Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6740 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Мы видим, что при зарядовом сопряжении проекция спина на ось z меняет знак ( ! ). Однако, импульс p = pez направлен против оси z, тем самым проекция на направление импульса (то есть на оси p = pez èëè p = pez, соответственно) не меняет- ся. Это объясняет представление позитронов как дырок в отрицательноэнергетическом электронном спектре.

6.5Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули.

11.12.2021

Рассмотрим уравнение Дирака с внешним электромагнитным полем ( e < 0)

c p^ + mec2 + V e A

;

(6.271)

Нас интересуют стационарные состояния уранения Дирака

c ^(p eA) + mec2 + V

;

(6.272)

;

(6.273)

c ^(p ec A)

mec2

' (6; .274)

c (p c A)

mec

+ V

= E

A + mec2

' + V '

E' ;

(6.275)

c p^

A ' mec2 + V

E :

(6.276)

(E + mec2 V )

c p^

A ' :

(6.277)

В атомной физики популярны релятивистская и атомная система единиц

r.u.

: c = 1 ;

~ = 1 ;

me = 1 ;

(6.278)

jej = ;

a.u. :

c =

;

~ = 1 ;

me = 1 ;

jej = 1 ;

(6.279)

274

ãäå =

137

постоянная тонкой структуры.

Характерный радиус орбиты электронов в атоме имеет вид (см. Ур. (5.641))

[r.u.] =

[a.u.] =

(6.280)

Z [r.u.] = Z [a.u.] = mec Z ;

(6.281)

ãäå a0 = 0:529 10 10 m боровский радиус.

Далее оценку малости мы будем указыать в релятивистской системе единиц

mec2

1 [r.u.] ;

(6.282)

Ekin

( Z)2 [r.u.]

(6.283)

2me

mec2 +

1 +

( Z)2

[r.u.] ;

(6.284)

e2Z

2me Z

[r.u.] потенциал ядра

(6.285)

( Z)

2 [r.u.]

(6.286)

Таим образом множитель в левой части Ур. (6.277) можем оценить как

E + mec2 V

= mec2(2 + O

( Z)2

) :

(6.287)

Запишем нижнюю компоненту волновой функции с

( Z)

точностью до поправок

2 (ñì.

Óð. (6.277))

V c

p^ cA ' =

2mec2 + O ( Z)2

p^ cA '(6; .288)

E + mec2

c p^

A '

(6.289)

2mec2

и подставим е¼ в Ур. (6.275)

c p^

A + mec2' + V '

E' ;

(6.290)

c p^

A ' + mec2' + V '

E' ;

(6.291)

2mec2

A p^

A ' + V '

(E mec2)' : (6.292)

2me

Рассмотрим отдельно первый оператор в левой части уравнения. Воспользуемся равенством Ур. (6.84)

(a )(b ) = ab + i [a b] :

(6.293)

275

A ep^

(6.294)

+i hp^

A p^

Ai :

(6.295)

	e			e
hp^		A	p^		Ai
	c			c

i(6.296)

[pe p^] + hcA c e i

i h

([p^ A]) = i~

rot(A) :

(6.297)


e				e			e			2
p^		A	p^		A	=	p^		A 2
p^	c	A	p^	c	A	=	p^	c	A 2
							e
						=	p^		A
						=	p^	c	A


~		e	rot(A)	(6.298)

		c
	e~		H :	(6.299)
	c

Напряж¼нность магнитного поля связана с потенциалом электромагнитного поля как

H = [r A] = rot(A) :

(6.300)

Таким образом Ур. (6.292) принимает вид

(E mec2)' ;

2me

p^ cA

' c~ H

' + V '

(6.301)

2me

p^ cA

2m~ec H + V

' ;

(6.302)

+ V

2me

p^ cA

2m~ecHs^

' ;

(6.303)

= E mec2 :

(6.304)

Уранение (6.303) называется уравнением Паули.

Слагаемое ( e~ H0s^) описывает энергию магнитного диполя с магнитным моментом

mec

( )

	e~		e~
=		=		s^ = 2 Bs^;	(6.305)
	2mec		mec
B =	jej~	магнетон Бора :			(6.306)
	2mec

в магнитном поле H:
	^	= H :			(6.307)
	h

276

Рассмотрим случай постоянного магнитного поля H = H0, тогда потенциал электро- магнитного поля можно выбрать как

A =	1	[H0	r] :	(6.308)
	2

Действительно,

rot(A) = [r A] =	1	[r [H0	r]]

	2

= 2 (H0(r; r) (H0; r)r) = H0 :

Заметим, что

div(A)

r[H0

r] = 0 :

(r; r) =

ex @x

+ ey @y + ez @z ; exx + eyy + ezz

x +

y +

z = 3 ;

(H0; r)r = H0;x @xr + H0;y @y r + H0;z @z r

= H0;xex + H0;yey + H0;zez = H0 :

Рассмотрим отдельно оператор

c2A p^

= p^2

Ap^

pA^

= p^2

Ap^

(pA^ )

Ap^ + i

div(A) :

(6.309)

(6.310)

(6.311)

(6.312)

(6.313)

(6.314)

(6.315)

(6.316)

(6.317)

(6.318)

(6.319)

(6.320)

В последнем члене Ур. (6.319) оператор импульса p^ действует только на вектор A. Член с дивергенцией равен нулю (см. Ур. (6.312)). В случае постоянного магнитного поля этот

277

оператор принимает вид

	e		2
p^		A
	c


			e2			e
=	p^2	+		A2			[H0		r]p^	(6.321)
			c2			c
			e2			e
=	p^2	+		A2			H0[r p^]			(6.322)
			c2			c
	2		e2		2	e~			^
=	p^	+	c2	A		c		H0l :		(6.323)

Итак, в случае постоянного магнитного поля ( H0) уравнение Паули принимает вид (e < 0)

2me

p^ cA

2m~ec

p^2 +

H0l^

2me

2mec

p^2

+ V

H0l^

H0 +

2me

2mec

p^2

+ V

H0(l^+ 2s^) +

2me

2mec

H0 + V

e2 A2

2mec2

e2 A2

2mec2

' = ' ;

' = ' :

(6.324)

(6.325)

(6.326)

(6.327)

Слагаемое ( e~ H0(l^+2s^)) описывает энергию взаимодействия орбитального и спино-

mec

вого момента с магнитным полем (H). Магнитные моменты, появляющиеся в результате наличия орбитального и спинового момента (здесь l и s безразмерные: l = 0; 1; 2; : : :, s = 12 ) имеют вид

S = ge Bs ;				(6.328)
L = Bl ;				(6.329)
E	=	( L + S)H ;		(6.330)
B	=	jej~	магнетон Бора ;	(6.331)
B	=	2mec	магнетон Бора ;	(6.331)
		2mec
ge	=	2	g-фактор элетрона :	(6.332)

Таким образом, у электрона имеется собственный магнитный момент, пропорциональный спину. g-фактор электрона равен 2. Релятивистские и квантовоэлектродинамические по-

правки слегка меняют его (ge = 2:00231930436256(35)). Уравнение Паули явно показывает, что орбитальный и спиновый момент по-разному взаимодействуют с магнитным полем.

278

6.6Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Ре-

лятивистские поправки.

Рассмотрим уравнение Дирака с внешним электрическим полем ( A = 0), определяемом потенциалом V e2rZ

c p^ + mec2 + V

;

(6.333)

c p^ + mec2 + V

= E

;

(6.334)

;

(6.335)

c p^

mec2

+ V

= E

;

(6.336)

0 c p^

mec2

Величина E mec2 V

2mec2

c p^ + mec2' + V '	=	E' ;	(6.337)
c p^' mec2 + V	=	E :	(6.338)

(E + mec2 V ) = c p^' :

(6.339)

имеет малость (см. Ур. (6.280)-(6.286))


E	mec2 V	=	V		=	( Z)2		r.u. ;		(6.340)

	2mec2		2mec2p2			O
	E mec2	=				= O	( Z)2		r.u. ;	(6.341)
				2me
			2			r.u.				(6.342)
	V	=	O ( Z)			:

В отличие от предыдущего параграфа здесь мы оставим первый и второй член раз-

279

ложения (см. Ур. (6.288))

c p^' =

c p^'

E + mec2

1 +

E mec2 V

2mec2

(6.343)

1 + 2mec2

2mec2

2mec

2mec2

c p^'

+ O ( Z)4

p^'

(6.344)

2mec2

2mec

p^'

( Z)5

;

(6.345)

2mec

2mec2

p^'

(6.346)

c p^ + mec2' + V '

E' ;

= E mec2 ;

(6.347)

c p^ + V '

' ;

(6.348)

В этом уравнении оператор c p^ имеет порядок малости ( Z), операторы V и имеют порядок малости ( Z)2. Подставив в это уравнение функцию в виде (6.346), мы получим оператор с точностью до ( Z)4, то есть мы пренебрегаем поправками порядка ( Z)6 è âûøå.

2mec2 2mec

c p^ 1

p^'

+ m

c2' + V '

E' ;

(6.349)

1 2mec2

c p^

2mec + c p^

2mec2

2mec + V '

(E mec2)' ;

(6.350)

p^'

p^2

p^V p^' + V '

' ;

(6.351)

2mec2

2me

4me2c2

p^2

p^V p^' + V '

1 +

p^2

' : (6.352)

2me

4me2c2

В этом уравнении мы учитываем поправки к оператору порядка ( Z)4.

Заметим, что если мы учитываем поправки к волновой функции хотя бы порядка

280

( Z), то нормировка функции

и ' будет отличаться на величину порядка

h j i =

d3r (j'j2 + j j2)

d3r j'j2 +

2mec

p^'

d3r

2 +

(

' )

4me2c2 ~

Z d3r j'j2 4me2c2 ~2(' ) '

Z d3r j'j2 + 4me2c2 (' )p^2'

Z d3r ' 1 +

p^2

4me2c2

( Z)2.

(6.353)

(6.354)

(6.355)

(6.356)

(6.357)

(6.358)

Ещ¼ одна проблема заключается в том, что второй член в левой части уравнения (6.352) не является эрмитовским оператором.

При изучении теории возмущений мы увидим, что для расч¼та поправок к энергии порядка ( Z)2n достаточно знать волновую функцию с точностью до ( Z)n. Поэтому для

изучения поправок к энергии порядка ( Z)4 нам достаточно знать волновую функцию с точностью до поправок ( Z)2.

Перейд¼м от функции ' к функции '~

1 +

p^2

' ;

(6.359)

8me2c2

p^2

1 +

p^2

' ;

(6.360)

8me2c2

p^2

p^4

8me2c2

64me4c4

(( Z)4))' :

(1 +

(6.361)

p^2

'~ :

(6.362)

8me2c2

281

p^2

Z d3r '~ '~ =

d3r 1 +

1 +

8me2c2

p^2

d3r ' 1 +

8me2c2

p^2

p^4

d3r ' 1 +

4me2c2

64me4c4

d3r ' 1 +

p^2

' + O(( Z)4)

4me2c2

'(6.363)

(6.364)

(6.365)

(6.366)

h j i =

d3r '~ '~ + O(( Z)4)

(6.367)

(6.368)

Получим уравнение для фунции '~

p^2

p^V p^ + V ' = 1 +

p^2

' :

(6.369)

2me

4me2c2

С точностью до членов порядка ( Z)4 мы можем записать

p^2

p^V p^ + V

1 +

' = 1 +

1 +

' ;

2me

4me2c2

8me2c2

Домножим слева на

p^2

и пренебреж¼м членами порядка ( Z)

8me2c2

p^2

p^V p^ + V 1

1 +

' =

1 +

' ;

8me2c2

2me

4me2c2

8me2c2

p^2

p^V p^ + V 1

'~ = '~ ;

8me2c2

2me

4me2c2

8me2c2

p^2

p^4

p^2

+ V

p^V p^ V

V '~ = '~ ;

2me

8me3c2

4me2c2

8me2c2

Первые два члена в операторе имеют порядок ( Z)2, остальные четыре члена имеют

порядок ( Z)4

( Z)2 ;

(6.370)

( Z)2 :

(6.371)

282

Исследуем получившиеся операторы

p^V p^ = V p^ p^ + ( p^V )( p^)

= V p^ p^ i~( rV )( p^)

= V p^2 i~rV p^ + ~ [rV p^] :

Здесь мы использовали равенство (6.84)

(a )(b ) = ab + i [a b] :

p^2V + V p^2 = (p^2V ) + 2(p^V )p^ + 2V p^2

							= ~2 V 2i~rV p^ + 2V p^2
	1					p^2		p^2
		p^V p^ V							V
	4me2c2	p^V p^ V		8me2c2				8me2c2	V
	4me2c2			2
=	1		p^V p^		1	(V p^2 + p^2V )
=			p^V p^			(V p^2 + p^2V )

(6.372)

(6.373)

(6.374)

(6.375)

(6.376)

(6.377)

(6.378)

(6.379)

4me2c2

r 2

+ ~ [

p^] ( ~ V

V p^

VXp^

2i~

VXXp^

2V p^ ) (6.380)

= 4me2c2

~ [rV p^]

2( ~2

V )

(6.381)

В этом операторе градиент и лапласиан действуют только на потенциал V . Этот оператор

в отличие от (6.352) является эрмитовским оператором. Таким образом, мы получаем уравнение

p^2	+ V	p^4		~	[rV p^] +	~2		'~ = '~ :
			+				V		(6.382)
2me		8me3c2		4me2c2		8me2c2

Это уравнение называется уравнением Брейта-Паули (Breit-Pauli). Соответственно, вводят гамильтониан Брейта -Паули

^	p^2	+ V	p^4		~	[rV p^] +	~2
hBP =				+				V :	(6.383)
	2me		8me3c2		4me2c2		8me2c2

Рассмотрим по отдельности полученные релятивистские поправки к гамильтониану или к энергии

283

1. Поправка, учитывающая зависимость массы от скорости

				s	me2c2
p			p2	p4	p2
E = me2c4		+ c2p2 = mec2 1 +
			2me2c2	8me4c4
= mec2	1 +				+ O(( Z)6)

Оценим порядок малости этой поправки

p^4 ( Z)4 r.u. :

8m3ec2

2. Поправка на спин-орбитальное взаимодействие

(6.384)

(6.385)

(6.386)


^	~			[rV p^]
hSO =	4me2c2
V (r)	=	V (r) ;
rV		r dV
	=					:
			r		dr

В случае кулоновского поля rV имеет вид

r( e2Z) r

hSO

r d 1

e2Z r

= ( e2Z)

r2 r

1 dV

[r p^]

4me2c2

4me2c2 r dr

1 dV ^

s^l :

2m2c2 r dr

(6.387)

(6.388)

(6.389)

(6.390)

(6.391)

(6.392)

Заметим, что здесь операторы орбитального и спинового момента безразмерные операторы.

В случае кулоновского поля поправка на спин-орбитальное взаимодействие имеет вид

e2Z

hSO =

r r

sl^

(6.393)

2m c

284

4 [r.u.]

hSO

2r3

sl^

[r.u.]

4 [a.u.]

hSO

2r3

sl^

[a.u.]

постоянная тонкой структуры :

137

Мы вводили оператор полного углового момента

^	^
j	= l + s^

(6.394)

(6.395)

(6.396)

(6.397)

и видели, что он коммутирует с гамильтонианом Дирака. С другой стороны, мы

видели, что гамильтониан Дипака не коммутирует с операторами

l^ и s^ по отдель-

ности.

Выразим оператор ^

^2, ^2

ls^ через операторы j

(6.398)

+ s^ + 2ls^;

ls^

s^ ) :

(6.399)

Так как оператор ^

, ^2 è

j коммутирует с операторами j

^ ^2

]

0 ;

(6.400)

[j; j

]

^ ^2

] = 0 ;

(6.401)

[j; l

[l; l

] + [s^; l

0 ;

(6.402)

[j; s^ ]

мы получаем

^ ^

0 ;

(6.403)

[j; ls^]

0 :

(6.404)

[j; hSO]

В то же время легко убедиться, что

[l^; l^s^]

0 ;

(6.405)

[s^; l^s^]

0 :

(6.406)

Таким образом, поправка на спин-орбитальное взаимодействие ответственна за то, что гамильтониан Дирака не коммутирует с операторами l^ è s^.

285

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6740 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf