Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 6746 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

V~	=	V (21)	V (22)		;		(7.116)
		0	V (12)
(V~ )ij	=	h'ijV^ j'ji		;	иначе	:	(7.117)
		0		;	åñëè	i; j = 1; 2
Здесь важно, что матрица	~						~
	H0	диагональна, и что блок (11) у матрицы V равен нулю
(V (11) = 0).

Поправки к волновой функции и к энергии в базисе функций f'ig примут вид ( = 1; 2)

= (0) + (1) + O

;

(7.118)

(0)

= ' ;

(7.119)

(1)

(7.120)

h'ijV j' i'i :

i=1;2

" "i

= E(0) + E(1) + E(2) + O

;

(7.121)

E(0) = " ;

(7.122)

E(1)

0 ;

(7.123)

E(2)

(7.124)

h' jV j'iih'ijV j' i :

i=1;2

" "i

Мы получили ряд теории возмущений, где члены с малыми знаменателями отсутству-

þò.

Замечание: мы можем формально записать ряд теории возмущений для блока (11) в базисе f ig. Ряд будет расходящимся (или медленно сходящимся). Каждый член теории возмущений описывает взаимодействие между состояниями 1 и 2 в соответствующем

порядке. Говорят, что, когда мы диагонализуем блок (11) точно (численно или аналити- чески) или переходим от базиса f ig к базису f'ig, мы учитываем взаимодействие между

состояниями 1 и 2 во всех порядках теории возмущений. Также говорят, что это взаимодействие учтено непертурбативно.

7.3Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней

18.02.2022

Как и в предыдущих двух параграфах мы рассматриваем задачу, для решения которой мы можем применять теорию возмущений.

325

Мы рассматриваем стационарное уравнение Шр¼дингера

^				(7.125)
H n = En n ;
где гамильтониан задан в виде
^		^	^	(7.126)
H	= H0 + V :
Оператор ^
V предполагаем малым в смысле
^	^	;	! 0 ;	(7.127)
V = H1
где оператор ^		^		^
H1 от не зависит. Оператор V называют возмущением, оператор H0 íà-
зывают невозмущ¼нным гамильтонианом, параметр малости.
Мы будем предполагать, что об операторе ^			мы вс¼ знаем. Мы знаем его спектр f ig
и собственные функции f ig		H0
	^
		= i i ;		(7.128)
H0 i
h ij i0i		= ii0 :		(7.129)

Для краткости изложения будем предполагать, что весть спектр невозмущ¼нного гамильтониана дискретный.

Рассмотрим случай, когда у невырожденного гамильтониана имеется два квазивырожденных уровня

	1	2	(7.130)
и нас интересуют энергии полного гамильтониана ( ^
		H), соответствующие этим невозму-
щ¼нным уровням энергии
E1	=	1 + O ( ) ;	(7.131)
E2	=	2 + O ( ) :	(7.132)

Используя результаты предыдущего параграфа нам надо найти собственные вектора и собственные значения матрицы (см. Ур. (7.104), (7.111))

	H~0	= H0		+ V (11) =	h21		h22	;			(7.133)
	(11)	(11)diag			h11		h12
представляющей матричные элементы операторов					^	^					, 2.
					H0 è	V в базисе функций 1					, 2.
Рассмотрим матричные элементы этой матрицы
h11	^	^		^		^			+ v11	;	(7.134)
h11	= h 1jH0	+ V j 1i	= h 1jH0j 1i		+ h 1jV j 1i = 1				+ v11	;	(7.134)
h22	^	^		^		^			+ v22	;	(7.135)
h22	= h 2jH0	+ V j 2i	= h 2jH0j 2i		+ h 2jV j 2i = 2				+ v22	;	(7.135)
h12	^	^		^		^					(7.136)
h12	= h 1jH0	+ V j 2i	= h 1jH0j 2i		+ h 1jV j 2i = v12 ;						(7.136)
h21	^	^		^		^					(7.137)
h21	= h 2jH0	+ V j 1i	= h 2jH0j 1i		+ h 2jV j 1i = v21 :						(7.137)

326

Мы ввели следующие обозначения для матричных элементов оператора ^

^	i; j = 1; 2 :
vij = h ijV j ji ;	i; j = 1; 2 :
Заметим, что в виду эрмитовости оператора возмущения ( ^ +		^
	V	= V )

v12

h12

Найд¼м собственные значения матрицы

~ (11)	EIg = det
detfH0

где I единичная матрица 2 2.,

= v21 ; = h21 :

~ (11)

H0 в общем виде


h11 E	h12	= 0 ;
h21	h22 E

(h11 E)(h22 E) h12h21	=	0 ;
E2 E(h11 + h22) + h11h22 h12h21	=	0 :

Получаем уровни энергии с уч¼том возмущения

V для состояний 1 è 2

E1;2 =

22 p

h11 + h

+ h22)2

4h h

+ 4h12h21

h11 + h22 p

(h112 h22)2 + 4h12h21

j 12j

h11 + h22

h11 h22

+ h 2 :

Эти уровни энергии также можно представить в виде

1;2

j 12j

1 + v11 + 2 + v22

1 + v11 2 v22

E =

+ v 2 :

Рассмотрим два предельный случая.

(7.138)

(7.139)

(7.140)

(7.141)

(7.142)

(7.143)

(7.144)

(7.145)

(7.146)

(7.147)

1.jv12j j 1 2j, т.е., возмущение мало по сравнению с расщеплением невозмущ¼нных уровней.

1;2

1 + v11 + 2 + v22

1 + v11 2 v22

(7.148)

+ v22

v22

(7.149)

1 + v11 + 2

1 + v11 2

327

E		1 + v11 + 2 + v22	+	1	+ v11 2 v22	=		+ v		;	(7.150)
	1	2			2		1		11

E		1 + v11 + 2 + v22		1	+ v11 2 v22	=		+ v		:	(7.151)
	2	2			2		2		22

Заметим, что в этом случае мы получаем формулы для невырожденной теории возмущений (Ур. (7.31), (7.79)). Она оказывается применимой, так как из-за условия jv12j j 1 2j условие сходимости ряда теории возмущений Ур. (7.69) выполнено.

2.jv12j j 1 2j, т.е., возмущение большое по сравнению с расщеплением невозмущ¼нных уровней.

1 + v11 + 2 + v22

E1;2

v12

(7.152)

1 + v11 + 2

+ v22

jv12j :

(7.153)

1 + v11 + 2

+ v22

+ jv12j ;

(7.154)

1 + v11 + 2

+ v22

jv12j :

(7.155)

7.4Эффект Зеемана. Бесспиновая частица

Эффект Зеемана заключается в расщеплении уровней энергии в магнитном поле ( H).

Мы будем рассматривать следующую задачу: в невозмущ¼нном гамильтониане нет выделенного направления и уровни энергии вырождены по проекциям орбитального или полного углового момента; в магнитном поле ( H) появляется выделенное направление

и уровни энергии начинают зависеть от проекций орбитального или полного углового момента.

В параграфе 6.5 мы получили уравнение Паули (6.303)

	2me	p^ cA		2m~ecHs^ + U		' = ' :	(7.156)
	1	e	2		e

Соответственно, гамильтониан бесспиновой частицы в магнитном поле имеет вид ( e <

H^ =

+ U

(7.157)

2me

+ U :

2me

p^2 cpA^

cAp^ + c2 A2

(7.158)

328

Пусть U(r) = U(r) зада¼т центрально-симметричное поле. Рассмотрим отдельно следующий член

pA^ = i~rA = i~(rA) i~Ar = i~div(A) + Ap^ :

Гамильтониан примет вид

H^		1	p^2		e	e			e2		+ U :
	=			+ i		~div(A) 2		Ap^ +		A2
		2me			c		c		c2

(7.159)

(7.160)

Рассмотрим случай постоянного магнитного поля ( H), оно может быть представлено потенциалом электромагнитного поля A в виде


	1				[H r] ;
			A =					(7.161)
				2
где H постоянный вектор. Проверим это. Действительно, магнитное поле выражается
через потенциал электромагнитного поля A (V = eA0 не зависит от времени) как
	1
H =	rot(A) = [r A] =						[r [H r]]	(7.162)
						2
=	1		(H(rr) (Hr)r) :					(7.163)

		2

(rr) =

@xex +

@y ey +

@z ez+

(xex + yey + zez)

x +

y +

z = 3 :

+ Hz @z

(Hr)r =

Hx @x + Hy @y

(xex + yey + zez)

= Hxex + Hyey + Hzez = H :

Получаем,

(7.164)

(7.165)

(7.166)

(7.167)


			1	(H(rr) (Hr)r) =		1
	H =						(3H H) = H :	(7.168)
	H =		2			2	(3H H) = H :	(7.168)
Мы доказали, что постоянное магнитное поле H может быть представлено потенциалом
электромагнитного поля Ур. (7.161)
Верн¼мся к гамильтониану Ур. (7.160)
div(A) =	rA =		1		r[H r]			(7.169)

				2
=	2	@x(Hyz Hzy) + @y (Hzx Hxz) + @z (Hxy Hyx)						= 0 : (7.170)
	1	@	@			@

329

		1		1			1	~Hl^;
Ap	=		[H r]p^ =			H[r p^] =
		2			2		2
~l^	=	[r p^] :

Здесь мы ввели оператор орбитального момента Ур. (5.2). Гамильтониан Ур. (7.160) примет вид

p^2

e 1

+ U

H^ =

~Hl^+

2me

p^2

Hl^+

+ U :

2me

2mec

2mec2

(7.171)

(7.172)

(7.173)

(7.174)

Заметим, что этот гамильтониан похож на гамильтониан Паули Ур. (6.327), который

мы получили как нерелятивистский предел уравнения Дирака (уравнения, описывающее электрон частицу со спином s = 12 ).

Будем считать, что магнитное поле слабое и мы можем пренебречь членом, квадра-
тичным по полю (	e2		A2).
	2mec	2	A2).
	2mec								^	^
									^	^
Направим ось z по полю H так, чтобы H = Hez и, соответственно, Hl = Hlz.
Рассмотрим стационарные состояния этого гамильтониана
					^			= E	;	(7.175)
							H	= E	;	(7.175)
				p^2		e
					+ U	~	H^lz	= E	:	(7.176)
				2me	+ U	2mec	H^lz	= E	:	(7.176)

Запишем оператор кинетической энергии через оператор орбитального момента (см. Ур. (3.407))

2me r2 @r r2

+ 2me r2 + U

2mecH^lz!

= E :

(7.177)

1 @

~2 l^2

Пусть заданный нам потенциал U такой, что мы вс¼ знаем о гамильтониане H0 (åãî

спектр f nlg и собственные функции f nlmg)

~2 l^2

~2 1 @

2 @

+ U

(7.178)

2me

nlml

= nl nlml ;

(7.179)

l i

nlml n0l0m0

= nn0 ll0 mlm0

(7.180)

Заметим, что уровни энергии nl вырождены по проекциям орбитального момента m =l; : : : ; l, т.е., уровни энергии (2l+1)-кратно вырождены. Раз в невозмущ¼нном гамильто-

ниане нет выделенного направления, то уровни энергии не могут зависеть от направления оси квантования.

330

Гамильтониан ^	^	^		^
H0 (è H) коммутирует с операторами l и lz. Значит, мы можем найти
его стационарные состояния в виде
	nlml (r) =	1	Pnl(r)Ylml ( ; ') ;	(7.181)

		r

ãäå Ylml ( ; ') шаровые функции, n главное квантовое число.

Тогда для поиска собственных значений гамильтониана (7.177) можно воспользоваться теорией возмущений. Взаимодействие с магнитным полем будет играть роль возмущения

^	^		^
H = H0			+ V ;
^			e~		^
V =		2mec		Hlz :

Заметим, что возмущение диагонально на функциях nlm

nlml

l i

2mec

j j

l i

n0l0m0

nlml

n0l0m0

ml nn0 ll0 mlm0

2mecH

(7.182)

(7.183)

(7.184)

(7.185)

Таким образом, согласно Ур. (7.31), (7.79) первая поправка к энергии будет иметь вид

^	e~
Enlml = h nlml jV j nlml i =	2mec	Hml :	(7.186)

Мы получили, что магнитное поле H задало выделенное направление и сняло вырождение по квантовому числу m

Enlml	E(0) + Enlml			(7.187)
		e~
=	nl		Hml :	(7.188)
		2mec

Это есть приближ¼нное (с точностью до поправок первого порядка) выражение для возмущ¼нных уровней энергии. Уровни энергии, ранее (2l + 1)-кратно вырожденные, рас-

щепились на эквидистантные уровни. Вырождение по m полностью снялось. Величина расщепления пропорциональна напряженности магнитного поля ( H).

331

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 6746 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf