Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Однако, проекция оператора орбитального момента на направление импульса (если он имеет определ¼нное значение) равна нулю. Поэтому проекция полного углового момента на направление импульса равна проекции спина. В этом случае проекция спина имеет

определ¼нное значение и является измеримой. Проекцию спина на направление импульса называют поляризацией. У электрона возможны две поляризации: = 12 .

6.4Зарядовое сопряжение

По аналогии с классической электродинамикой введ¼м в уравнение Дирака внешнее поле. e < 0

i

@

 

!

i

@

 

eA0

;

 

 

 

 

@t

@t

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

p^

!

p^

 

A :

 

 

c

 

V = eA0 ;

@

E = rA0 c@tA ;

(6.216)

(6.217)

(6.218)

(6.219)

 

 

 

H =

[r A] :

 

(6.220)

i

@

 

=

c p^ + mec2

;

(6.221)

 

 

@t

 

@

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

i

 

 

eA0

=

c p^

 

A + mec2

;

 

(6.222)

@t

c

 

 

 

 

i

@

 

=

c p^ + eA0 e A + mec2

:

(6.223)

 

 

 

 

 

 

 

 

@t

Рассмотрим комплексно сопряж¼нное уравнение

i

@

=

c p^ + eA0 e A + mec2

:

(6.224)

@t

269

Умножим это уравнение слева на y

@

i@t y

@

i@t y

@

i@t y

@

i@t y

@

i@t y

@

i@t y

= y c p^ + eA0 e A + mec2 ;

 

 

 

 

 

 

= c y( xp^x + yp^y + zp^z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+eA0 y e y( xAx + yAy + zAz) + mec2 y ;

= ( c y( xp^x yp^y + zp^z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+eA0 y e y( xAx yAy + zAz) + mec2 y

 

= ( c( xp^x + yp^y + zp^z) y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

+eA

 

y

e(

 

A

 

A

 

+ A

)

 

 

m

c2

;

 

 

0

 

 

x

 

x +

y

y 2

z z

 

y

e

 

 

 

=

c p^ + eA0

 

e A

 

mec

y ;

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

c p^ eA0 + e A + mec

y

 

 

 

 

 

 

 

Введ¼м операцию зарядового сопряжения

 

c

^

 

;

 

 

 

 

 

 

"

= C

" = i y "

 

 

 

 

 

c

 

^

"(r; t) = i y " (r; t) = i y

"(r)e

i

"t

 

 

 

 

"

(r; t) = C

~

 

 

= i y " (r)e ~i ( ")t :

(6.225)

(6.226)

(6.227)

(6.228)

(6.229)

(6.230)

(6.231)

(6.232)

(6.233)

(6.234)

(6.235)

(6.236)

Функция "(r; t) описывает стационарное состояние с энергией ", а функция c(r; t) îïè-

"

сывает стационарное состояние с энергией ".

Мы показали, что, если функция удовлетворяет уравнению (6.223), то функция c удовлетворяет уравнению

i@t@ c = c p^ eA0 + e A + mec2 c : (6.237)

Это уравнение отличается от Ур. (6.223) знаком заряда ( e $ e). Это уравнение и, соответственно, функции c описывает частицу с зарядом e позитрон. Операция за-

рядового сопряжения устанавливает связь между волновыми функциями электрона и позитрона.

Мы можем сделать вывод: если " есть состояние частицы с зарядом e, то есть состо-

ÿíèå

c

^

", описывающее состояние частицы с энергией " и зарядом e.

"

= C

Выше мы получили, что спектр уравнения Дирака для свободного электрона имеет

âèä

 

" mec2 ;

(6.238)

" mec2 :

(6.239)

270

Вводят понятие физического вакуума, в котором все отрицательные состояния счита-

ются занятыми. Для возбуждения состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией необходима энергия больше 2mec2. При таком переходе появля-

ется электрон с положительной энергией и дырка (отсутствие) электрона в отрицательном спектре, которая интерпретируется как позитрон. Мы описали процесс рождения электрон-позитронной пары.

Обратный процесс, когда электрон с положительной энергией переходит в свободное состояние с отрицательной энергией (при этом выделяется энергия более 2mec2), íàçû-

вается электрон-позитронной аннигиляцией.

От одного электрона мы пришли к бесконечному числу частиц (состояния с отрицательной энергией считаем занятыми) и вообще к несохранению числа частиц. Для релятивистского описания электронов необходим квантово-полевой подход.

Тем не менее, при аккуратном использовании теория Дирака позволяет описать и исследовать множество важных феноменов.

Выше мы получили волновую функцию стационарных состояний свободного электрона (см. Ур. (6.155))

1

";p = p

2j"j

p

j" + mec2j v ( )

p

j" mec2j j""j( ) v ( )

!

e

i

(pr "t) :

(6.240)

~

Посмотрим, как будет выглядеть эта функция после операции зарядового сопряжения

^

c = C

";p ";p

= i y

" !

 

 

 

 

 

y

2 "

 

 

 

 

"p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mec2

""

 

 

( ) v

=

 

i

 

1

 

 

pj

 

 

j" + m

ec2j v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

1

 

 

 

 

p j" + mec

j v

!

e

( pr+"t) :

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

2 "

 

 

pj

"pmec2

 

"

 

( ) v

 

 

 

 

 

 

 

"

j

 

 

 

 

 

p j j

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#

e~i (pr "t)

i y

= i

0 I

y

0y

= i

y

0y

:

 

 

I 0

0

 

 

0

 

 

;(6.241)

(6.242)

(6.243)

271

";p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

2 "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"p

mec2

 

""

( ) v

!

 

 

c

=

 

 

i

 

 

 

 

0 y

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j" + mec2j v

 

 

e

i

( pr+"t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" pj j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

pm c

 

 

 

 

 

 

 

 

y( ) v

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

= i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pj

 

 

 

 

 

"e+jmj"ejc2

 

 

yv

!e~

( pr+"t)

 

 

 

 

 

 

 

2

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

j

 

j

 

 

 

 

 

 

pj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

= i

 

 

 

 

 

 

pj

"

 

 

 

mec

 

 

 

 

 

 

( ) yv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 "

 

 

 

 

 

" + mjejcj2

 

 

 

yv

 

 

~

pr+"t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

1p

 

 

 

j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pj

 

 

 

 

2

 

 

 

 

"

 

 

 

( ) i yv

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

mec

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" + mjejcj2

 

i yv

 

 

!e

pr+"t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

p

1j j

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

"

( ) i yv

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" mec2

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

2 "

 

 

 

 

 

 

 

 

" + mec2

 

 

 

 

"" ( ) "" ( ) i yv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

j j"j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

~

( pr+"t)

 

 

 

p1

j j

 

 

 

 

pj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j" + m

 

 

 

 

2

j v0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ec

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

(pr "t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 "

 

 

 

 

 

 

 

 

" mec2

 

 

 

 

"" ( )v0

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p j

 

j

 

 

 

 

pj

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы ввели следующие обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" = " ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

= p ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v0

 

 

 

=

 

 

 

 

"

 

( ) i yv :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j"j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.244)

(6.245)

(6.246)

(6.247)

(6.248)

(6.249)

(6.250)

(6.251)

(6.252)

При переходе от Ур. (6.248) Ур. (6.249) мы вставили единичный оператор (см. Ур. (6.85))

 

"

 

"

 

 

 

 

 

 

( )

 

( ) = I :

(6.253)

 

 

j"j

j"j

Видно, что c

описывает частицу с энергией " и импульсом

p. То есть волновая

";p

 

 

 

 

 

 

 

функция электрона с энергией " и импульсом p после зарядового сопряжения описывает позитрон с энергией " и импульсом p.

Посмотрим как связаны спиноры v и v0

. Пусть ось z направлена по импульсу элек-

трона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = pez ;

 

= ez ;

(6.254)

= z :

 

 

 

(6.255)

В этом случае спинор v удовлетворяет уравнению

 

1

v

=

1

zv = v :

(6.256)

 

 

 

 

2

2

272

и будет иметь вид

 

v2

=

0 ;

v

2

=

1

;

 

1

 

 

1

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = v :

 

 

 

 

 

 

Заметим, что имеют место следующие равенства

 

1

= v 2 ;

i yv2

=

1

0

0

=

1

 

 

0

1

1

 

 

0

 

1

 

1

0

1

 

0

 

i yv 2

=

=

= v2 ;

 

 

 

0

1

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

i yv = ( 1) + 21 v :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда мы можем записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v0 =

"

 

( ) i yv

"

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

z( 1) + 2 v

 

 

 

 

 

j"j

j"j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

1

 

1

 

"

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

( 1) + 2 ( 1) + 2 v

=

 

v

:

 

 

 

 

 

j"j

j"j

 

Мы воспользовались равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zv = 2 v = ( 1) + 21 v :

 

 

Таким образом, в случае Ур. (6.254),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v0

=

 

"

 

v

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j"j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

"

 

 

 

 

"

"

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

( )v0

=

 

zv0

=

 

z

 

v

=

2 v = ( 1)

2 v :

j"j

j"j

j"j

j"j

"

j"j( )v =

 

=

1

 

 

 

";p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1j

j

 

 

 

 

2 "

 

 

 

c

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

";p

 

p

1

 

 

 

 

 

2j"j

 

=

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j"j

p

 

 

 

 

2j"j

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

( 1)

1

 

 

 

 

 

 

zv =

 

 

 

2 v

=

 

2 v :

 

j"j

 

j"j

j"j

 

 

 

" mec2

 

 

 

 

"" ( 1) 2 v

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pj

 

 

 

 

 

 

j" +

mec2j v

 

 

 

 

 

 

e

i

(pr "t) ;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

j

 

 

 

 

 

!e~

 

 

 

 

"

 

j

mec2

(

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1)j j + 21 v

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

" + mec

"

v

 

 

 

i

(pr "t)

j

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

" mec2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 v

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"" ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pj

 

 

j" +

mec j v

1

 

 

 

 

e

~

(pr "t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.257)

(6.258)

(6.259)

(6.260)

(6.261)

(6.262)

(6.263)

(6.264)

(6.265)

(6.266)

(6.267)

(6.268)

(6.269)

(6.270)

273

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности