считать возмущением

^		^				^
H	= H0				+ V ;
^			p^2					^
H0	=	2me				+ U + Hrel cor ;
^					e~			^
V =				2mec			H(lz + 2^sz) :

(7.195)

(7.196)

(7.197)

В теории Дирака орбитальный момент (l) и спиновый момент (s) по отдельности не сохраняются (их проекции на ось квантования ось z), однако сохраняется (может принимать определ¼нные значения) полный угловой момент ( j = l + s), см. Ур. (6.195),

(6.196).
Заметим, что гамильтониан Дирака не коммутирует с оператором l^2, поэтому его
собственные функции описывают состояния, в которых l		не имеет определ¼нного значе-
l определ¼на). Гамильтониан	^	0
гамильтониана Дирака, он коммутирует с ^2	H		является приближ¼нным для
ния (однако ч¼тность ( 1)
l , и l для него имеет определ¼нные значения.

Будем считать, что мы вс¼ знаем о невозмущ¼нном гамильтониане (его спектр		f njlg
и собственные функции f njlmg)
^	= njl njmls ;	(7.198)
H0 njmls	= njl njmls ;	(7.198)
h njmlsj n0j0m0l0si	= nn0 jj0 mm0 ll0 ;	(7.199)
jjmlsi	= njmls ;	(7.200)

где j полный угловой момент электрона, m проекция полного углового момента на

ось z, l орбитальный момент, s спин (для электрона s = 12 ). Так как в невозмущ¼нном гамильтониане нет выделенного направления, то собственные значения (2j + 1)-кратно

вырождены по проекции полного углового момента ( m = j; : : : ; j). Главное квантовое число n и орбитальный момент l будем считать фиксированными.

Ниже мы покажем (Ур. (7.226)), что матрица возмущения на функциях jnjmlsi

диагональная матрица. В этом случае матрица ~

(11)

H0 также является диагональной, а е¼ диагональные элементы и есть поправки к энергии.

333

Таким образом, поправку к энергии электрона в атоме за сч¼т взаимодействия с магнитным полем можно представить в виде

jmls

e~H

jmls ^l

+ 2^s jmls

(7.201)

2mech

jmls

j z

e~H

jmls ^j

+ s^

jmls

(7.202)

2mech

hjmlsj^jzjjmlsi + hjmlsjs^zjjmlsi :

(7.203)

2mec

Вектора jjmlsi являются собственными векторами для операторов

jjmlsi

j(j + 1)jjmlsi ;

(7.204)

= mjjmlsi ;

(7.205)

jzjjmlsi

jjmlsi

l(l + 1)jjmlsi ;

(7.206)

s^2jjmlsi =

s(s + 1)jjmlsi :

(7.207)

Первый матричный элемент легко находится

(7.208)

hjmlsjjzjjmlsi = m ;

задача свелась к нахождению матричного элемента оператора s^z.

Без доказательства: операторы полного момента ( ^) и спина (

s^) являются тензорны-

ми операторами первого ранга, следовательно, применяя теорему Вигнера-Эккарта, их матричные элементы можно представить в виде

0	lsi =	^	0	lsi ;	k = 1; 0; 1 ;	(7.209)
hjmlsjs^kjjm		Ahjmlsjjkjjm

где множитель A = A(jls) не зависит от проекций m, k, m0. Здесь k ковариантные

циклические компоненты векторов (см. Ур. (5.199), (5.201)). Скалярное произведение векторов имеет вид

		1
		X
	js =	( 1)kjks k :	(7.210)
		k= 1
Рассмотрим матричный элемент
hjmlsjjs^^jjm0lsi =	1
hjmlsjjs^^jjm0lsi =	X ( 1)khjmlsj^jks^ kjjm0lsi		(7.211)

k= 1

=	k	^	00	00	lsihj	00	00	0	lsi :	(7.212)
=	( 1)	hjmlsjjkjj		m	lsihj		m	lsjs^ kjjm	lsi :
	k= 1	j00m00

334

Здесь скалярное произведение ^

js^ записано в виде Ур. (7.210). Мы также ввели единичный

оператор в пространстве функций jjmlsi (при фисированных l и s)

jX00 00

lsihj

lsj :

(7.213)

E =

Воспользовавшись свойством оператора момента (

) можем записать

; jk] = 0

(7.214)

j j

j m ls

jj00

jmls jk

и убрать суммирование по j00. Действительно, если jj00m00lsi собственный вектор для

^2, òî è j^ j 00 00 i 00 (ñì. j jk j m ls будет собственным вектором с тем же собственным числом j

Ур. (5.138)). Получаем

hjmlsjjs^jjm

lsi

( 1)

hjmlsjjkjjm lsihjm

lsjs^ kjjm

lsi :

m00

Используя Ур. (7.209) и (7.210) приходим к выражению

hjmlsjjs^jjm

lsi

( 1)

hjmlsjjkjjm

lsihjm lsjj kjjm

lsi

m00

^ ^

( 1)

hjmlsjjkj kjjm

lsi

k= 1

lsi = Aj(j + 1) mm0

(7.218)

Ahjmlsjj

jjm

Мы здесь использовали, что в пространстве функций jjmlsi (при фиксированных j, l и s) единичный оператор можно представить как

X00

lsj :

(7.219)

jjm

lsihjm

Следовательно, множитель A можно представить как

A =

hjmlsjjs^jjmlsi

(7.220)

j(j + 1)

Воспользовавшись равенствами

s^)

(7.221)

= (j

= j

+ s^

js^ sj^

= j

+ s^

2js^;

(7.222)

+ s^

) ;

js^

= sj^

2(j

335

вычислим матричный элемент

1 ^2

(7.223)

hjmlsjjs^jjmlsi =

hjmlsj

+ s^ l

)jjmlsi ;

[j(j + 1)

l(l + 1) + s(s + 1)] :

(7.224)

Выражение для множителя A принимает вид

j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1)

(7.225)

2j(j + 1)

Матричный элемент в Ур. (7.201) можно представить в виде

lsi =

lsi

(7.226)

hjmlsjlz + 2^szjjm

hjmlsjjz

+ s^zjjm

(7.227)

j j

(1 + A) jmls jz

jm ls = mm0gm ;

где g множитель Ланде или g-фактор, равный

g =

1 +

j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1)

(7.228)

2j(j + 1)

Мы поазали, что матричный элемент (7.226) диагонален, тем самым, формула (7.201) верна.

Поправка к энергии электрона за сч¼т взаимодействия с магнитным полем имеет вид

e~H

jmls ^l

+ 2^s

jmls

e~H

gm :

(7.229)

2mech

jmls

j z

2mec

Таким образом в магнитном поле (2j + 1)-крато вырожденные уровни энергии njl расщепляются на (2j + 1) эквидистантных уровня. Вырождение полностью снимается. Величина расщепления пропорциональна напряж¼нности магнитного поля H, множителем Ланде (g) и проекции полного углового момента ( m).

Enjmls	= E(0)		+ E(1)
		njls			jmls
	=			e~H		jmls ^l		+ 2^s	jmls
	=	jls		2mech		jmls ^l		+ 2^s	jmls	i
		jls		2mech		j	z	zj		i
	=	jls		e~H	gm :
		jls		2mec

(7.230)

(7.231)

(7.232)

Это приближ¼нные выражения для уровней энергии в магнитном поле с точностью до поправок первого порядка по полю H. Полученное расщепление уровней энергии, про-

порциональное множителю Ланде g, называют аномальным эффектом Зеемана

s1=2	:	j = 1=2 ; l = 0 ; g = 2
p1=2	:	j = 1=2 ; l = 1 ; g = 2=3
p3=2	:	j = 3=2 ;	l = 1 ;	g = 4=3 :	(7.233)
d3=2	:	j = 3=2 ; l = 2 ; g = 4=5
d5=2	:	j = 5=2 ;	l = 2 ;	g = 6=5

336

Для частиц с нулевым спином g = 1, такое расщепление называют обычным эффектом

Зеемана (см. предыдущий параграф).

Наличие у электрона спина приводит к отличным от единицы множителям Ланде. Это считалось аномалией и дало название аномальному эффекту Зеемана.

Аномальный эффект Зеемана особенно сильно проявляется в случае

h	jH^ rel corj i	h j2m~ecH(l^+ 2s^)j		i	:	(7.234)
			e

В этом случае расщепление уровней энергии за сч¼т взаимодействия с магнитным полем имеет следующий вид

Рис. 7.2: Аномальный эффект Зеемана

7.6Эффект Пашена-Бака

25.02.2022

Эффект Пашена-Бака это эффект Зеемана (расщепление уровней энергии в магнитном поле) для электрона при малости релятивистких поправок.

Рассмотрим уравнение Паули для электрона в постоянном магнитном ( H = rotA и H постоянный вектор) поле (Ур. (6.327)), которое учитывает поправки порядка ( Z)2 (в релятивистских единицах, 1371 )

^	p^2	+ U	e~ ^		e2	2
hP =				H(l + 2s^) +		A	:	(7.235)
	2me		2mec		2mec2

337

Тем самым мы пренебрегаем релятивистскими поправками для электрона (поправки порядка ( Z)4), которые присутствуют в уравнении Брейта-Паули (Ур. (6.382)). То есть,

мы считаем, что эти поправки значительно меньше, чем расщепление, вызванное магнитным полем. Будем также считать, что квадратичным по полю членом ( e2 2 A2) âñ¼

2mec

ещ¼ можно пренебречь

jH^ rel corj i

h j2m~ecH(l^+ 2s^)j

;

(7.236)

H(l^+ 2s^)

;

(7.237)

2mec

h j2mec2

j i

h j

j i

ãäå

порядка ( Z)

4 (ñì.

Óð. (7.192)).

H^ rel cor определяет

релятивисткие поправки

Направим ось z по полю H так, чтобы H = Hez, тогда рассматриваемый нами га-

мильтониан примет вид

p^2

2me

+ U

2mec

H(lz + 2^sz) :

(7.238)

Будем рассматривать взаимодействие с магнитным полем по теории возмущений

(7.239)

= H0

+ V ;

p^2

2me

+ U ;

(7.240)

2mec

H(lz + 2^sz) :

(7.241)

Учт¼м взаимодействие с магнитным полем в первом порядке теории возмущений.

Заметим, спин-орбитальное взаимодействие отсутствует в гамильтониане Ур. (7.238) (см. (6.387), (6.393)). Поэтому собственные функции невозмущ¼нного гамильтониана ( ^

H0)

удобно искать в виде

H0 nlmlms = nl nlmlms

nlmlms (r) = r Pnl(r)Ylml ( ; ') ms ; h nlmlms j nlm0lm0s i = nn0 mlm0l msm0s ;

ãäå Ylml ( ; ') шаровые функции (Ур. (5.96)), ms спиноры (Ур. (6.179)).

l^2Ylml ( ; ')

lzYlml ( ; ')

s^2 ms

s^z ms

=l(l + 1)Ylml ( ; ') ;

=mlYlml ( ; ') ;

=		1	1	+ 1 ms =	3	ms ;

		2	2		4

=	ms ms :

(7.242)

(7.243)

(7.244)

(7.245)

(7.246)

(7.247)

(7.248)

338

Раз в невозмущ¼нном гамильтониане нет выделенного направления и нет спиновой за- висимости, его собственные значения nl не могут зависеть от угловых квантовых чисел (ml è ms).

Матрица, отвечающая возмущению, диагональна на невозмущ¼нных функциях

f nlmlms g

l s i

s i

(7.249)

nlmlms

2mec

nlmlms

nlm0m0

(lz + 2^sz)

nlm0m0

(ml + 2ms) mlm0

msm0

(7.250)

2mecH

Энергия с точностью до поправок первого порядка по H имеет вид (см. Ур. (7.31), (7.79))

(1)			^
Enlmlms	=	h nlmlms jV j nlmlms i ;				(7.251)
			e
Enlmlms	=	nl	~	H(ml + 2ms) + O	H2 :	(7.252)
			2mec

Из формулы видно, что два самых верхних и два самых нижних уровня невырождены, остальные уровни двукратновыродены. Вырождение снимается не полностью.

В Таблице 7.1 показано расщепление уровней энергии в эффекте Пашена-Бака для l = 1 и l = 2.

Таблица 7.1: Расщепление уровней энергии в эффекте Пашена-Бака для l = 1 и l = 2.

ml	ms	ml + 2ms
1	1/2	2
1	-1/2	0
0	1/2	1
0	-1/2	-1
-1	1/2	0
-1	-1/2	-2

ml	ms	ml + 2ms
2	1/2	3
2	-1/2	1
1	1/2	2
1	-1/2	0
0	1/2	1
0	-1/2	-1
-1	1/2	0
-1	-1/2	-2
-2	1/2	-1
-2	-1/2	-3

339

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6747 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf