6.3Полный угловой момент электрона

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 6738 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

(Z=0)

";p

(Z=0)neg

";p

= p

2j"j

= p

2j"j

j" + mec2j v ( )

j" mec2j j""j( ) v ( )

j" + mec2j j""j( )v ( )

j" mec2jv ( )

e~i (pr "t) ;

e~i (pr "t) :

(6.155)

(6.156)

(Z=0) (Z=0)neg

Заметим, что ";p è ";p представляют собой две возможные записи волновой

функции. Обе эти формы могут использоваться для описания электронов как с положительными, так и с отрицательными энергиями.

jlm( ; ') =

Yl;ml ( ; ') ;

Стационарное уравнение Дирака имеет вид

	^	= "			;
	hD	= "			;
	^					2	;
	hD = cp^ + mec						;
ãäå	0 I		;		= 0
=	0 I		;		= 0
	I	0					0
матрицы 4 4.
Оператор орбитального момента имеет вид (см. Ур. (5.2))
	l^		1		[r^ p^] :
		=
		=		~

07.12.2021

(6.157)

(6.158)

(6.159)

(6.160)

Рассмотрим коммутатор гамильтониана Дирака ( ^		^
	hD) и орбитального момента (l)
^ ^	^ ^ ^^	(6.161)
[hD; li]	= hDli lihD

263

[c p^; li] = c p^li lic p^

= c

p^^li

c ^li p^

i 0

p^l

l p^

= c

j=1 jp^j^li

j=1 j

^lip^j

jp^j^li

P 0

j^lip^j

B j=1

= c

j=1 j[^pj; ^li] 1

j[^pj; ^li

]

P 0

B j=1

= c B

P ji jikp^k

ji jikp^k

jk=1

B jk=1

= c i[ 0 p^]i

i[ 0 p^]i

;

i = 1; 2; 3 :

Мы воспользовались коммутационным соотношением (см. Ур. (5.17)

[^pi; lj]

= i

ijkp^k :

(6.162)

(6.163)

(6.164)

(6.165)

(6.166)

(6.167)

(6.168)

Мы также можем записать

[c p^; l^] =			ic[ p^] :			(6.169)
Очевидно, что следующий коммутатор равен нулю
	2		^	=	0 :	(6.170)
	[mec	; l]		=	0 :	(6.170)
Таким образом, мы получаем
^	^		ic[ p^] ;			(6.171)
[hD; l] =			ic[ p^] ;			(6.171)
то есть гамильтониан Дирака не коммутирует с оператором орбитального момента.
Введ¼м оператор спинового момента (спина) электрона
s^	= 2			0	:	(6.172)
	1				0

264

Операторы s^i (i = 1; 2; 3) представляют собой матрицы размерности 4 4. Физической величине спину будет отвечать оператор ~s^.

Легко убедиться, что оператор спина удовлетворяет коммутационным соотношениям (5.120)

[^si; s^j] =

[

[ i;0 j]

= 4

(6.173)

2i k=1 ijk

;

ijks^k :

(6.174)

Мы воспользовались коммутационными соотношениями (5.340). Введ¼м также оператор s^2

s^2 = s^x2 + s^y2 + s^z2 = 4I =		2		2	+ 1 I :	(6.175)
3		1		1

Получаем, что этот оператор отвечает спину s = 12 . Рассмотрим собственные функции этого оператора

s^z	=	;			= 1	0	0	1	0	0		1	:	(6.176)
s^z	=	1 z 0			= 1	0	0	1	0	0		1	:	(6.177)
				0 z		B	1	0	0	0		C
							0	0	1	0
			2		2		0	0	1	0
							0	0	0		1
						B						C
						@						A

(1u)

;

(u1)

;

(1d) =

;

(d1)

: (6.178)

Используя спиноры

2	=	0	;	2	=	1	;
1		1		1		0
1				1

собственные функции можно записать как

	=	0	;		=		;	= 2 :
(u)				(d)		0		1

Видно, что каждое собственное число двукратно вырождено. 265

(6.179)

(6.180)

Рассмотрим теперь коммутатор гамильтониана Дирака ( ^D) и спинового момента (

s^)

(6.181)

[hD; s^i]

hDs^i s^ihD

[c p^; s^i] =

c p^s^i s^ic p^

(6.182)

c p^

(6.183)

0 p^

2c i

(6.184)

p^ i

j=1 p^j j i

j=1 p^j i j

(6.185)

P 0

p^j j i

p^j i j

B j=1

j=1 p^j[ j; i]

(6.186)

p^j[ j; i]

B j=1

2i jk=1 p^j jik k

(6.187)

p^j jik k

jk=1

[ p^]i

[

p^]i

= ic[

p^]i :

(6.188)

Мы воспользовались коммутационными соотношениями (5.340).

Мы также можем записать

[c p^; s^] =

ic[ p^] :

(6.189)

Покажем, что следующий коммутатор равен нулю

[mec2 ; s^]

0 :

(6.190)

[mec2 ; s^i] =

mec2 s^i s^imec2

mec2

(6.191)

mec2

0 I

I (6.192)

2mec2

0 i

= 0 :

2mec2

(6.193)

266

Таким образом, мы получаем

^	(6.194)
[hD; s^] = ic[ p^] :

Это надо сравнить с Ур. (6.171).

Введ¼м оператор полного углового момента

^	^	(6.195)
j	= l + s^:	(6.195)

С уч¼том (6.171) и (6.194) мы получаем, что гамильтониан Дирака коммутирует с полным угловым моментом

^	^	(6.196)
[hD; j] = 0 :

Мы можем сделать важный вывод: существуют состояния с определ¼нной энергией (стационарные состояния), в которых полный угловой момент ( j) и его проекция (m) на

ось z (куда бы мы ось z не направили) имеют определ¼нные значения. Говорят, что в таких состояниях полный угловой момент и его проекция на ось z сохраняются.

Âто же время, в общем случае, орбитальный момент ( l), его проекция на ось z (ml)

èпроекция спинового момента (спина) на ось z ( ) не имеют определ¼нного значения.

Спин электрона s = 12 всегда сохраняется.

В нерелятивистской теории орбитальный момент ( l), его проекция на ось z (ml) è проекция спинового момента (спина) на ось z ( ) могут иметь определ¼нные значения по

отдельности.

Не смотря на то, что орбитальный момент не имеет определ¼нного значения, электрон вс¼-таки характеризуют орбитальным моментом. Мы это будем обсуждать ниже.

По правилам сложения моментов полный угловой момент, орбитальный момент и спин связаны как (см. (5.466), (5.470))

	jl	1	j			j l +			1	:			(6.197)

		2							2
l	= 0 ;	j		=	1	;							(6.198)

				2			1				1
l	1 ;	j		= l				; j	= l +			:	(6.199)

							2				2

Собственными функциями оператора орбитального момента являются шаровые функции (см. (5.76), (5.77))

l^2Ylml ( ; ')		=	l(l + 1)Ylml ( ; ') ;	l = 0; 1; 2; : : :	(6.200)
^	( ; ')	=	mlYlml ( ; ') ;	ml = l; : : : ; l :	(6.201)
lzYlml

267

Построим собственные функции операторов ^2 è ^

j jz. Рассмотрим шаровые спиноры

(ñì. (5.483))

X X

ãäå определены Ур. (6.179). Шаровые спиноры являются собственными функциями для следующих операторов

^02

jlm( ; ')

j(j + 1) jlm( ; ') ;

(6.203)

jlm( ; ')

m jlm( ; ') ;

(6.204)

l^2 jlm( ; ') =

l(l + 1) jlm( ; ') ;

(6.205)

s^02 jlm( ; ')

jlm( ; ') :

(6.206)

где оператор s^0 определ¼н как

s^0

;

(6.207)

j^0

l^+ s^0 :

(6.208)

Собственные функции операторов ^2

, ^

можно представить в виде

j jz, l

(u)

jlm( ; ')

jlm

;

l = j

;

(6.209)

jlm

jlm( ; ') ;

l = j 2 :

(6.210)

(d)

Здесь 0 обозначает нулевой спинор.

jlm

j(j + 1) jlm ;

(6.211)

jlm

= m jlm ;

(6.212)

l^2 jlm

l(l + 1) jlm ;

l = j

;

(6.213)

s^2 jlm

jlm :

(6.214)

Заметим, что проекция полного углового момента на ось z выражается через проекции

орбитального (ml) и спинового ( ) моментов как (см. Ур. (5.471))
m = ml + :	(6.215)

268

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 6738 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf