- •Введение
- •Список литературы
- •Экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической механики
- •Опыты, демонстрирующие волновые свойства электрона
- •Гипотиза де Бройля (Louis de Broglie). 1924
- •Опыт Дж. П. Томсона (George Paget Thomson). 1927
- •Опыт Л. Бибермана, Н. Сушкина и В. Фабриканта. 1949
- •Математический аппарат квантовой механики
- •Гильбертово пространство
- •Примеры гильбертова пространства.
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Примеры операторов
- •Соотношения между операторами
- •Свойства операторов
- •Дельта-функция
- •Общая процедура построения дельтообразных последовательностей
- •Собственные функции операторов с непрерывным спектром
- •Собственные функции оператора импульса
- •Собственные функции оператора координаты
- •Унитарные операторы
- •Оператор координаты и импульса в импульсном представлении
- •Функция от оператора
- •Две теоремы о коммутирующих операторах
- •Основы квантовой механики
- •Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины.
- •Волновая функция
- •Определение 1.
- •Волновая функция. Определение 2.
- •Измеримость физической величины
- •Редукция волнового пакета
- •Оператор импульса
- •Квантовые скобки Пуассона
- •Оператор эволюции
- •Стационарные состояния
- •Уравнение неразрывности
- •Примеры гамильтонианов
- •Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg)
- •Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга
- •Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest)
- •Минимизирующий волновой пакет
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы.
- •Матричное представление операторов
- •Простейшие модели
- •Одномерное движение
- •Качественный анализ спектра гамильтониана.
- •Прямоугольная потенциальная яма
- •Прямоугольный потенциальный барьер
- •Гармонический осциллятор
- •Когерентные состояния гармонического осциллятора
- •Дижение в центральном поле
- •Оператор орбитального момента
- •Операторы сдвига и поворота
- •Инверсия
- •Оператор орбитального момента в сферических координатах
- •Оператор момента
- •Шаровые спиноры (spinor spherical harmonics)
- •Шаровые векторы (vector spherical harmonics)
- •Движение в центральном поле
- •Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр
- •1s-электрон
- •Свободная частица как частица в центральном поле
- •Уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака для свободной частицы
- •Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного электрона
- •Полный угловой момент электрона
- •Зарядовое сопряжение
- •Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули.
- •Уравнение неразрывности для уравнения Дирака
- •Радиальное уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр
- •Стационарная теория возмущений
- •Квазивырожденная стационарная теория возмущений
- •Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней
- •Эффект Зеемана. Бесспиновая частица
- •Аномальный эффект Зеемана
- •Эффект Штарка
- •Квадратичный эффект Штарка
- •Линейный эффект Штарка
- •Теория нестационарных возмущений
- •Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения
- •Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени
- •Движение в магнитном поле
- •Спин в магнитном поле
- •Движение в однородном магнитном поле
- •Фаза Берри
- •Плотность потока вероятности и векторный потенциал
- •Теория рассеяния
- •Рассеяние микрочастиц
- •Формула Борна
- •Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале (потенциале Юкавы)
- •Рассеяние заряженных частиц атомами
- •Метод парциальных волн
- •Эффект Рамзауера
- •Квантовая задача многих тел
- •Система тождественных частиц. Принцип Паули.
- •Одночастичное приближение
- •Матрица плотности
- •Матрица плотности
- •Свойства матрицы плотности. Статистический оператор
- •Квантовое уравнение Лиувилля
- •Матрица плотности подсистемы
- •Введение в теорию молекул
- •Система двух электронов
- •Молекула водорода. Ковалентная связь
- •Уравнение Хартри-Фока
- •Детерминант Слэтера
- •Вариационный принцип
Докажем единственность |
|
|
h |
= f1 + g1 |
(2.25) |
h |
= f2 + g2 |
(2.26) |
f1 + g1 |
= f2 + g2 |
(2.27) |
f1 f2 |
= g2 g1 |
(2.28) |
k f1 f2 k2= (f1 f2; f1 f2) |
= (f1 f2; g2 g1) = 0 |
(2.29) |
f1 f2 |
= |
(2.30) |
f1 |
= f2 : |
(2.31) |
Подпространства гильбертова пространства (конечномерные или бесконечномерные) мы часто будем называть гильбертовыми пространствами.
2.2Примеры гильбертова пространства.
2.2.1Пространство l2: бесконечные последовательности комплекс-
ных чисел
Элементами гильбертова пространства H являются бесконечные последовательности комплексных чисел
f |
= f1; f2; : : : ; fk; : : : |
(2.32) |
|
g = g1; g2; : : : ; gk; : : : |
(2.33) |
||
Сумма элементов |
|
|
|
f + g |
= h = h1; h2; : : : ; hk; : : : |
(2.34) |
|
hk |
= fk + gk : |
|
(2.35) |
Умножение элемента на комплексное число |
|
|
|
af |
= g = g1; g2; : : : ; gk; : : : |
(2.36) |
|
gk = afk : |
|
(2.37) |
|
Скалярное произведение |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Xk |
f gk : |
|
|
(f; g) = |
(2.38) |
|
|
|
k |
|
|
=1 |
|
|
17
Будем также требовать, чтобы для всех элементов гильбертово пространства было выполнено
(f; f) 1 : |
(2.39) |
Все аксиомы гильбертова пространства выполнены.
Мы рассматриваем бесконечные последовательности, так как, строго говоря, гильбертово пространство бесонечномерно.
11.09.2021
2.2.2Пространство функций L2
Элементами этого гильбертова пространства являются функции '(x) вещественной переменной ( 1 < x < 1) интегрируемых с квадратом модуля
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
dx j'(x)j2 |
< |
1 : |
(2.40) |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Легко показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
' + |
= 2 L2 ; |
|
8'; |
2 L2 |
(2.41) |
||
a' |
= |
2 L2 ; |
|
8' 2 L2; a 2 C: |
(2.42) |
||
Скалярное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
('; ) |
= |
Z |
dx '(x) (x) : |
(2.43) |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Все аксиомы гильбертова пространства выполнены.
Гильбертовым пространством также будет аналогичное пространство функций n переменных (x1; x2; : : : ; xn)
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||
Z |
dx1 |
Z |
dx2 : : : Z |
dxn j (x1; x2; : : : ; xn)j2 < 1 ; |
(2.44) |
|||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
( ; ) = |
Z |
dx1 |
Z |
dx2 : : : Z |
dxn (x1; x2; : : : ; xn) (x1; x2; : : : ; xn) : |
(2.45) |
||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
18