5.14Свободная частица как частица в центральном поле

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 6735 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Согласно (5.664) нормировочная константа C оказывается равной

C =

(2 )

1=2

j ( + 1

(2p)

l+1

(2l + 1)!

Волновая функция PE(r) имеет вид

1=2

j ( + 1

l+1

ipr

(5.676)

PE(r)

(2 )

p iZ e

(2l + 1)!

(2pr)

F (l + 1 +

; 2l + 2; 2ipr) ;

(5.677)

dr PE(r)PE0(r)

(E E0) :

(5.678)

Асимптотика функции PE(r) при (r ! 1) имеет вид

r ! 1 :

PE(r)

(2 ) 1=2 p 1=2

2 sin

pr + p

ln(2pr) + l 2

;

(5.679)

От функции, отвечающей свободной частице ( Z = 0), Ур. (5.679) отличается наличи-

ем логарифмического члена и кулоновских фаз l (ñì. Óð. (5.659)) в аргументе синуса, исчезающих при Z ! 0.

Таким образом, в случае непрерывного спектра волновая функция электрона с определ¼нной энергией (E), орбитальным моментом (l), его проекцией (m) и проекцией спина

( ) (см. Ур. (5.362), (5.605)) на ось z имеет вид

		1
Elm (r; )	=			PEl(r)Ylm( ; ') ( ) ;	(5.680)
			r
h Elm j E0l0m0 0i	=	(E E0) ll0 mm0 0 :			(5.681)

( p; 'p)Ylm( r; 'r) =

2l + 1Pl(cos ) ;

cos = pr ;

( p; 'p)Ylm( r; 'r) =

2l + 1Pl(cos ) ;

cos = pr ;

Рассмотрим стационарное уравнение Шр¼дингера, отвечающее свободной частице


	p^		(r)	= E	(r) ;	(5.682)
2me

	1	(r)		= E	(r) :	(5.683)

	2
me =	1 ;		~ = 1 ;		jej = 1 :	(5.684)

238

Волновая функция свободного электрона с определ¼нной энергией ( E) и импульсом (p) имеет вид

p(r)	=	eipr ;	E =	p2	;	(5.685)

h pj p0i			2
	=	(2 )3 3(p p0) :				(5.686)

Найд¼м волновую функцию электрона с определ¼нной энергией ( E), орбитальным моментом (l), его проекцией (m). Будем искать волновую функцию в виде

Elm(r)

= R(r)Ylm( ; ') ;

;

p = jpj :

2r2

@r r2 @r

+ 2r2 !R(r)Ylm( ; ') = ER(r)Ylm( ; ') ;

l^2

l(l + 1)

R(r) =

R(r) :

2r2

Сделаем замену переменной

= pr ;

f(z)

R p

Функция f(z) удовлетворяет уравнению

+ (

f(z) = f(z) ;

z12 @z z2 @z

l + 1)

l(l + 1)

f(z) +

f(z) = f(z) ;

2 @

l(l + 1)

f(z)

f(z) +

f(z) = f(z)

@z2

èëè

+ z2 l(l + 1) f(z) = 0 :

+ 2z

@z2

(5.687)

(5.688)

(5.689)

(5.690)

(5.691)

(5.692)

(5.693)

(5.694)

(5.695)

(5.696)

(5.697)

Решением этого уравнения являются сферические функции Бесселя (spherical Bessel functions)

f(z) = A1jl(z) + A2yl(z) ;

(5.698)

239

соответственно,

R(r) = A1jl(pr) + A2yl(pr) ; p = 2E : (5.699)

Сферические функции Бесселя (jl(z)) и Неймана (Neumann) (yl(z)) следующим образом связаны с функциями Бесселя первого и второго рода

jl(z) =

Jl+ 21 (z) ;

yl(z) =

J l

(z) = ( 1)l+1r

j0(z) =

sin z

;

j1(z) =

sin z

cos z

;

y0(z) =

cos z

;

y1(z) =

cos z

sin z

			(5.700)
	Yl+ 1	(z) :	(5.701)
2z	Yl+ 1	(z) :	(5.701)
2z	2
	2

(5.702)

(5.703)

(5.704)

(5.705)

Также вводят сферические функции Ханкеля (spherical Hankel functions) первого и второго рода

hl(1)(z) =

jl(z) + iyl(z) ;

(5.706)

hl(2)(z) =

jl(z) iyl(z) :

(5.707)

(1)

eiz

(z)

;

(5.708)

(1)

eiz

(z)

1 +

;

(5.709)

h0(2)(z)

= i

e iz

;

(5.710)

(2)

e iz

(z)

(5.711)

240

Рассмотрим асимптотику при jzj ! 1

jl(z)	z sin z		2		;		jzj ! 1 ;
		1	l
yl(z)	z cos z			2		;	jzj ! 1 ;
	1			l

h(1)l (z)

h(2)l (z)

и асимптотику при z ! 0


( i)l+1		eiz			jzj ! 1 ;
				;
			z
il+1	e iz				jzj ! 1 :
			;
	z

(5.712)

(5.713)

(5.714)

(5.715)

z ! 0

jl(z)

;

(5.716)

(2l + 1)!!

(z)

(2l 1)!!

;

0 :

(5.717)

zl+1

Используя асимптотику (5.712) и формулу (5.666), получаем условие нормировки функций Бесселя

1	dz z2jl(pz)jl(p0z) = 2p2 (p p0) :	(5.718)
Z0	dz z2jl(pz)jl(p0z) = 2p2 (p p0) :	(5.718)

Таким образом радиальная функция R(r), описывающая свободную частицу, имеет вид

						p2
	RE(r) =	cjl(pr) ; E =					:				(5.719)
	RE(r) =	cjl(pr) ; E =				2	:				(5.719)
1			1
Z0	dr r2RE;l(r)RE0;l(r) =	jcj2	Z0	dr r2jl(pr)jl(p0r)							(5.720)
	=	jcj2			(p p0)						(5.721)

			2p2
		jcj2		(E E0) = jcj2						(E E0) :
	=							2p			(5.722)
			2p
			2p						2E

Нормировочная константы, отвечающие нормировки на импульс ( cp) и энергию (cE), имеют вид

cp	=	r				(5.723)
			2 ;
			p2
		s
			2p
cE	=			2E	:	(5.724)

241

		s					jl(p
			2p
					2E
Elm(r)	=							2Er)Ylm( ; ') ;

h Elmj E0l0m0i	=	(E E0) ll0 mm0 :
plm(r)		=	r			jl(pr)Ylm( ; ') ;
				2
					p2
h plmj p0l0m0i		=	(p p0) ll0 mm0 :

Имеет место следующие равенства (без доказательства)

(5.725)

(5.726)

(5.727)

(5.728)

(5.729)

eipr = il(2l + 1)jl(pr)Pl(cos ) (5.730)

l=0

=il4 jl(pr)Ylm( p; 'p)Ylm( r; 'r) ; (5.731)

l=0 m= 1

где угол между векторами p и k, Pl(x) полиномы Лежандра, p, 'p, r, 'r óãëû векторов p и r, соответственно.

Если мы будем искать волновую вункцию не в виде (5.687)

(r)	=		R(r)Ylm( ; ') ;		(5.732)
à â âèäå
		1
(r)	=			P (r)Ylm( ; ') ;	(5.733)
(r)	=		r	P (r)Ylm( ; ') ;	(5.733)

мы получим, что функция P (r) удовлетворяет уравнению (см. Ур. (5.648))

1	P 00(r) +	l(l + 1)	P (r) = EP (r)	(5.734)

2		2r2

и может быть записана в виде

P (r)	=	rR(r) = A1rjl(pr) + A2ryl(pr) = B1rhl(1)(pr) + B2rhl(2)(pr) ;			(5.735)
		p		:
p	=	p	2E	:	(5.736)

242

5.15 Движение в кулоновском поле. Непрерывный спектр

( )

( p )

Рассмотрим волновую функцию электрона с определ¼нным импульсом в асимптотике (в нерелятивистской теории спиновая зависимость тривиальна). Будем нормировать е¼ следующим образом

dr p( )+(r) p( 0	)(r) =	(2 )3 (p p0)			(5.737)
		1		(p p0) (cos cos 0) (' '0) :
	=	(2 )3			(5.738)
			p2

Для короткодействующего потенциала волновые функции определяются асимптотиками

(+)(Z)

(r)

ipr

+ f

(+)

(n)

eipr

(Z=0)

(r) + f

(+)

(n)

eipr

;

(5.739)

( )(Z)

(r)

ipr

+ f

( )

(n)

e ipr

(Z=0)

(r) + f

( )

(n)

e ipr

;

(5.740)

где n = r=r. В случае кулоновского (дальнодействующего) потенциала мы постараемся

получить похожую асимптотику.

Первый член в асимптотике описывает падающую волну, второй член рассеянную (см. Ур. (3.326) при ~ = 1, me = 1)

j[ ](r; t) =

(r; t)p^ (r; t) + (p^

(r; t))

(r; t)

(5.741)

(r; t)r (r; t)

(r; t)r (r; t) :

(5.742)

erp^r + e

p^ + e'

p^' ;

(5.743)

r sin

1 @

+ e

+ e'

(5.744)

r sin

Потоки падающей и рассеянной волны имют вид

j[eipr]

p ;

r ! 1 ;

(5.745)

j[f( )(n)

e ipr

]

perjf(+)(n)j2

+ O

;

r ! 1 :

(5.746)

Разложим волновые функции

p( )(r) по функциям

Elm(r).

243

Рассмотрим сначала разложение волновой функции свободного электрона ( Z = 0)

(Z=0)(r) = eipr

=(2l + 1)iljl(pr)Pl(cos )

l=0

	X X
=	il4 jl(pr)Ylm( )Ylm(n) ;	(5.747)

l=0 m= l

где n = r=r, = p=p, cos = r, угол между векторами p и r. Рассмотрим асимптотику (r ! 1)

(Z=0)(r)

4 lm

il pr sin pr 2

Ylm( )Ylm(n)

l=0 il (2l + 1)Pl(cos ) sin

Ylm( )Ylm(n) =

(2l + 1)Pl(cos ) :

m= l

Разложение функций

( )(Z)(r) будем искать в виде

(2 )3=2

( )

(Z)

( )(Z)(r) =

Y ( )ei l il

(r) :

Elm

Используя асимптотику функции

Elm(r) (5.679), получаем

(2 )3=2

( )

( )(Z)

i l

(r)

Ylm( )e

(5.748)

(5.749)

(5.750)

(5.751)

(5.752)

(2 ) 1=2 p 1=2 r sin pr +

ln(2pr) + l 2

Ylm(r^)

(5.753)

il Ylm( )Ylm(n)ei l

sin

pr + p

ln(2pr) + l 2

(5.754)

(

)

: (5.755)

(

)

ln(2pr) + l

l=0 il (2l + 1)Pl(cos )ei l

sin pr +

Надо обратить внимание на присутствие логарифмического члена в экспоненте. Этот логарифм приводит к тому, что, строго говоря, асимптотика в кулоновском потенциале отличается от Ур. (5.739), (5.740) как для падающей, так и для рассеянной волны.

244

Во многих случаях этим логарифмическим членом можно пренебречь. Мы это будем обсуждать при изучении теории рассеяния.

Легко убедиться, что

( )(Z!0)	(r) !	(Z=0)	(r) :	(5.756)
p	(r) !	p	(r) :

Пренебрегая медленно меняющимся логарифмом, мы можем записать

( )(Z)

(Z=0)

(5.757)

(r)

(2l + 1)Pl(cos )

ei l

sin

sin pr

(5.758)

pr + p ln(2pr) + l

(

)

(2l + 1)Pl(cos )

(5.759)

ei l

exp ipr + i l i

exp ipr i 2

(

)

ei l

exp ipr i l + i 2

+ exp ipr + i

( )

il (2l + 1)Pl(cos )

ei l+i l( )

e i l+i l( )

eipr i 2l

e ipr+i 2l

= f(+)(n)e

ipr

+ f( )(n)e

ipr

(5.760)

(5.761)

(5.762)

(5.763)

(5.764)

Мы имеем два члена в фигурных скобках. В случае асимптотики

второй член и мы получаем (+)l = l. В случае асимптотики первый член и мы получаем (l ) = l.

Таким образом, в разложении Ур. (5.753)

(+) p

( ) p

должен зануляться

	l( ) = l ;					(5.765)
которые определяются Ур. (5.659).
Соответственно, мы можем записать
( )(Z)(r) =	(2 )3=2		Y	(p^)e i l il	(Z) (r) :	(5.766)
			X
p	p	p	lm		Elm
			lm

С точностью до логарифмического члена эти функции имеют асимптотику Ур. (5.739), (5.740). В асимптотике при r ! 1 эта функция будет собственной функцией оператора

импульса (даже в присутствии логарифмического члена).

245

	d			c
i		eipzz+ic ln(z)	= pzeipzz+ic ln(z) +		eipzz+ic ln(z) ! pzeipzz+ic ln(z) ; z ! 1 : (5.767)
	dz			z

Соответственно, логарифмический член не будет давать вклад в поток, точнее в отношение потоков падающей и рассеянной волны при ( r ! 1).

Получим выражение для функции f(+)(n)

e i 2 e2i l

f(+)(n) =

il (2l + 1)Pl(cos )

(2l + 1)Pl(cos )e2i l

2ip

(2l + 1)Pl(cos )

(l + 1 iZ=p)

(l + 1 + iZ=p)

2ip

Угол угол между векторами p и r.

e2i l =

ei l

j (l + 1 iZ=p)jei l

(l + 1 iZ=p)

e i l

j (l + 1 + iZ=p)je i l

(l + 1 + iZ=p)

Без доказательства: этот ряд можно просуммировать аналитически

2p2 sin2

( =2) (1 + iZ=p)

f(+)(n)

(1 iZ=p)

exp

ln sin2

(5.768)

(5.769)

(5.770)

(5.771)

(5.772)

Полученное выражение есть кулоновская амплитуда рассеяния.

Ниже, при изучении теории рассеяния, мы покажем, что дифференциальное сечение имеет вид

d if	= jf(+)(n)j2 :	(5.773)
dn

Получаем формулу Резерфорда.

5.16Частица в сферически-симметричной яме

Рассмотрим движение частицы в сферически-симметричной яме

	0	;	r > r0 :	(5.774)
V (r) =	V0	;	r r0

246

Найд¼м условия существования дискретных уровней энергии. Собственные функции уравнения Шр¼дингера

Функция P (r) должна удовлетворять уравнению (см. Ур. (5.648))

	1	P 00(r) +	l(l + 1)		P (r) + V (r)P (r) = EP (r)
	2		2r2

со следующим граничным условием

P (0) = 0 :

Ðèñ. 5.3:

(5.775)

(5.776)

(5.777)

(5.778)

Видно, что дискретные уровни энергии могут существовать только для E < 0. Полу- чаем следующее условие существования дискретных уровней энергии

l(l + 1)	V0	<	0 ;			(5.779)
2r02
	V0r02	>	l(l + 1)		:	(5.780)
				2

247

Таким образом, дискретные уровни энергии будут существовать не для всех l. Рассмотрим две области: 0 r r0 è r > r0

1	P 00(r) +	l(l + 1)	P (r)	=	(E + V0)P (r) ;	r r0 ;

2		2r2
1	P 00(r) +	l(l + 1)	P (r)	=	EP (r) ; r > r0	:

2		2r2

Решение Ур. (5.781) имеет вид (см. (5.735))

P (r) = A1rjl( r) + A2ryl( r) ;

= 2(E + V0) :

Ñуч¼том асимптотики Ур. (5.716), (5.717) получаем, что

A2 = 0 :

Решение Ур. (5.782) имеет вид (см. (5.735))

P (r) = B1rhl(1)			( r) + B2rhl(2)	( r) = B1rhl(1)(iar) + B2rhl(2)(iar) ;
p

= 2E = ia :

Ñуч¼том асимптотики Ур. (5.714), (5.715) получаем, что

B2 = 0 :

(5.781)

(5.782)

(5.783)

(5.784)

(5.785)

(5.786)

(5.787)

(5.788)

Функция P (r) удовлетворяет (5.777). Проводя анализ как в параграфе 4.5 получаем, что функция P (r) и е¼ первая производная должны быть непрерывными функциями в точке r0. Соответственно, мы можем записать

P (r01

0) dr P (r) r=r0

P (r01+ 0) dr P (r) r=r0+0

;

(5.789)

(1)

(iar)

(5.790)

rjl

( r)

rhl

r0jl( r0)

h(0)(iar

)

В виду условия Ур. (5.780) рассмотрим случай

l = 0

rj0( r) r0

rh0

(iar)

;

(5.791)

r0j0( r0)

h(0)

(iar

)

(1)

(5.792)

d sin( r)

;

sin( r0) dr

ie ar0 dr

( i)

ctg(

r0)

a ;

(5.793)

ctg( r0)

(5.794)

248

Получим условие существования уровня энергии для l = 0

r0	>		;		(5.795)

		2
2r02		2
	>			;	(5.796)
		4

2(E + V0)r02		2
	>			; E < 0 ;	(5.797)
		4

V0r02		2
	>			:	(5.798)
		8

В отличие от одномерного случая, в тр¼хмерном пространсте не у каждой потенциальной ямы есть связанные состояния.

Ðèñ. 5.4:

249

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 6735 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf