Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6737 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Далее мы будем работать с матрицами i в виде (6.65), котрый часто записывают как

	=		0	I	; =		0	;	(6.71)
			I	0		0
0	=	;		i = ( )i ;		i = 1; 2; 3 :			(6.72)

Матрицы и i имеют размерность 4 4.

Таким образом уравнение Дирака для свободного электрона принимает вид

i~	@		^
i~	@t	=	HD ;
	^		2	:
	HD =		c p^ + mec	:

Раз матрицы и i имеют размерность 4 4, то функция

(r; t) =	0	2	(r; t) 1		:
	B	1	(r; t)	C
	B	3	(r; t)	C
	B	4	(r; t)	C
	@			A

(6.73)

(6.74)

представляется в виде

(6.75)

6.2Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного электрона

Уравнение Дирака для свободного электрона принимает вид

i~	@		^
i~	@t	=	HD ;
	^		2	:
	HD =		c p^ + mec	:

Матрицы и i имеют размерность 4 4, соответственно, функция виде

(r; t) =	0	2	(r; t) 1		:
	B	1	(r; t)	C
	B	3	(r; t)	C
	B	4	(r; t)	C
	@			A

(6.76)

(6.77) представляется в

(6.78)

			=		0	I		;	=			0				(6.79)
					I	0					0
Матрицы Паули							i								1
	1	0					i		0					0	1
x =	0	1		;		y =		0	i	;		z	=	1	0	(6.80)

256

Матрицы Паули обладают следующим свойством (см. Ур. (5.339))

Xk
i j = ij + i ijk k	(6.81)
=1

Покажем, что имеют место следующие равенства. Для векторов a и b, которые коммутируют с матрицами Паули [a; i] = 0, [b; i] = 0, верно

( a)	= a + i[ a]		(6.82)
( a)	= a + i[a ]		(6.83)
(a )(b )	=	ab + i[a b] = ab + i [a b]	(6.84)
(a )(a )	=	aa	(6.85)

Действительно,

( a) i =	jaj i = aj j i	(6.86)
j=1	j=1	!
3	3	!

=	aj	ji + i	jik k	(6.87)
	j=1	k=1
		3
		X	= ai + i[ a]i
=	ai + i	ikj kaj	= ai + i[ a]i	(6.88)

jk=1

i( a) =	i jaj = aj i j	(6.89)
j=1	j=1	!
3	3	!

=	aj	ij + i	ijk k	(6.90)
	j=1	k=1
		3
		X	= ai + i[a ]i
=	ai + i	ijkaj k	= ai + i[a ]i	(6.91)

jk=1

Равенства (6.82) и (6.83) доказаны. Рассмотрим

	X	X
( a)( b) =		( a) ibi = (ai + i[ a]i)bi	(6.92)
	i=1	i=1
=	(ab) + i[ a]b = (ab) + i [a b] :		(6.93)

257

Равенства (6.84) доказаны.

Рассмотрим стационарные состояния свободного электрона

(r; t) = (r) e ~i "t

Представим функцию в виде

(r) =	'(r)	= 0 '2		(r) 1		:
	(r)		'1	(r)	C
	(r)		1(r)
		B		(r)
		B	2		C
		@			A

(6.94)

(6.95)

Стационарное уравнение Дирака

(c p^ + mec2 )

= "

(6.96)

+ mec2

;

(6.97)

+ mec2

c 0p^

(6.98)

c p^ + mec2'	=	"' ;	' =	c p^		(6.99)
				" mec2

c p^' mec2	=	" ;	=	c p^	' :	(6.100)

				" + mec2

Подставим функцию в виде (6.100) в уравнение (6.99) и воспользуемся Ур. (6.85)

	(c p^)(c p^)	' + mec2'			=		"' ;	(6.101)
	" + mec2	' + mec2'			=		"' ;	(6.101)
	" + mec2
			c2p^2				(" mec2)' :
				'	=			(6.102)
			" + mec2	'	=			(6.102)
Получаем следующее уравнение
	c2p^2' = ("2 me2c4)' :							(6.103)
Решение этого уравнения можно представить в виде
			' = ve		i	pr ;		(6.104)
			' = ve		~	pr ;		(6.104)

258

ãäå

v	=	b	; a; b 2 C;
		a
v+v	=	jaj2 + jbj2 = 1 :

Получаем спектр уравнения Дирака для свободного электрона

"2 = m2ec4 + c2p2 ;

" = m2ec4 + c2p2 :

Уравнение Дирака для свободного электрона имеет непрерывный спектр

"mec2 ;

"mec2 :

Рассмотрим выражение для энергии в нерелятивистском пределе ( c ! 1)

me2c2

" = me2c4

+ c2p2

= mec2

1 +

mec2 1 +

+ O

2me2c2

mec2 +

+ O

;

2me

" =

m2ec

+p2

c2p2

mec

+ O

2me

(6.105)

(6.106)

(6.107)

(6.108)

(6.109)

(6.110)

(6.111)

(6.112)

(6.113)

(6.114)

(6.115)

Состояния с отрицательной энергией надо как-то интерпретировать. Этот вопрос мы будем обсуждать ниже.

Рассмотрим уравнение (6.102)

			c2p^2						(" mec2)' ;
							'	=		(6.116)
	" + mec2						'	=		(6.116)
					p^2				(" mec2)' :
							'	=		(6.117)
			"		+ me		'	=		(6.117)
			2		+ me
		c
Устремляя c ! 1, мы получим
					p^2			(" mec2)' :
						' =				(6.118)
				2me		' =				(6.118)

259

Это есть уравнение Шр¼дингера для свободной нерелятивисткой частицы. При этом функция будет стремиться к нулю

=	cp^	' ! 0 ; c ! 1 :	(6.119)
	" + mec2

Введ¼м единичный вектор по направлению вектора импульса

=	p	:	(6.120)
	p

Выберем в качестве величины берут спинор, который является собственной функцией проекции оператора спина (s = 12 ) на направление импульса (см. Ур. (5.378), (5.383))

1	( )v ( ) =	v ( ) ;	=	1

2				2
	v =	v ( )

Таким образом, функции ' и можно представить в виде

v e

pr =

( )v e

pr :

" + mec2

(6.121)

(6.122)

(6.123)

(6.124)

Собственные функции уравнения Дирака для свободного электрона имеют вид

		v			i	(pr "t)	(6.125)
";p = N	cp	v		e~			(6.125)
";p = N	cp		( )v	e~
	"+mec	2	( )v
	"+mec

= N 0 pj" mec2j

( )v 1e~i (pr "t)

@ p

j"j

j"+mec2j

" + mec2

mec2

" mj

ec2

cp = "2

me2c4

= " + mec2

mec2

+ e

" +

" + mec

Ââåä¼ì

m c2

" m c2

N0 =

j" + mec2j

(6.126)

(6.127)

(6.128)

(6.129)

260

";p = N0

";p = p

2j"j

Здесь удобно ввести биспинор

" mec2

"" ( ) v !

j" + m

ec2j v

(pr "t)

"" ( ) v !

" mec2

j" + m

ec2j v

(pr "t) :

j j

";p

u";p =

=	1		up e	i	(pr "t) ;
				~
	p
		2j"j

j" + mec2j v

j" mec2j j"j( ) v

Покажем, что биспинор up нормирован следующим образом

u+p up = 2j"j ;

u+p up = u+";p u";p = 2me j""j :

u";+p u";p = j" + mec2j v+ j" + mec2j v

+pj" mec2j

[( ) v ]+pj" mec2j

( ) v

j"j

=j" + mec2j + j" mec2j[( ) v ]+( ) v

=j" + mec2j + j" mec2j = 2j"j

(6.130)

(6.131)

(6.132)

(6.133)

(6.134)

(6.135)

(6.136)

(6.137)

(6.138)

u";+p u";p = j" + mec2j v+ j" + mec2j v

pj" mec2j

[( ) v ]+pj" mec2j

( ) v

j"j

=j" + mec2j j" mec2j[( ) v ]+( ) v

=j" + mec2j j" mec2j = 2mec2 j""j

[( ) v ]+( ) v = v+( )( )v = v+v = 1

(6.139)

(6.140)

(6.141)

(6.142)

261

Собственные функции уравнения Дирака для свободного электрона имеют вид

";p = p

2j"j

j" + mec2j v ( 0)

j" mec2j j""j( ) v ( 0)

e	i	(pr "t) ;	(6.143)
	~

h ";p j"0;p0 0i =

(2 ~)3 3(p p0) 0 :

(6.144)

Получим теперь волновую функцию

";p , выразив функцию ' через (см. Ур. (6.99))

и подставив е¼ в Ур. (6.100),

' =

v e

( )v e

pr ;

(6.145)

imec2

" mec2

= v e

pr :

(6.146)

Получившуюся таким образом волновую функцию будем обозначать

neg

";p

= N

neg

mec2 ( )v

(pr

"t)

(6.147)

cp = "2 me2c4 = j" + mej

j" mec2j

" mec

m c2

" mec

" + m c2

m c2

";p = N

" mec2

!e~

" mj

ejcj2

" + mec2

( )v

(pr

"t)

neg

";p =

2 "

ejcj2jv

!e~

" mj

" + mec2

( )v

(pr

"t)

neg

1j j

" + m c2

2 "

" mec2

"" ( ) v0

e j

(pr "t)

j j

Мы ввели спинор v0

( ) v ;

j"j

( ) v0

( )

( ) v = v :

j"j

и привели волновую функцию

neg

";p ê âèäó Óð. (6.143).

(6.148)

(6.149)

(6.150)

(6.151)

(6.152)

(6.153)

(6.154)

262

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6737 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf