Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 6736 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Глава 6

Уравнение Дирака

6.1Уравнение Дирака для свободной частицы

Рассмотрим уравнение Шр¼дингера для свободной частицы

(r; t) = H (r; t) ;

(r; t) =

p^2

(r; t) ;

2me

(r; t) =

(r; t) :

2me

@x2

@y2

@z2

(6.1)

(6.2)

(6.3)

Это уравнение не является Лоренц-инвариантным. В преобразования Лоренца (Lorentz

transformation) координаты и время входят симметричным образом.

Пусть в системе O система O0 движется со скоростью v = (0; 0; v). Введ¼м лоренцевский фактор

	= v=c ;					(6.4)
	=	1			:	(6.5)


		q1		v2

				c2
Событие в системе покоя O описывается 4-вектором
(tc; r)	=		(tc; rx; ry; rz) :			(6.6)
То же событие в системе покоя O0 описывается 4-вектором
(ct0; r0)	=		(ct0; rx0 ; ry0 ; rz0 ) :			(6.7)

250

Преобразования Лоренца определяются следующими преобразованиями

ct0

rz0 rx0 ry0

= (ct	r	) ;		ct = (ct0 + r0			) ;
	z					z
= ( ct + r			) ;	r		= ( ct0 + r0	) ;
		z			z	z		(6.8)
= rx ;

= ry ;

Устремив скорость света к бесконечности ( c ! 1, ! 1) получаем преобразования Галилея

rz0 rx0 ry0

= t ;			t = t0 ;
=	vt + r	;	r		= vt0	+ r0	;
	z			z		z		(6.9)
= rx ;

= ry ;

Уравнение Шр¼дингера инвариантно относительно преобразований Галилея, но не инвариантно относительно преобразований Лоренца.

Рассмотрим релятивистское соотношение между энергией и импульсом частицы

= c2p2 + m02c4 ;

(6.10)

ãäå m0 масса частицы. Если проквантовать это уравнение

H ! i~

;

(6.11)

p ! p^ ;

(6.12)

мы получим уравнение Клейна-Фока-Гордона

(c2p^2 + m02c4)

;

(6.13)

@t2

( c2~2 + m02c4)

;

(6.14)

@t2

c2~2 + m02c4

0 ;

(6.15)

@t2

(r; t)

(pr Et) ;

= c2p2 + m2c4

(6.16)

Спектр этого уравнения:

E m0c2 ;

(6.17)

m0c2 :

(6.18)

251

Это уравнение описывает массивные бесспиновые (спин равен нулю: s = 0) частицы.

Дирак (Paul Dirac) предложил искать релятивистское уравнение, описывающее электрон, в виде

i~	@	= H^D = c( xp^x + yp^y + zp^z) + mec2	;	(6.19)
	@t

ãäå x, y, z, не зависят от координат и времени. Здесь производные по координатам и времени входят симметричным образом. Также необходимо потребовать выполнение операторного равенства

^ 2	2	2	2 4
HD	= c	p^	+ mec	:

Посмотрим какие условия на величины x, y, z, мы получим.

^ 2 2 2

HD = c( xp^x + yp^y + zp^z) + mec

=c2 x2p^2x + c2 y2p^2y + c2 z2p^2z + 2m2ec4

+c2 x yp^xp^y + c2 y xp^xp^y +c2 y zp^yp^z + c2 z yp^yp^z +c2 z xp^zp^x + c2 x zp^zp^x

+mec4 x p^x + mec4 xp^x +mec4 y p^y + mec4 yp^y +mec4 z p^z + mec4 zp^z

=c2p^2x + c2p^2y + c2p^2z + m2ec4 :

2 = 1 ;	2 = 1 ;	2	= 1 ;
x	y	z
x y + y x = 0 ;	y z + z y = 0 ;			z x + x z = 0 ;
x + x = 0 ;	y + y = 0 ;			z + z = 0

(6.20)

(6.21)

(6.22)

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

(6.32)

Эти уравнения показывают, что x, y, z, являются операторами, эрмитовскими матрицами.

Вводя обозначения

( ; x; y; z) = ( 0; 1; 2; 3) ;

(6.33)

услоия (6.30)-(6.32) можно записать в виде одного равенства

i j + j i = 2 ij ;

i; j = 0; 1; 2; 3 :

(6.34)

Исследуем свойства матриц i

252

1.	Матрицы i являются эрмитовыми
			i+	=	i ;	i = 0; 1; 2; 3 :		(6.35)
2.
			2	=	I ;	i = 0; 1; 2; 3 ;		(6.36)
			i
		i i+ = I :						(6.37)
	Следовательно, матрицы i являются унитарными, в частности, det( i) 6= 0.
3.	Для i 6= j мы можем записать
	( I) i j			= j i ;		i; j = 0; 1; 2; 3 ;	i 6= j ;	(6.38)
	det( I) det( i j) = det( j i) ;							(6.39)
	det( I)			=	( 1)N = 1 ;			(6.40)
	где N N размерность матрицы I. Получаем, что N ч¼тное число: N = 2n.
4.	Для i 6= j мы можем записать
	i j	= j i ;				i; j = 0; 1; 2; 3 ;	i 6= j ;	(6.41)
	i2 j = j			= i j i ;				(6.42)
	Tr( j)	=	Tr( i j i) = Tr( j) ;					(6.43)
	Tr( j)	=	0 ;		j = 0; 1; 2; 3 :			(6.44)

Получаем, что след матриц i равен нулю.

Найд¼м четыре матрицы, удовлетворяющие условию (6.34). Определим матрицу 0 в блочном виде

0	=	I	0	;	(6.45)
		0	I

где I, 0 матрицы размерности n n, и найд¼м как в этом случае будут выглядеть остальные матрицы i.

Матрицы i (i = 1; 2; 3) тоже будем искать в блочном виде

i =	Ai	Bi	; i = 1; 2; 3 ;	(6.46)
	+	Di
	Bi

ãäå Ai, Bi, Di матрицы размерности n n. Здесь мы учли, что матрицы i эрмитовские матрицы.

253

Из условия

i 0 + 0 i =

(6.47)

мы получаем

0 I

I Bi+

Bi+

(6.48)

I 0

(6.49)

20 i

2Di

= 0 :

(6.50)

Соответственно, при условии Ур. (6.45) мы получаем Ai = 0, Di

= 0 è

	i	=		0	Bi	;	i = 1; 2; 3 :
	i	=		Bi+	0	;	i = 1; 2; 3 :
Из условия i j + j i = 2 ij			мы получаем				+ Bj+
i j + j i =	Bi+			0	Bj+	0	+ Bj+			0
		0	Bi		0	Bj	0		Bj
=	BiB+			0	+		BjB+	0
=		0 Bi+Bj			+		0 Bj+Bi
		j					i
	BiBj+			+ BjBi+			0	= 2 ij :
=				0	Bi+Bj + Bj+Bi			= 2 ij :

(6.51)

Bi+	0i		(6.52)
0	B

(6.53)

(6.54)

В частности, мы получаем

BiBj+ + BjBi+	=	2 ij ; i = 1; 2; 3	(6.55)
èëè
BiBi+ = I ;		i = 1; 2; 3 ;	(6.56)
BiBj+ + BjBi+ =	0 ;	i = 1; 2; 3; i 6= j :	(6.57)

Рассмотрим сначала случай n = 1. Тогда матрицы Bi								имеют размерность 1 1, соот-
ветственно, матрицы i имеют размерность 2 2.							0i	;
0	=		0	1	;	i = b0i	0i	;	i = 1; 2; 3 ;	(6.58)
			1	0			b
bibj + bjbi	=	2 ij :								(6.59)

254

Однако не существует четырех линейно независимых матриц 2 2 с нулевым следом, так как есть ещ¼ единичная матрица с ненулевым следом.

Рассмотрим теперь случай n = 2. Тогда матрицы Bi							имеют размерность 2 2, соот-
ветственно, матрицы i имеют размерность 4 4.							0i	; i = 1; 2; 3 ; (6.60)
0	=		0	I	; i =	Bi+	0i	; i = 1; 2; 3 ; (6.60)
			I	0		0	B
BiBj+ + BjBi+	=	2 ij :						(6.61)

В качестве матриц Bi можем взять матрицы Паули (см. Ур. (5.325), (5.341))

;

z =

; (6.62)

i ;

i = 1; 2; 3 ;

(6.63)

f i; jg =

i j + j i

= 2 ijI ;

i; j = 1; 2; 3 :

(6.64)

Таким образом, мы получаем

;

= i

;

0 I

i = 1; 2; 3 :

(6.65)

Заметим, что можно построить и другие наборы матриц, удовлетворяющие Ур. (6.34). Например, представление Вейля (Hermann Weyl)

0	= I		0 ;		i =	0 i		;	i = 1; 2; 3 :
w	0		I		w	i	0			(6.66)
w					w					(6.66)
Заметим также, что если матрицы i удовлетворяют условиям (6.34)
	i j		+ j i		= 2 ij ;	i; j = 0; 1; 2; 3 ;				(6.67)
то и матрицы, подвергнутые преобразованию подобия,
		i0 = u iu+ ;				ãäå	uu+ = I ;			(6.68)
будут ему удовлетворять. Действительно, умножив равенство (6.67) слева на										u и справа
íà u+
u iu+u ju+ + u ju+u iu+ =						2 ijuu+ ;			i; j = 0; 1; 2; 3 ;	(6.69)
мы приходи к
	0	0	+ 0	0	= 2 ij ;	i; j = 0; 1; 2; 3 :				(6.70)
	i	j	j	i

255

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 6736 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf