Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 6744 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Глава 7

Приближ¼нные методы в квантовой механике

11.02.2022

7.1Стационарная теория возмущений

Рассмотрим стационарное уравнение Шр¼дингера

^				(7.1)
H n = En n ;				(7.1)
где гамильтониан задан в виде
^		^	^	(7.2)
H	= H0 + V :			(7.2)
Оператор ^
V предполагаем малым в смысле
^	^	;	! 0 ;	(7.3)
V = H1		;	! 0 ;	(7.3)
где оператор ^
H1 от не зависит.			^
Мы будем предполагать, что об операторе			^
и собственные функции f ig			H0 мы вс¼ знаем. Мы знаем его спектр f ig
и собственные функции f ig
	^	= i i ;		(7.4)
H0 i		= i i ;		(7.4)
h ij i0i		= ii0 :		(7.5)

Для краткости изложения будем предполагать, что весть спектр невозмущ¼нного гамильтониана дискретный.

Оператор ^ ^

V называют возмущением, оператор H0 называют невозмущ¼нным гамиль- тонианом, параметр малости.

315

Наша задача состоит в поиске приближ¼нного решения Ур. (7.81): поиск приближ¼нной собственной функции f ng и собственного значения (энергии) fEng для какого-

то фиксированного n. Для этого будем использовать особый метод теорию возмуще-

ний (pertubation theory). Будем искать собственную функцию и собственное значение Ур. (7.81) в виде ряда теории возмущений

En	= En(0) + En(1) + En(2) + : : :			(7.6)
	= en(0) + en(1) + 2en(2) + : : : ;			(7.7)
n	= n(0) + n(1) + n(2) + : : :			(7.8)
	= n(0) + n(1) + 2		n(2) + : : : :	(7.9)
Члены ряда теории возмущений имеют вид
	En(k) = ken(k) ;			(7.10)
	n(k) = k	n(k) ;		(7.11)

ãäå e(nk) è n(k) не зависят от . Их называют поправками k-ого порядка к энергии и собственной функции (или просто k-ми поправками), соответственно.

Подставим функцию n и энергию En в виде ряда теории возмущений в Ур. (7.81)

^ (0)

H0 en

^(0)

H0 en

	^	= En n	;	(7.12)
	H n
^	^	= En n	;	(7.13)
(H0	+ H1) n
^		^	n ;	(7.14)
(H0 En) n		= H1
en(1) 2en(2) + : : : n			= H^1 n :	(7.15)
n	= H^1 en(1) 2en(2) + : : : n :			(7.16)

(2)

(0)

(1)

(2)

(0)

(1)

(2)

+ : : :

: (7.18)

n + : : :

+ : : :

(7.17)

Выделим члены с одинаковыми степенями

(0)

= 0 ;

(0)

(1)

(0)

;

2 :

(0)

(2)

(1)

(2)

(0)

;

H^0 en

= H^1 en

+ en n

k :

(0)

(k)

(1)

+ i=2

(i)

H^0 en

= H^1 en

(k i) n

(7.19)

(7.20)

(7.21)

(7.22)

(7.23)

(7.24)

316

Заметим, что уравнению (7.19) удовлеторяют собственные функции невозмущ¼нного гамильтониана (см. Ур. (7.4))

n(0) = n(0)	= n :	(7.25)
Соответственно,
En(0) = en(0)	= n :	(7.26)
Заметим, что в виду эрмитовости оператора	^
	H0 функции, стоящие в правых и левых
частях Ур. (7.19) (7.24) ортогональны функции	(0)
частях Ур. (7.19) (7.24) ортогональны функции	n . Действительно,

h n(0)j H^0 en(0)

n(k)i = h H^0 en(0)

n(0)j n(k)i = h0j n(k)

Рассмотрим скалярное произведение Ур. (7.20) с h n(0)j

i = 0 :

(7.27)

(0)

(1)

(0)j

(0)

(1)

i(0)

(0)

H1 en

;

(7.28)

i + e

n j

n i

(7.29)

jH1j

Получаем выражение для en(1)

(1)

(0)

jH1j

i = h njH1j ni

(7.30)

и, соответственно, первая поправка к энергии имеет вид

(1)

= en

= h nj H1j ni

= h njV j ni :

(7.31)

Мы использовали определение

V = H1

(см. Ур. (7.83)). Мы получили, что первая по-

правка к энергии за сч¼т возмущения

V есть среднее значение от возмущения на невоз-

мущ¼нной функции.

Найд¼м теперь первую поправку к волновой функции

n(1) = n(1) :

(7.32)

Волновую функцию

= n(0) + n(1) + O 2 :

(7.33)

n удобно нормировать следующим образом

h nj n(0)i = h nj ni

= 1 :

(7.34)

Первую поправку к волновой функции будем искать в виде

ci i :

(7.35)

(1)

317

1 = h nj n(0)i	=	h n(0)j ni + h n(1)j ni = h nj ni + h n(1)j ni		(7.36)
	=	1 + Xi	cih ij ni = 1 + cn ;	(7.37)
cn	=	0 :		(7.38)

Мы получаем, что из условия нормировки (7.34) следует, что член i = n в разложении (7.35) отсутствует

(1)

ci i :

(7.39)

i6=n

Заметим, что

n(0)j

n(1)i = 0 :

(7.40)

Рассмотрим чему равна стандартная нормировка функции n Óð. (7.33)

h nj ni

= h n(0) + n(1)j n(0) + n(1)i + O 2

(7.41)

= h

(0)

(1)

(0)

(1)

(7.42)

+ n i + O

= h

(0)

(1)

(0)

i + O

(7.43)

n i + h n

n i + h

j n

= 1 + O

(7.44)

) функция n нормирована на единицу.

Получаем, что с точностью до поправок O (

Чтобы найти коэффициенты разложения (7.39) подставим функцию

(1)

â Óð. (7.20)

(0)

(1)

(0)

H^0 en

= H^1 en (1)

;

(7.45)

i6=n ci H^0 n i

= H^1 en

n ;

(7.46)

n :

i6=n ci ( i n) i = H^1 en(1)

(7.47)

Возьм¼м скалярное произведение последнего равенства с функцией h jj, ãäå j 6= n,

h jj

i6=n ci ( i n) ii

h jj H^1 n(1)

ni ;

(7.48)

(1)

ci ( i n) h jj ii

h jj ni ;

h jjH1j ni

+ n

(7.49)

i6=n

cj ( j n)

(7.50)

h jjH1j ni :

318

Мы использовали, что

h jj ii	=	ji ;		(7.51)
h jj ni	=	0 ;	j 6= n :	(7.52)

Воспользуемся тем, что мы рассматриваем случай когда уровень энергии (собственное значение) n невырождено. Тогда, мы можем записать выражение для коэффициентов cj

			^
c		=	h jjH1j ni	;	j = n :
	j		n j		6

Функция n(1) имеея вид

(1) =	^
(1) =	h ijH1j ni i :
X
n
i=n	n i
6

Первая поправка к волновой функции имеет вид

n(1) = n(1)	=	^	=	^
n(1) = n(1)	=	h ij H1j ni i	=	h ijV j ni i :
	X		X
	i=n	n i	i=n	n i
	6		6
n	= n(0) + n(1) + O		2 :

Найд¼м вторую поправку к энергии. Рассмотрим Ур. (7.21)

H^0	en		n	= H^1	en		n	+ en n :
	(0)		(2)		(1)		(1)	(2)	(0)

(7.53)

(7.54)

(7.55)

(7.56)

(7.57)

Возьм¼м скалярное произведение этого уравнения с функцией h n(0)j . При этом учт¼м, что левая часть Ур. (7.21) ортогональна функции h n(0)j. Получим такое уравнение

0 = h

(0)

(1)

(0)

(1)

(2)

(0)

i :

jH1j

n i

+ en h

n j

n i + en

(7.58)

Воспользуемся Ур. (7.40) и тем, что функция

n(0)

нормирована на единицу

0 = h

(0)

(1)

(2)

jH1j

i + en

(7.59)

Получаем, что

(2)

= h

(0)

(1)

i :

n jH1j

= h njH1j

(7.60)

319

(2)	=	2	(2)		^	(1)	i
En	=		en	= h nj H1j		n	i	(7.61)
	=		^	(1)	i :
	=	h njV j n			i :			(7.62)

Заметим, что, чтобы получить поправку второго порядка к энергии, достаточно знать

нулевую и первую поправку к волновой функции.

Используя выше полученное выражение для (1)n (ñì. Óð. (7.55)), получаем

(2)	=		^	(1)
En	=	h njV j n i
	=	X	^	^
	=		h njV j iih ijV j ni :

		i=n		n i
		6

Используя эрмитовость оператора возмущения ( ^

V ), мы можем написать

^	^		:
h njV j ii	= h ijV j ni		:

Тогда выражение для второй поправки к энергии примет вид

En(2) =	h ijV j ni		2
En(2) =	h ijV j ni		:
i=n		^
i=n		n i
X
6

(7.63)

(7.64)

(7.65)

(7.66)

Сходимость ряда теории возмущений. Ряд теории возмущений (быстро) сходится если

j En(K)j		j En(K+1)j ;	(7.67)
j n(K)j		j n(K+1)j :	(7.68)

Это будет иметь место, если

h	inj	^	ini	1 ;	8i 6= n :	(7.69)
h	inj	j	ini	1 ;	8i 6= n :	(7.69)
	V

Замечание: для простоты изложения мы рассматривали предел ! 0, для реальных возмущений конечно.

^		^	^	(7.70)
H n		= (H0	+ V ) n = En n :
^	i	= i i ;	f ig ; f ig :	(7.71)
H0

320

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 6744 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf