Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

6.8Радиальное уравнение Дирака

Рассмотрим уравнение Дирака с центральным полем V (r) = V (r)

^

=

" (r) ;

 

(6.450)

hD (r)

 

^

=

2

+ V (r) :

(6.451)

hD

c p + mec

Как и в нерелятивистском случае, в центральном поле удобно использовать сферический

координаты. Тогда мы сможем отделить угловые и радиальные переменные.

 

Мы будем сначала искать функцию

â âèäå

 

 

 

=

 

:

 

(6.452)

 

'

 

 

 

Уравнение Дирака примет вид

 

 

 

 

c p^ + mec2' + V '

=

"' ;

(6.453)

c p^' mec2 + V

=

" :

(6.454)

Представим оператор p^ (только он действует на угловые переменные) в более удобном

âèäå.

Выше мы вводили оператор орбитального момента

 

 

 

 

~l^ = [r p^] :

(6.455)

Рассмотрим оператор (см. Ур. (6.84))

 

~( r)( l^) =

~rl^+ i~ [r l^] = r[r p^] + i [r [r p^]]

(6.456)

Мы использовали, что

=

i r(rp^) r2p^ = i( r^)(rp^) ir2 p^ :

(6.457)

 

 

 

 

r[r p^] = 0 :

(6.458)

Тогда мы можем записать оператор p^ в виде

 

 

p^

=

i

~( r)( l^) i( r^)(rp^)

(6.459)

 

r2

 

 

=

i

r ~ l^ irp^

(6.460)

 

 

r2

= n

i

~ l^+ np^

(6.461)

r

 

 

 

= i~ n

1

^

 

@

 

 

r

 

l

@r

:

(6.462)

290

Здесь мы использовали, что

np^

= i~nr = i~

@

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

=

 

 

 

= er ;

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

@

1 @

 

 

1 @

 

=

er

 

+ e

 

 

 

+ e'

 

 

 

:

@r

r

@

r sin

@'

Введ¼м оператор

(6.463)

(6.464)

(6.465)

^

=

^

 

 

 

k

(1 + l) ;

 

 

 

^

=

^

 

 

 

l

(k + 1) :

 

 

 

Тогда оператор p^ запишется в виде

 

r (k^ + 1)

@r

 

p^ = i~ n

:

 

 

 

1

 

@

 

 

(6.466)

(6.467)

(6.468)

Оператор ^

k нам удобен тем, что мы знаем его собственные функции это шаровые спиноры jlm( ; ') (ñì. Óð. (5.483)

 

Xl s

 

 

 

jlm( ; ') =

Cjm

1

Ylml ( ; ') ms :

(6.469)

 

lml;

2

ms

 

m m

Действительно, рассмотрим

 

^

^

 

 

 

 

 

^

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j = l + s = l +

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^2

^2

 

 

1

 

 

2

 

 

^

^2

 

3

^

 

 

 

j

= l

+

4

 

 

+ l = l

 

+

4

+ l ;

 

 

 

^

^2

 

 

^2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

= j

l

 

4

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Видно, что ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

^

 

 

 

 

 

 

 

k можно выразить через операторы j и l

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

^2

 

^2

 

 

1

 

 

 

 

k = (1 + l) =

j

+ l

 

 

4

:

 

 

Мы получаем, что шаровые спиноры будут собственными оператора ^

 

 

 

j^2 + l^2 4

 

jlm = j(j +

 

 

 

 

k

 

 

k^ jlm =

1) + l(l + 1) 4

jlm

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

= jlm :

(6.470)

(6.471)

(6.472)

(6.473)

(6.474)

(6.475)

По правилам сложения моментов при фиксированном l полный момент может принимать только два значения: j = l 12 (в случае l = 0 только одно значение: j = 12 )

291

1. j = l + 21 , l = j 21

j(j + 1) +

j 2

j 2

+ 1

 

 

 

 

=

4

(6.476)

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

j2 j + j2

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

 

= j

 

 

 

(6.477)

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

2

 

 

 

2. j = l 12 , l = j + 12 , l 1

=

j(j + 1) +

j + 2

j +

2 + 1

4

(6.478)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

j2 j + j2

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

1

 

(6.479)

=

+ 2j +

= j +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

2

 

Оба эти варианта можно описать одним равенством

= ( 1)j+l+ 2

j +

2

 

:

(6.480)

1

 

1

 

 

 

Подставим оператор p^ в виде (6.468) в систему уравнений (6.453), (6.454)

ci~n

1

^

 

@

2

 

r

(k + 1)

@r

+ mec

' + V ' = "'

1

^

 

@

2

 

ci~n

r

(k + 1)

 

@r

' mec

+ V = "

Решение системы уравнений (6.481), (6.482) будем искать в виде

=

 

=

r

if(r) jl0m( ; ')

; ãäå l0

= 2j l :

 

'

 

1

g(r) jlm( ; ')

 

 

(6.481)

(6.482)

(6.483)

Заметим, что l0 это второе возможное значение орбитального момента (если первое есть

l) при фиксированном j: l = j

 

1 . Действительно, если l = j + 1 , òî l0

= 2j

 

l = j

 

1 .

1

2

1

2

 

 

2

И наоборот, если l = j 2 , òî l0 = 2j l = j + 2 . Соответственно, мы можем написать

 

 

 

jl l0j

=

1 :

 

 

(6.484)

При этом верно равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jl

=

jl0 ;

ãäå

l0 = 2j l :

 

 

(6.485)

Мы будем использовать следующее равенство (без доказательства)

 

 

 

 

 

(n) jlm

= jl0m ;

 

ãäå l0 = 2j l :

 

 

(6.486)

292

Подставим функцию в виде (6.483) в систему уравнений (6.481), (6.482)

ci~n

1

^

 

@

1

2

1

 

1

1

r

(k + 1)

@r

i

r

f jl0m + mec

 

r

g jlm + V

r

g jlm

= "

r

g jlm (6.487)

1 ^

 

@

1

2

1

1

1

ci~n

 

(k + 1)

 

 

 

 

g jlm mec

i

 

f jl0m + V i

 

f jl0m

= "i

 

f jl0m(6.488)

r

@r

r

r

r

r

Воспользуемся тем, что шаровые спиноры являются собственными функциями для оператора ^

k (ñì. Óð. (6.475))

k^ jlm

=

jlm ;

ãäå = ( 1)j+l+ 2

j +

2

 

;

(6.489)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

^

=

jl0m ;

ãäå

l

0

= 2j

l ;

 

 

 

 

(6.490)

k jl0m

 

 

 

 

 

 

 

и поделим второе уравнение на i

c~n

1

 

@

1

1

1

1

 

 

( + 1) +

 

 

 

f jl0m + mec2

 

g jlm + V

 

g jlm

= "

 

g jlm ; (6.491)

r

@r

r

r

r

r

1

 

 

@

1

1

1

1

c~n

 

( + 1)

 

 

 

 

g jlm mec2

 

f jl0m + V

 

f jl0m

= "

 

f jl0m : (6.492)

r

@r

r

r

r

r

Заметим, что определяется через j и l верхней компоненты. Воспользуемся равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

1 @

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

( + 1) +

@r

 

 

r

 

f

=

 

r

 

( + 1)

r

f

r2

f +

r

 

@r

f

(6.493)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

 

( )

f +

1

 

@

f

 

 

 

 

 

 

(6.494)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

@r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

r

 

r +

@r f ;

 

 

 

 

 

 

(6.495)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r ( + 1) @r

r g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

r

 

 

r

@r g

 

 

 

 

 

 

(6.496)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

1

 

1

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и домножим оба равенства на r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c~n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ mec2g jlm + V g jlm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

f jl0m

= "g jlm ;

(6.497)

 

 

r

@r

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c~n

 

 

 

 

 

 

 

g jlm mec2f jl0m + V f jl0m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

@r

 

= "f jl0m :

(6.498)

Теперь воспользуемся Ур. (6.486), сделав замены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n) jl0m =

 

 

 

jlm ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l0

 

= 2j

 

l ;

(6.499)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n) jlm

 

=

 

 

 

jl0m ;

ãäå

 

 

 

(6.500)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

293

"jlm,

в первом и во втором уравнениях, соответственно,

c~

 

 

@

f jlm + mec2g jlm + V g jlm = "g jlm ;

(6.501)

 

 

 

r

@r

c~

 

+

@

g jl0m mec2f jl0m + V f jl0m = "f jl0m :

(6.502)

 

 

 

 

r

@r

Теперь шаровые спиноры в этих уравнениях можно опустить и мы получаем радиальное уравнение Дирака для центрального поля

c~

 

 

@

f + mec2g + V g = "g ;

(6.503)

 

 

 

r

@r

c~

 

+

@

g mec2f + V f = "f ;

(6.504)

 

 

r

@r

ãäå = ( 1)j+l+ 12 j + 12 и волновая функция зада¼тся в виде (6.483)

1 g"jl(r) jlm( ; ') "jlm(r) = r if"jl(r) jl0m( ; ')

; ãäå l0 = 2j l :

(6.505)

Значение орбитального момента l определяется по верхней компоненте волновой функ-

ции. Заметим, что волновая функция "jlm не является собственной функцией оператора l^2. Соответственно, релятивистская частица не обладает определ¼нным орбитальным мо-

ментом. Ниже мы покажем, что величина l определяет ч¼тность волновой функции поэтому мы указываем также индекс l.

Волновая функция "jlm описывает состояние с определ¼нной энергией ( "), полным угловым моментом (j), его проекцией (m) и ч¼тностью (( 1)l)

^

 

=

" "jlm(r) ;

hD "jlm(r)

^2

"jlm(r)

=

j(j + 1) "jlm(r) ;

j

^

 

=

m "jlm(r) ;

jz "jlm(r)

^

"jlm(r)

=

( 1)

l

P

"jlm(r) ;

(6.506)

(6.507)

(6.508)

(6.509)

ãäå ^

P оператор инверсии. Последнее равенство мы докажем в следующем параграфе. В частности, мы покажем, что при инверсии меняется не только вектор r (r ! r), но и четыре компоненты функции (спиновые переменные).

294

6.9Собственные функции уравнения Дирака с определ¼нной энергией, полным угловым моментом и ч¼тностью

В предыдущем параграфе мы показали, что собственные функции уравнения Дирака могут быть представлены в виде Функции с определ¼нным моментом и ч¼тностью

1 g"jl(r) jlm(n) "jlm(r) = r if"jl(r) jl0m(n)

; ãäå l0 = 2j l :

(6.510)

Покажем, что эти функции обладают определ¼нной ч¼тностью относительно инверсии. Инверсия

r ! r0 = r

(6.511)

Рассмотрим уравнение Дирака в следующем виде (см. Ур. (6.271))

i~@t c p mec2

V + e A

(r) = 0 :

(6.512)

@

 

 

 

 

Рассмотрим уравнение Дирака в системе координат, отличающейся от первой системы инверсией

i~@t + c p^ mec2

V e A

~(r0) = 0 ;

(6.513)

@

 

 

 

 

После инверсии вектора p^ и A поменяли знак. Так

как оператор изменился, в общем

случае функция ~(r0) может отличаться от функции

(r0).

Потребуем чтобы волновые функции в изначальном пространстве и в пространстве после инверсии отличались линейным преобразованием, не зависящим от координат и

времени,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 0

)

=

^

0

) :

 

 

 

(6.514)

 

 

 

(r

P

(r

 

 

 

 

Убедимся, что оператор ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P можно представить в виде

 

 

 

 

 

^

= P ;

 

 

 

 

(6.515)

 

 

 

P

 

 

 

 

где -матрица Дирака (см. Ур. (6.71)), P комплексное число.

 

 

i~@t + c p^ mec2

V e A P

(r0)

=

0 ;

(6.516)

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

i~@t c p^ mec2

V + e A

(r0)

=

0 ;

(6.517)

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

295

Домножив последнее равенство на и разделив на P , убеждаемся, что Ур. (6.517) ñîâ- падает с Ур. (6.512). Сделав инверсию, мы получаем то же уравнение Дирака. При преобразовании (6.514) уравнения (6.512) и (6.513) оказываются эквивалентными.

Таким образом, для инвариантности уравнения Дирака относительно инверсии, волновые функции при инверсии должны преобразовываться как

~

^

( r) :

(6.518)

( r)

= P

Здесь мы определили, как преобразуются компоненты волновой функции при инверсии. Так как двойная инверсия не должна менять пространство, мы получаем

 

(r)

=

^2

(r)

(6.519)

 

P

и, соответсвенно, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

P2

=

1 :

 

(6.520)

Выбирают

 

 

 

 

 

 

 

 

P

=

1 :

 

(6.521)

Получаем, что при инверсии функция

преобразуется как

 

^

=

~

 

 

(6.522)

P (r)

 

( r) = ( r) :

Рассмотрим как ведут себя при инверсии функции

"jlm(r) =

1

g"jl(r) jlm(n)

;

ãäå l0 = 2j l :

r

 

if"jl(r) jl0m(n)

Соответсвующая функция в пространстве с инверсией будет иметь вид

 

 

 

 

r

if"jl(r) jl0m( n)

P^

"jlm(r) = ~"jlm( r) = "jlm(

 

r) =

1

 

g"jl(r) jlm( n)

 

 

 

Шаровые спиноры jlm(n) обладают ч¼тностью ( 1)l (ñì. Óð. (5.483)

X

jm

jlm(n) = Clml; 21 ms Ylml (n) ms : mlms

(6.523)

:(6.524)

(6.525)

Действительно, согласно Ур. (5.57), (5.58), (5.116)

Ylml ( n)

=

( 1)lYlml (n) ;

 

 

(6.526)

 

 

Xl s

 

l

 

jlm( n)

 

jm

( n) ms

 

=

Clml; 21 ms Ylml

= ( 1) jlm(n) :

(6.527)

m m

296

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности