- •Введение
- •Список литературы
- •Экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической механики
- •Опыты, демонстрирующие волновые свойства электрона
- •Гипотиза де Бройля (Louis de Broglie). 1924
- •Опыт Дж. П. Томсона (George Paget Thomson). 1927
- •Опыт Л. Бибермана, Н. Сушкина и В. Фабриканта. 1949
- •Математический аппарат квантовой механики
- •Гильбертово пространство
- •Примеры гильбертова пространства.
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Примеры операторов
- •Соотношения между операторами
- •Свойства операторов
- •Дельта-функция
- •Общая процедура построения дельтообразных последовательностей
- •Собственные функции операторов с непрерывным спектром
- •Собственные функции оператора импульса
- •Собственные функции оператора координаты
- •Унитарные операторы
- •Оператор координаты и импульса в импульсном представлении
- •Функция от оператора
- •Две теоремы о коммутирующих операторах
- •Основы квантовой механики
- •Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины.
- •Волновая функция
- •Определение 1.
- •Волновая функция. Определение 2.
- •Измеримость физической величины
- •Редукция волнового пакета
- •Оператор импульса
- •Квантовые скобки Пуассона
- •Оператор эволюции
- •Стационарные состояния
- •Уравнение неразрывности
- •Примеры гамильтонианов
- •Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg)
- •Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга
- •Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest)
- •Минимизирующий волновой пакет
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы.
- •Матричное представление операторов
- •Простейшие модели
- •Одномерное движение
- •Качественный анализ спектра гамильтониана.
- •Прямоугольная потенциальная яма
- •Прямоугольный потенциальный барьер
- •Гармонический осциллятор
- •Когерентные состояния гармонического осциллятора
- •Дижение в центральном поле
- •Оператор орбитального момента
- •Операторы сдвига и поворота
- •Инверсия
- •Оператор орбитального момента в сферических координатах
- •Оператор момента
- •Шаровые спиноры (spinor spherical harmonics)
- •Шаровые векторы (vector spherical harmonics)
- •Движение в центральном поле
- •Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр
- •1s-электрон
- •Свободная частица как частица в центральном поле
- •Уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака для свободной частицы
- •Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного электрона
- •Полный угловой момент электрона
- •Зарядовое сопряжение
- •Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули.
- •Уравнение неразрывности для уравнения Дирака
- •Радиальное уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр
- •Стационарная теория возмущений
- •Квазивырожденная стационарная теория возмущений
- •Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней
- •Эффект Зеемана. Бесспиновая частица
- •Аномальный эффект Зеемана
- •Эффект Штарка
- •Квадратичный эффект Штарка
- •Линейный эффект Штарка
- •Теория нестационарных возмущений
- •Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения
- •Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени
- •Движение в магнитном поле
- •Спин в магнитном поле
- •Движение в однородном магнитном поле
- •Фаза Берри
- •Плотность потока вероятности и векторный потенциал
- •Теория рассеяния
- •Рассеяние микрочастиц
- •Формула Борна
- •Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале (потенциале Юкавы)
- •Рассеяние заряженных частиц атомами
- •Метод парциальных волн
- •Эффект Рамзауера
- •Квантовая задача многих тел
- •Система тождественных частиц. Принцип Паули.
- •Одночастичное приближение
- •Матрица плотности
- •Матрица плотности
- •Свойства матрицы плотности. Статистический оператор
- •Квантовое уравнение Лиувилля
- •Матрица плотности подсистемы
- •Введение в теорию молекул
- •Система двух электронов
- •Молекула водорода. Ковалентная связь
- •Уравнение Хартри-Фока
- •Детерминант Слэтера
- •Вариационный принцип
3. Поправка Дарвина
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
|
|
|
|
||
|
hDW |
|
= |
|
|
8me2c2 |
V ; |
|
(6.407) |
|||||||
Рассмотрим как выглядит поправка Дарвина в случае кулоновского поля |
|
|||||||||||||||
V |
= |
e2Z |
; |
|
|
|
|
|
|
(6.408) |
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
V |
= e2Z |
|
= e2Z4 (r) : |
(6.409) |
||||||||||||
r |
||||||||||||||||
Уравнение Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= 4 (r) : |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6.410) |
|||||||||
|
r |
|
|
|||||||||||||
|
~2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
~2e2Z |
|
|
||
hDW = |
|
|
|
|
|
e |
Z4 (r) = |
|
(r) ; |
(6.411) |
||||||
|
8me2c2 |
2me2c2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Согласно Ур. (5.543) волновая функция электрона имеет следующую асимптотику при r ! 0
(r) = c0rl ; r ! 0 : |
(6.412) |
Соответственно, среднее значение оператора поправки Дарвина будет отлично от нуля только для s-электронов, то есть для l = 0.
6.7Уравнение неразрывности для уравнения Дирака
|
|
|
|
|
|
18.12.2021 |
Рассмотрим уравнение Дирака для свободного электрона Ур. (6.73)-(6.74) |
||||||
i~ |
@ |
|
= c p + mec2 |
|
+ V ; |
(6.413) |
|
||||||
@t |
|
|
|
|
||
где потенциал V вещественная функция. Волновая функция |
я вляется биспинором |
|||||
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
= |
' |
= |
B |
2 |
C |
: |
(6.414) |
|
3 |
||||||
|
|
|
B |
4 |
C |
|
|
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
286
Фунцию |
можно |
|
+ имеет вид |
|
|
|
4 1 |
|
|
рассматриать как прямоугольную матрицу размерности |
. |
||||
Сопряж¼нная функция |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ = ('+; +) = ( ; |
; |
; |
) : |
(6.415) |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Фунцию |
+ можно рассматриать как прямоугольную матрицу размерности 1 4. |
||||||
Произедение матриц 1 4 и 4 1 есть матрица 1 1, то есть саляр |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
+ = |
1 1 + 2 2 + 3 3 + |
4 4 |
= |
j j : |
(6.416) |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
Это не надо путать со скалярным произведением элементов гильбертова пространства
h j i = |
Z |
d3r ( 1 1 + 2 2 + |
3 3 + |
4 4) : |
(6.417) |
|||||
Запишем уравнение Дирака в следующем виде |
|
|
|
|||||||
|
|
i~ |
@ |
|
|
= i~c r + mec2 |
+ V |
: |
(6.418) |
|
|
|
|
|
|
||||||
@t |
|
|||||||||
Посмотрим как выглядят это уравнение покомпонентно ( j = 1; 2; 3; 4) |
|
|||||||||
@ |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|||
i~ |
|
j |
= |
|
|
|
i~c jkr k + mec2 jk k |
+ V j : |
(6.419) |
|
@t |
|
=1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Комплексно сопряжнное уравнение будет иметь вид
i~ @ @t j
4
Xk |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
i~c jkr k + mec jk |
k |
+ V |
j |
(6.420) |
||||
= |
|
|
|||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
i~cr k kj + mec2 |
|
|
|
j : |
|
|||
= |
|
k+ kj |
+ V |
(6.421) |
|||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы использоали то, что матрицы и эрмитовские: jk = kj, jk |
= kj. |
|
|||||||
Обычно сопряж¼нное уравнение Дирака записыват в матричной форме |
|
||||||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|||
i~ |
|
|
+ |
= i~cr + + mec2 + + V + : |
|
(6.422) |
|||
@t |
|
|
|
||||||
Каждый член этого уравнения |
|
|
+ |
|
1 4. |
||||
|
|
|
|
|
является прямоугольной матрицей размерности |
|
|||
Домножим Ур. (6.418) слева на |
|
|
|
||||||
@ |
|
|
|
|
i~c + r + mec2 + + V + : |
|
|
||
i~ + |
|
|
= |
|
(6.423) |
||||
@t |
|
||||||||
287
Домножим Ур. (6.422) справа на
i~ |
@ |
|
+ |
|
|
= |
i~c(r +) + mec2 + + V + : |
(6.424) |
||
@t |
|
|
|
|
||||||
Вычтем из уравнения (6.423) уравнение (6.424) |
|
|||||||||
|
i~ |
@ |
|
+ |
|
= |
i~c + r i~c(r +) |
(6.425) |
||
|
|
|
|
|||||||
|
@t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
i~cr( |
+ ) : |
(6.426) |
|
|
|
|
|
@ |
+ |
+ cr( |
+ ) = 0 : |
(6.427) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
@t |
|
|||
Как и нерелятивистском случае вводим понятие плотности вероятности ( ) и плотно-
сти потока вероятности (j) |
|
|
||
|
= + |
; |
(6.428) |
|
|
j = c + : |
(6.429) |
||
Тогда Ур. (6.427) можно представить в виде |
|
|
||
|
@ |
+ divj |
= 0 : |
(6.430) |
|
|
|||
|
@t |
|
|
|
Мы получили уравнение неразрывности для уранения Дирака.
Это надо сравнить с уранением неразрвности в нерелятивистской теории (3.351).
В нерелятивистской теории плотность вероятности ( ) и плотность потока вероятности (j) имеют вид (см. Ур. (3.326), (3.327))
(NR) = ; |
(6.431) |
j(NR) = |
1 |
p^ + (p^ ) |
(6.432) |
2me |
= |
i~ |
r r : |
(6.433) |
2m |
Покажем, что в нерелятивистском пределе поток (6.429) переходит в Ур. (6.432). Рассмотрим
j = |
c + = c('+; +) |
|
0 |
|
(6.434) |
|
c '+ + + ' : |
0 |
|
' |
|
= |
|
|
|
(6.435) |
288
Предстаим нижнюю компоненту волновой фунции виде (см. Ур. (6.289), где A = 0)
|
|
|
|
1 |
p^' ; |
(6.436) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2mec |
||||||
j c |
'+ 2mec |
p^' + 2mec( p^')+ ' |
(6.437) |
|||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|||
= 2me '+ ( p^)' + ((p^')+ ) ' : |
(6.438) |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся Ур. (6.82), (6.82) в виде
|
( p^) |
= |
p^ + i[ p^] = p^ i[p^ ] |
(6.439) |
|
( p^) |
= |
p^ + i[p^ ] : |
(6.440) |
j 2me '+p^' + i'+[p^ ]' + (p^')+' i[(p^')+ ]' : |
(6.441) |
|||
1 |
|
|
|
|
Возьм¼м в качестве функции ' функцию
' = Ce~i pr ;+ = 1 ;
'+' = jCj2 ;
h'pj'p0i = jCj2(2 ~)3 3(p p0) ;
где спинор, не зависящий от координат.
p^' = p' ;
(p^')+ = p'+ :
j 1 '+p' + i'+[p ]' + p'+' i'+[p ]'
2me
=jCj2 p me
(6.442)
(6.443)
(6.444)
(6.445)
(6.446)
(6.447)
(6.448)
(6.449)
Это выражение совпадает с нерелятивистским потоком плотности вероятности (см. Ур. (3.395)).
289