Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 6743 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Тогда мы можем записать

P "jlm(r) =

g"jl(r)( 1)l jlm(n)

rif"jl(r)( 1)l0 jl0m(n)

g"jl(r)( 1)l jlm(n)

rif"jl(r)( 1)l0+1 jl0m(n)

(6.528)

(6.529)

Выше (см. Ур. (6.484)) мы видели, что величины l и l0		отличаются ровно на единицу:
l0 = l + 1 èëè l0 = l	1. Значит

	( 1)l = ( 1)l0+1	(6.530)

и мы получаем

^	( 1)	l	1		g"jl(r) jlm(n)	= ( 1)	l
P "jlm(r) =	( 1)		r		if"jl(r) jl0m(n)	= ( 1)	"jlm(r) :	(6.531)

Таким образом, мы делаем вывод, что функции (6.510) описывают состояния с определ¼нной энергией ("), полным угловым моментом (j), его проекцией (m) и ч¼тностью (( 1)l).

6.10Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр

Найд¼м релятивистские волновые функции электрона в кулоновском поле. Волновые функции будем искать в виде (6.483)

"jlm(r) =	1			gjl(r) jlm(n)	;	l0 = 2j l :	(6.532)
		r		ifjl(r) jl0m(n)

Функции g(r) и f(r) удовлетворяют радиальному уравнению Дирака

c~		@	f + mec2g + V g = "g ;	(6.533)

	r	@r

				c~		@		g mec2f + V f = "f ;
						+				(6.534)
					r	+	@r			(6.534)
ãäå = ( 1)j+l+ 21		j +	21	и волновая функция зада¼тся в виде.
Мы будем
	использовать релятивистскую систему единиц
							c	= 1 ;	~ = 1 :	(6.535)

297

Рассмотрим решение радиального уравнения Дирака с кулоновским потенциалом

Z
V = r	:	(6.536)

Запишем радиальное уравнение Дирака в виде

@	+		g (" + me +	Z	)f	=	0	(6.537)

@r		r		r
@r	r		f + (" me +	r	)g	=	0	(6.538)
@				Z

Рассмотрим асимптотику волновой функции при r ! 0

@	+		g	Z	f = 0

@r		r		r

@		f +	Z	g = 0

@r	r		r

Будем искать асимптотику функций g и f в виде

g = Ar ; f = Br

Получаем такую систему уравнений

A( + ) B Z = 0

A Z + B( ) = 0

Ненулевое решение этой системы уравнений имеет место только при det = 0

( + )( ) ( Z)2 = 0

2 = 2 ( Z)2

			e2	1
	=
			c~	137
Z		137 :

(6.539)

(6.540)

(6.541)

(6.542)

(6.543)

(6.544)

(6.545)

(6.546)

(6.547)

Заметим, что, так как j j = j + 12 1, рассматриваемое уравнение Дирака имеет физиче- ский смысл только для Z 137. В случае Z > 137 нельзя рассматривать атомное ядро

как точечную частицу. Надо учитывать распределение заряда в ядре. Например, можно рассматривать ядро как равномерно заряженный шар конечного радиуса.

298

Рассмотрим асимптотику при r ! 1

g (" + me)f = 0

f + ("

me)g = 0 :

Продифференцируем первое уранение по r

g (" + me)

f = 0

@r2

и выразим

f через функцию g с помощью второго уравнения

g + ("2 me2)g = 0

@r2

g = C e r ;

2 = me2 "2 :

(6.548)

(6.549)

(6.550)

(6.551)

(6.552)

В этом параграфе мы рассматриваем дискретный спектр, поэтому можем считать, что " < me. Будем искать функции g и f в виде


		p			e 21 (Q1 + Q2)
g	=	p	me + "		e 21 (Q1 + Q2)		(6.553)
		p				e 21 (Q1 Q2)
f	=	p		me "		e 21 (Q1 Q2)	(6.554)

ãäå

=	2 r ;			(6.555)
	p		:
=	p	me2 "2	:	(6.556)

Выбор множителей в Ур. (6.553), (6.554) определяется Ур. (6.143).

Вывод уравнений Ур. (6.604), (6.605), то есть материал, начиная с Ур. (6.557) до Ур. (6.603) на экзамене рассказывать на надо.

Итак, мы хотим решить следующую систему уравнений

@r		+ r	g " + me +		r	f	=	0	(6.557)
	@			Z
			f + " me +			g
@r		r	f + " me +		r	g	=	0 :	(6.558)
@					Z

299

p p p

Сделаем замену переменных, выразив r через = 2 r, = m2e "2 = me + " me "

@2 r

+ 2 r g

2 r f

(6.559)

" + m

@2 r

2 r

f +

0 :

(6.560)

@ +

(6.561)

" +

+ "

f +

0 :

(6.562)

(Q1

+ Q2)

(6.563)

g = me + " e

(6.564)

d g = me + " (

2)e

(Q1

+ Q2) + me + " e

(Q1

+ Q2)

e 21

me + "

(Q1 + Q2)

(6.565)

e 21 (Q1 Q2)

me "

(6.566)

(Q1 Q2)

(6.567)

d f =

me " ( 2)e

(Q1 Q2) me " e

Q2)

(6.568)

d (Q1

me " e

Рассмотрим Ур. (6.561). В уравнении опустим множитель

me + "e 21 1 :

(6.569)

(Q1 + Q2)

(Q1 + Q2) + (Q1 + Q2) + (Q1 + Q2)

(6.570)

+ "

) + Z

Q )

0 :

(6.571)

Уравнение Ур. (6.561) приводится к виду

+ "

(Q + Q ) + ( + )(Q + Q )

+ Z

Q )

= 0 :

(6.572)

Рассмотрим теперь Ур. (6.562). В уравнении опустим множитель

me "e 21 1 :

(6.573)

300

(Q1 Q2)

Q2) + (Q1 Q2) (Q1

Q2)

(Q1

(6.574)

1 2

me + "

(Q + Q )

me "

+ Q

) =

0 :

(6.575)

Уравнение Ур. (6.562) приводится к виду

d (Q1

Q2) + ( )(Q1

Q2) + Q2 Zr

(Q1 + Q2)

= 0 :

(6.576)

me "

me + "

Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений ((6.572), (6.576)) для функций Q1 è Q2

+ "

(Q + Q

) + ( + )(Q

+ Q

)

Q + Z

)

(6.577)

d (Q1 Q2) + ( )(Q1 Q2) + Q2 Zr

0 :

(6.578)

"(Q1 + Q2)

+ "

Складывая и вычитая почленно эти уравнения, получаем

e Q2

dd Q1 +

Q1 +

(6.579)

dd Q2 + +

Q2 + +

e Q1

0 :

(6.580)

Получим уравнение для Q1. Продифференцируем первое уравнение (6.579)

Q1 +

Q2 =

(6.581)

d 2

и подставим из второго уравнения

e Q1

d Q2 = +

(6.582)

â Óð. (6.581)

dd Q1

dd Q1 + dd 2 Q1 +

e Q1

= 0

(6.583)

301

Выразим Zme Q2 из уравнения (6.579)

dd Q1

dd Q1 + dd 2 Q1 +

+ +

d Q1

e Q1 = 0

2 = 2 ( Z)2

2 = me2 "2

2 = 2

( Z)2

me2 "2

= 2

Zme

= 2

Уравнение (6.586) запишется в виде

d Q1

dd Q1 + dd 2 Q1

+ +

d Q1

Q1 = 0 :

Раскрыв скобки, получаем уравнение

Q1 + (2 + 1 )

= 0 :

d 2

(6.584)

(6.585)

(6.586)

(6.587)

(6.588)

(6.589)

(6.590)

(6.591)

(6.592)

Аналогичным образом получаем уравнение для Q2. Продифференцируем второе урав- нение (6.580)

+ +

Q2 +

= 0 (6.593)

d 2

302

и выразим из уравнения (6.579)

d Q1	=			Q1				e Q2
d	1		Z"		1		Zm

и подставим это в Ур. (6.593)

d Q2 Q2

dd Q2 + dd 2 Q2 + +

Q1 +

e Q2 = 0

Выразив

Zme

из уравнения Ур. (6.580) получаем

Q2 Q2

Q2 +

d 2

d Q2

+ +

e Q2 = 0

Опять используем Ур. (6.590)

= 2

Уравнение (6.598) запишется в виде

d Q2 Q2

dd Q2 + dd 2 Q2 +

d Q2

+ +

Q2 = 0

Раскрыв скобки, получаем уравнение

+ 1

Q2 = 0 :

dd 2 Q2 + (2 + 1 )dd Q2

Окончательно для Q1 è Q2 получаем следующие уравнения (6.592), (6.603)

Q1 = 0

Q1 + (2 + 1 )

d 2

Q2 = 0

dd 2 Q2 + (2 + 1 )dd Q2 + 1

(6.594)

(6.595)

(6.596)

(6.597)

(6.598)

(6.599)

(6.600)

(6.601)

(6.602)

(6.603)

(6.604)

(6.605)

303

При изучении движения в кулоновском поле в рамках нерелятивистской теории мы исследовали вырожденную гипергеометрическую функцию (см. Ур. (5.574))


zu00 + (c z)u0 au = 0
u(z) = C1F (a; c; z) + C2z1 cF (a c + 1; 2 c; z)
a z			a(a + 1) z2
F (a; c; z) = 1 +		+		+ : : :

	c 1!		c(c + 1) 2!
Второе решение (с множителем C2) нефизичное, так как расходится при
образом, функции Q1 è Q2 имеют вид			; 2 + 1;
Q1( ) = AF
		Z"
Q2( ) = BF + 1			; 2 + 1;		:
			Z"

Заметим, что имеет место равенства

(6.606)

(6.607)

(6.608)

! 0. Таким

(6.609)

(6.610)

d	F (a; c; z)	=		a	F (a + 1; c + 1; z) ;	(6.611)
dz
				c
	F (a; c; 0)	=	1 :			(6.612)

Чтобы определить связь констант A и B, рассмотрим Ур. (6.579)

+ 1; 2 + 2;

2 + 1

; 2 + 1;

e BF

+ 1

; 2 + 1;

= 0

(6.613)

при = 0 получаем

A +

e B = 0

(6.614)

21.12.2021

304

Таким образом, мы нашли релятивистские волновые функции электрона в кулоновском поле (V = rZ )

"jlm(r) =

1 gjl(r) jlm(n)

; l0 = 2j l ;

(6.615)

ifjl(r) jl0m(n)

g(r) =

(Q1

( ) + Q2( ))

(6.616)

me + " e

e 21 (Q1( ) Q2( )) ;

f(r) =

me "

(6.617)

ãäå

= 2 r ;

(6.618)

Z)2

;

(6.620)

2e (

;

(6.619)

j+l+ 21

(6.621)

j +

= ( 1)

Функции Q1( ) è Q2( ) выражаются через вырожденные гипергеометрические функции Ур. (6.609), (6.610) с уч¼том Ур. (6.614).

Асимптотическое выражение для вырожденной гипергеометрической функции имеет вид (без доказательства) (см. Ур. (5.589), (5.590))

	(c)		(c)
F (a; c; z)		( z) a +		ezza c ;	jzj ! 1 :	(6.622)
	(c a)		(a)

Для положительных z, как в нашем случае, можно пренебречь первым членом

F (a; c; z)	(c)
F (a; c; z)	(a)ezza c ; z ! +1 :	(6.623)

Получаем, что функции g и f экспоненциально расходятся, если не происходит обры-

вание ряда вырожденной гипергеометрической функции. Действительно, (см. Ур. (6.609), (6.610))

			Z"
Q1( )	=	AF		; 2 + 1;	e = e2 r ;
Q2( )	=	BF + 1		; 2 + 1; e = e2 r ;
				Z"

(ñì. Óð. (6.553), (6.554))

g r	)	=	p		21			Q	) +	Q	))	e21		=	e r ;

(				me + " e		1	(	1(		2(			1

f(r)		=	pme " e			2	(Q1( ) Q2( )) e						2	= e r :

(6.624)

(6.625)

(6.626)

(6.627)

305

Физическими являются только решения, для которых имеет место обрывание рядов. Только такие решения нормируемы на единицу.

Условие обрывания рядов (nr целое число)

	Z"	=	nr 0 ;	äëÿ	Q1 ;


+ 1	Z"	=	nr + 1 0 ;	äëÿ	Q2 :

Åñëè nr = 1; 2; : : :, то обрываются оба ряда.

Åñëè nr = 0, то обрывается только ряд для Q1. Однако при nr = 0 имеем

;

тогда из Ур. (6.590)

= 2

= 0 ;

j j

Zme

Èç Óð. (6.614)

A +

e B = 0 ;

e B

= 0

(6.628)

(6.629)

(6.630)

(6.631)

(6.632)

(6.633)

(6.634)

следует, что если < 0, то B = 0 и, соответственно, Q2 = 0. Однако, если расходится (при nr = 0).

Выберем в качестве констант A и B величины

A = Zme ;

B = + = nr :

Условие (6.614) будет выполнено.

Мы получаем, что физические решения существуют при

nr	=		1; 2; 3; : : : ;	ïðè	> 0	:
			0; 1; 2; : : : ;	ïðè	< 0

> 0, òî Q2

(6.635)

(6.636)

(6.637)

306

Получим выражение для энергии из Ур. (6.628)

	Z"			= nr


	me2 "2
p( Z)2"2				= ( + nr)		2
	2	"	2	= ( + nr)
	me	"			( Z)2 + (nr + )2		1
					( Z)2 + (nr + )2		1
		"2		= me2
		"2		= me2		( + nr)2

Получаем формулу Зоммерфельда (Arnold Sommerfeld)

(6.638)

(6.639)

(6.640)

me "1 +

1=2

" =

( )

(6.641)

( 2

( Z)2 + nr)2

в релятивистских единицах, или в терминах mec

"1 +

1=2

" =

mec2

( )

(6.642)

(

( Z)2 + nr)2

Энергия зависит только от модуля j j

= j + 1=2, следовательно она фактически не

зависит от l = j 1=2.

Разложим выражение для энергии в ряд Тейлора по ( Z)

(

"njl = mec2 mec2

( )

1 +

)

+ O ( Z)4 ;

(6.643)

2n2

j j

где мы ввели обозначение

= nr + j j :

(6.644)

Величину n называют главным квантовым числом (principal quantum number).

Полученное выражение для релятивистской энергии надо сравнить с формулой Бора (5.608)

Bohr	mec	2	( Z)2	:	(6.645)
			2n2
"njl

Нерелятивистская энергия зависит только от главного квантового числа ( n) и не зависит ни от орбитального момента l, ни от спина.

Релятивистская энергия (формула Зоммерфельда) зависит от полного орбитального момента. Таким образом, уч¼т релятивистских поправок (см. Ур. (6.393)) приводит к

307

тому, что уровни энергии для фиксированного l 1 расщепляются на два уровня с

различными j = l 12 . Это расщепление называется тонкой структурой.

Привед¼м явный вид релятивистской волновой функции электрона дискретного спектра (см. Ур. (6.626), (6.627), (6.609),(6.610), (6.635), (6.636))

"jlm(r)

= r

ifjl(r) jl0m(n)

;

(6.646)

gjl(r) jlm(n)

(2 + 1) "

nr! #

1=2

f(r)

4 Zme

Zme

g(r)

(2 )1=2

(m ") (2 + nr + 1)

(2 r) e r

Zme

F ( nr; 2 + 1; 2 r) nrF (1 nr; 2 + 1; 2 r)

h "jlmj "jlmi

(6.647)

1 :

(6.648)

Âэтой формуле верхний знак относится к функции g, нижний знак к функции f.

Âрелятивистской теории электроны обозначают как nlj (ñì. Óð. (5.601)), ãäå îðáè- тальный момент обозначают буквами

l :	0;	1;	2;	3;	4;	5;	6	(6.649)
	s;	p;	d;	f;	g;	h;	i :	(6.650)

Количество электронов с главным квантовым числом n, полным угловым моментом j и ч¼тностью (( 1)l) есть 2j + 1, то есть количество различных проекций полного углового момента m.

n = 1 : 1s1							: N1 = 2 ;
2
n = 2 : 2s1 ; 2p1 ; 2p3							: N2 = 2 + 2 + 4 = 8 ;	(6.651)
2	2	2						(6.651)
2	2	2
n = 3 : 3s1 ; 3p1 ; 3p3 ; 3d3 ; 3d5							: N3 = 2 + 2 + 4 + 4 + 6 = 18 ;
2	2	2	2	2
n = 4 : 4s1 ; 4p1 ; 4p3 ; 4d3 ; 4d5 ; 4f5 ; 4f7							: N4 = 2 + 2 + 4 + 4 + 6 + 6 + 8 = 32 :
2	2	2	2	2	2	2

Nn показывает количество электронов с главным квантовым числом n.

Согласно формуле Зоммерфельда (6.642) электроны с одинаковым главным квантовым числом (n) и полным угловым моментом (j) имеют одинаковую энергию. Например,

"2s 1	= "2p 1 , "3p 3		= "3d 3 è ò. ä.
2	2	2		2
Радиальные функции g(r) и f(r) 1s-электрона имеют вид
			g1 21 0		(r) = (2 Zme) +1=2r										r e Zmer
			g1 21 0		(r) = (2 Zme) +1=2r								2 (2 + 1)me		r e Zmer
														me + "		(6.652)
			1	2 0		r				2	0
			1	2 0		r	me	+ " 1		2	0
			f	1	(r) =		me	"	g	1		(r) :				(6.653)
								"

308

Рис. 6.1: Спектр уравнения Дирака.

Рассмотрим различие асимптотики релятивистской и нерелятивистской функции при

r ! 0

r 1 ;

(NR) rl

(6.654)

1 =

j j

( Z)2

(6.655)

j j 1

1 < l :

(6.656)

2j j2

( Z)2

;

(NR)

C ;

(6.657)

ns 1

= 1 ;

( Z)2

;

(NR)

r ;

= 1 :

(6.658)

np 1

6.11Уравнение Дирака с кулоновским полем. Непре-

рывный спектр

Рассмотрим релятивистские волновые функции электрона с определ¼нной энергией ", полным угловым моментом (j), его проекцией (m) и ч¼тностью (( 1)l). Волновую функ-

309

цию будем искать в виде

1 gjl(r) jlm(n)

"jlm(r) = r ifjl(r) jl0m(n)

: (6.659)

Выше мы получили, что волновая функция дискретного спектра имеет вид (см. Ур. (6.647))

(2 + 1) "

1=2

f(r)

4 Zme

Zme

nr!

g(r)

(2 )1=2

(me

") (2 + nr + 1)

(2 r) e r

Zme

F ( nr; 2 + 1; 2 r) nrF (1 nr; 2 + 1; 2 r)

(6.660)

В случае дискретного спектра энергия

была в интервале

mec

< " < mec

2. Здесь нас

интересует случай когда энергия j"j > mec

me2 "2 = i

"2 me2

= ip ;

(6.661)

"2 me2

(6.662)

Удобно также ввести следующие параметры

;

(6.663)

+ i

e2i

(6.664)

+ i

i "

Выше, как условие обрывания рядов, мы вводили nr

(ñì. Óð. (6.628))

nr 0 :

(6.665)

В случае непрерывного спектра последний аргумент вырожденной гипергеометрической функции чисто мнимый и обрывание рядов не требуется. Здесь мы не будем использовать параметр nr

nr = +

= i

= i ;

Zme

= i

( i ) = e

( i ) :

Согласно уравнению (6.590)

= 2

;

(6.666)

(6.667)

(6.668)

310

тогда мы можем записать

2 +

= 2 +

;

(6.669)

2 +

= 2 + 2 :

(6.670)

Радиальные волновые функции примут вид

f(r)

= C

jme "j(2pr) e ipr

g(r)

p2i

(6.671)

(

i )F ( + i ; 2 + 1; 2ipr)

(6.672)

i )F (1 + + i ; 2 + 1; 2ipr) ;

(6.673)

где мы ввели нормировочную константу C.

Для вырожденной гипергеометрической функции верно следующее равенство

F ( ; ; z)

ezF ( ; ; z) :

(6.674)

Сделаем такое преобразование для первой вырожденной гипергеометрической функции в Ур. (6.673)

F ( + i ; 2 + 1; 2ipr)

= e2iprF ( + 1 i ; 2 + 1; 2ipr) :

(6.675)

f(r) = C

jme "j(2pr) e ipr

g(r)

p2i

(

2ipr

F ( + 1 i ; 2 + 1;

2ipr)

i )e

i )F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr)

(6.676)

Запишем радиальные функции по отдельности

p(j + i )ej

ipr+i F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr)

g(r) = C " + me

(2pr) e i

;

+ ( i )eipr i F ( + 1 i ; 2 + 1; 2ipr)

(6.677)

f(r) = Ci

" mej

(2pr) e i

p( j + i )e ipr+i F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr)

(

i )eipr i F ( + 1

i ; 2 + 1;

2ipr)

(6.678)

Заметим, что первые и вторые слагаемые в фигурных скобках отличаются комплексным сопряжением.

311

Возьм¼м в качестве нормировочной константы C

1 ( + i )

e 2

j j

ei(3 + 2

;

(6.679)

(2 + 1)

тогда радиальные функции примут вид

( + i )

" + m

g(r) =

e 2

j j

ei(2 + 2 )s

(2pr)

(2 + 1)

e ipr+i F

(

+ 1 + i ; 2 + 1; 2ipr) + c.c. ;

(6.680)

(

)

( + i )

" mej

f(r) = i

e 2

ei(2 +

)

(2pr)

j (2 + 1)j

( + i )e ipr+i F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr) c.c. :

(6.681)

c.c. означает комплексно сопряж¼нный член.

Покажем, что при таком выборе нормировочной константы C волновые функции "jlm нормируются на дельта-функцию от энергии как

h "jlmj "0j0l0m0i

g"jl

g"0j0l0

+ f"jlf"0j0l0

= (" "0) :

(6.682)

Рассмотрим асимптотику вырожденной гипергеометрической функции при r ! 1

(c)

F (a; c; z)

( z) a +

ezza c ;

jzj ! 1 :

(6.683)

(c a)

(a)

(2 + 1)

F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr)

( 2ipr) 1 i

(6.684)

(

i )

(2 + 1)

e2ipr(2ipr) +i :

(6.685)

( + 1 + i )

Первый член пропорционален r 1, а второй r , поэтому первый член можно опустить

		(2 + 1)		i arg( ( +i ))		2ipr		+i (6.686)
F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr)		( + i )j ( + i )j	e		e		(2ipr)	;
где мы преобразовали -функцию следующим образом
( + 1 + i )	=	( + i ) ( + i )						(6.687)
	=	( + i )j ( + i )jei arg( ( +i )) :						(6.688)

312

Сделаем также преобразование

(2ipr) +i = (2pr) (2pr)i i +i = e ln 2pr ei ln 2pr ei 2 ( +i )

= e ln 2pr 2 ei( 2 + ln 2pr)

(2 + 1)

F ( + 1 + i ; 2 + 1; 2ipr)

e ln 2pr 2

( + i ) ( + i )

ei(2pr 2 + ln 2pr) i arg( ( +i )) :

Введем величину

arg( ( + i )) :

Тогда радиальные функции запишутся как ( r ! 1)

g(r)

2ei(2 +

2 )r

ei(pr+ + ln 2pr) + c.c. ;

" + m

f(r)

ei(2 + 2 )

" me

ei(pr+ + ln 2pr)

c.c.

g(r)

ei(2 + 2

cos(pr + + ln 2pr) ;

" + m

f(r)

ei(2 + l2 )

" me

sin(pr + + ln 2pr) :

Воспользуемся формулой (5.666)

2 (p p0) ; p > 0 ;

> 0 :

Z0 dr sin (pr) sin (p0r)

dr cos(pr + + ln 2pr) cos(p0r + + ln 2p0r)

2 (p p0) =

2" (" "0) ;

dr cos(pr) cos(p0r) =

(6.689)

(6.690)

(6.691)

(6.692)

(6.693)

(6.694)

(6.695)

(6.696)

313

dr sin(pr + + ln 2pr) sin(p0r + + ln 2p0r)

(6.697)

(" "0) :

(6.698)

"jlmj "0j0l0m0i

dr g"jlg"0j0l0

+ f"jlf"0j0l0

(6.699)

(" + me)

"0) +

(" me)

"0) = ("

"0) (6.700)

p 2"

Функции

"jlm è "0j0l0m0

ортогональны для различных квантовых чисел, так как они соб-

ственные функции соответствующих эрмитовских операторов. Нам надо было выяснить

как именно расходятся эти интегралы при

p = p0

è " = "0 ïðè r

, поэтому мы

заменили точные функции их асимптотиками.

! 1

Мы использовали свойства дельта-функции (см. Ур. (2.277))

" p

"0) =

p0)

(6.702)

dp pme2

+ p2

me2 + p2

me2 + p02

(6.701)

p0) :

Заметим, что это соотношение отличается от аналогичного соотношения в нерелятивистском случае (см. Ур. (5.674)).

Привед¼м (без доказательства) выражение для волновой функции электрона с определ¼нным значением импульса (p) и проекцией спина ( ) на направление импульса в

асимптотике r ! 1 (см. параграф 5.15, Ур. (5.739), (5.740), (5.766))

( )Z

(2 )3=2

i ( )Z

"jl

(6.703)

";p (r)

[ jlm

( )v ( )]e

"jlm

(r) ;

(6.704)

( )Z

p "

jlm

h ";p j "0;p0 0i = (2 ) (p p ) 0 ;

ãäå = p

p ,

v ( )

= v ( ) ;

(6.705)

v+( )v ( )

1 :

(6.706)

Кулоновские фазы имеют вид

(+)Z

arg ( + i ) +

(l + 1)

"jl

;

(6.707)

"jl( )Z

2 "jlZ 2

arg ( + i ) +

(6.708)

(l + 1)

314

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 6743 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf