Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Волновая функция электрона с определ¼нной энергией, орбитальным моментом ( l), его проекцией (m) и проекцией спина ( ) на ось z

nlm (r; ; t)

=

 

1

Pnl(r)Ylm( ; ') ( )e

i

Ent ;

(5.606)

 

~

 

 

h nlm j n0l0m0 0i

 

 

r

 

=

nn0 ll0 mm0 0 :

(5.607)

Спиновая и временная зависимости тривиальны, их часто опускают. Надо напомнить, что мы рассматривали одноэлектронные ионы.

5.121s-электрон

В предыдущем параграфе мы получили, что в кулоновском поле дискретный спектр энергии определяется формулой Бора

 

 

 

 

En =

 

Z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

n

= 1; 2; : : :

(5.608)

 

 

 

 

2n2

Энергии приведены в атомной системе единиц.

 

 

Также е¼ можно записать как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En = mec2

( Z)2

 

 

 

 

 

 

 

;

n = 1; 2; : : : ;

(5.609)

 

 

 

 

2n2

ãäå =

e2

 

1

 

 

 

~c

137

постоянная тонкой структуры.

 

 

Волновая функция электрона с определ¼нной энергией, орбитальным моментом ( l), его проекцией (m) и проекцией спина ( ) на ось z имеет вид

 

nlm (r; ; t)

=

 

1

Pnl(r)Ylm( ; ') ( )e

i

Ent ;

 

(5.610)

~

 

 

 

 

h nlm j n0l0m0 0i

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= nn0 ll0 mm0 0 :

 

 

 

 

 

(5.611)

Pnl(r) = n(2l + 1)!s

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

e n

F

l + 1 n; 2l + 2;

n

:

 

(n(

l

 

1)!

 

 

 

 

 

Z1=2

 

 

n + l)!

 

2Zr

l+1

Zr

 

 

 

 

2Zr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

1 ; :

 

 

 

 

 

 

(5.612)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Спиновая и временная зависимости тривиальны, мы будем их опускать.

 

 

Рассмотрим величину энергии 1s-электронов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mec2

=

511 keV :

 

 

 

 

 

 

(5.613)

231

E1(0)s H;Z=1

 

13:6 eV ;

(5.614)

E1(0)s U;Z=92

 

115 keV :

(5.615)

Волновые функции 1s-электрона имеют вид

Pn=1;l=0(r)

=

P10(r) = 2Z3=2re Zr ;

 

(5.616)

 

 

1

 

1

 

 

1s(r)

=

 

 

P10

(r)Y00

( ; ') = 2Z3=2e Zr

p

 

:

(5.617)

 

r

 

4

Вычислим среднее значение радиуса орбиты 1s-электрона

r = h 1sjrj 1si

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4Z3

Z0

 

dr r3e 2Zr Z

d Z

d' sin jY00j2

 

 

=

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Z3(2Z) 4 Z0

d(2Zr) (2Zr)3e 2Zr = 4Z3(2Z) 4 (4) = 2Z :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

h

1sj

 

j 1si

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4Z3

Z0

dr re 2Zr Z

d Z

d' sin jY00j2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4Z3(2Z) 2

Z0

d(2Zr) (2Zr)e 2Zr = 4Z3(2Z) 2 (2) = Z :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z)

=

 

Z0

dt tz 1e t ;

(n) = (n 1)! :

(5.618)

(5.619)

(5.620)

(5.621)

(5.622)

(5.623)

(5.624)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Принято говорить, что характерный радиус орбиты 1s-электрона (r1s) равен

 

a.u.

Z

(атомных единиц) или a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z , ãäå

 

 

 

 

 

 

 

a0

=

0:529 10 10 m ;

 

боровский радиус (Bohr radius) ;

(5.625)

r1s

=

 

a0

:

 

 

 

 

(5.626)

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Привед¼м зарядовые радиусы ядер

 

 

 

 

 

 

 

nuc

 

 

15 m

;

зарядовый радиус протона

;

 

(5.627)

RZ=1

= 0:84 10

 

 

 

 

 

nuc

 

=

15 m

;

зарядовый радиус ядра урана

:

(5.628)

RZ=92

5:86 10

 

 

 

 

 

232

p2 =

h 1sjp^2j 1si

= h 1sj j

1si

= h 1s r12

@

@

 

l2

 

1si

(5.629)

 

@r r2 @r

+ r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

@

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2Z3

Z0

dr r2e Zr

1

 

 

 

 

r2

 

e Zr

Z

d Z

d' sin jY00j2

 

(5.630)

r2

@r

@r

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2Z3

dr r2e Zr( 1)

1

 

 

( Z)r2e Zr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.631)

r2

@r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2Z3

Z0

dr e ZrZ(2re Zr Zr2e Zr)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.632)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2Z3

(2Z) 1

Z0

d(2Zr) (2Zr)e 2Zr

1

(2Zr)2e 2Zr

 

 

(5.633)

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

(2Z) 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

4Z3

 

(2)

4

(3)

 

= Z2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.634)

Мы получили, что характерный импульс 1s-электрона равен Z a.u. (атомных единиц) или

p1s = mec Z ;

где c скорость света, = ec~2 1371 постоянная тонкой структуры. Найд¼м волновую функцию 1s-электрона в импульсном представлении

~1s(p) = (2 ) 3=2 Z dre ipr

1s(r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (2 ) 3=2 Z dre ipr2pZ

3e Zrr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(2 ) 3=2

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z dr r2

Z d' Z d cos( ) e ipr cos( )2pZ3e Zrr

4

 

 

0

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(2 ) 3=22pZ32 Z0

dr r2 e Zr ipr

(e ipr eipr)r

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (2 ) 3=22pZ32 ip Z0

dr r (e (Z+ip)r e (Z ip)r)r4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(5.635)

(5.636)

233

1

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

dr r e (Z ip)r = (Z ip)2

Z0

 

d[(Z ip)r] [(Z ip)r] e [(Z ip)r]

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

(2) =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Z ip)2

 

(Z ip)2

 

 

(5.637)

 

~1s(p) = (2 ) 3=22pZ32

1ip (Z + ip)2

 

(Z

 

ip)2

r

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

ip (Z2

+ p2)2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

= (2 ) 3=2

 

2

1

 

 

 

4iZp

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z3

 

 

+ p2)2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (2 ) 3=22pZ32 (Z2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1=2

 

(Z2 + p2)2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.638)

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

5=225=2

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, волновые функции 1s-электрона в координатном и импульсом представлении имеют вид

 

1s; 21 (r; )

=

2Z3=2e Zrr

 

4

21 ( ) ;

 

 

 

(5.639)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1s; 21 (p; )

=

 

1=2

 

(Z2 + p2)2 r

 

 

 

21

( ) :

 

(5.640)

 

 

 

4

 

 

~

 

 

 

 

Z5=225=2

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Характерные радиус орбиты и импульс равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a.u.

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 m

 

(5.641)

r1s

= Z

;

 

r1s = Z

;

 

 

a0

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

= 0:529 10

 

p1s

= Z a.u. ;

 

p1s = mec Z :

 

 

 

 

 

 

 

(5.642)

Заметим, что не смотря на то, что r1sp1s = 1 (r1sp1s = ~) орбитальный момент у

1s-электрона равен нулю (l = 0).

 

 

 

Также обратим внимание на то, что p1s

= c Z. Для урана (Z = 92) Z

Z

0:67,

соответственно, p1s

me

137

me

0:67c.

 

 

 

5.13Движение в кулоновском поле. Непрерывный спектр

( Elm )

Стационарное уравнение Шр¼дингера имеет вид

 

p^2

+ V (r)

(r) = E (r) ;

(5.643)

2me

234

ãäå me масса электрона, V (r) потенциал центрального поля. Мы использовать атомную систему единиц

me

=

1 ;

 

~ = 1 ;

 

 

jej = 1 ;

 

 

 

(5.644)

 

 

 

e2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

постоянная тонкой структуры :

(5.645)

c~

137

Мы будем рассматривать кулоновский потенциал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2Z

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

V (r)

=

 

 

=

 

;

(5.646)

 

 

 

 

 

 

r

r

где Z атомный номер (jejZ заряд ядра).

 

 

 

 

 

 

Будем искать решение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r)

=

 

 

P (r)Ylm( ; ') ;

(5.647)

 

 

 

 

 

 

 

r

то есть мы ищем состояния электрона с определ¼нной энергией, орбитальным моментом (l) и его проекцией на ось z (m).

Для функции P (r) мы имеем следующее уравнение (см. Ур. (5.527))

 

1

P 00(r) +

l(l + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (r) + V (r)P (r)

= EP (r) :

(5.648)

2

2r2

Рассмотрим случай E > 0 и будем искать решение в виде

 

 

 

rl+1e ru(r) = rl+1e ipru(r) ;

= ip = p

 

:

 

P (r) =

 

2E

(5.649)

Величина p имеет смысл модуля импульса на бесконечности (при r ! 1).

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

E =

 

 

:

 

 

 

(5.650)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция u(r) по прежнему будет удовлетворять Ур. (5.568)

ru00 + [2(l + 1) 2 r]u0 [2 (l + 1) 2Z]u = 0 :

(5.651)

Выше (см. Ур. (5.573)) мы нашли, что функция u(r) имеет вид (второе решение сингулярно в нуле и является нефизичным)

 

Z

 

 

 

Z

 

p

 

 

(5.652)

 

 

 

 

 

 

u(r) = C F (l + 1

 

; 2l + 2; 2 r) = CF (l + 1

p

 

; 2l + 2; 2

2Er) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2E

 

 

 

 

где C определяется условием нормировки.

235

Соответственно, функция P (r) примет вид

P (r) = Crl+1e iprF (l + 1 +

iZ

; 2l + 2; 2ipr) ;

(5.653)

p

 

 

 

нормировочную константу C определим ниже из условия нормировки функции P (r) на

дельта-функцию.

Асимптотическое выражение для вырожденной гипергеометрической функции имеет вид (без доказательства)

 

(c)

 

 

(c)

 

 

F (a; c; z)

 

 

( z) a

+

 

ezza c ;

jzj ! 1 :

(5.654)

(c a)

(a)

Рассмотрим асимптотику функции P (r)

 

 

 

 

 

 

P (r) Crl+1e ipr

 

(2l + 2)

 

( 2ipr) iZp l 1

 

(5.655)

 

iZ

 

 

 

(l + 1 p )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2l + 2)

 

 

 

iZ

 

 

+Crl+1e ipr

 

e2ipr(2ipr) p l 1 ;

r ! 1 :

(5.656)

(l + 1 + iZ )

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

Заметим, что первый и второй член Ур. (5.656) отличаются только комплексным сопряжением, соответственно, функция P (r) может быть представлена как удвоенная веще-

ственная часть второго члена Ур. (5.656)

P (r) 2C Re (rl+1e ipr (l + 1 + iZp

)e2ipr(2ipr) p l 1) ;

r ! 1 :

(5.657)

 

 

 

 

 

(2l + 2)

 

 

 

iZ

 

 

 

Используем также следующие равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2l + 2)

=

(2l + 1)!

;

 

l = arg (l + 1 + p ) ;

(5.658)

(l + 1 + iZp )

=

j (l + 1 iZp )jei l

 

(5.659)

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

iZ

 

 

(2ipr)iZp l 1

=

iiZp l 1(2pr)iZp l 1

= e

Z

+i 2 ( l 1)ei Zp ln(2pr)(2pr) l 1 :

(5.660)

 

2p

Величины l называют кулоновскими фазами. Получаем асимптотику функции P (r) в виде

(

)

 

 

 

 

(2l + 1)!

 

 

 

 

Z

Z

P (r) 2C Re

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

2p ei(pr+ p

j (l + 1 +

iZ

)j

 

=

 

 

p

 

cos pr + p

2C (l + 1

 

iZp

) e

 

2p

 

 

(2l + 1)!

 

 

 

Z

 

 

 

Z

 

j

 

iZp

j

 

 

 

 

 

 

pr +

 

=

2C (l + 1

 

) e

 

2p

sin

p

 

 

(2l + 1)!

 

 

 

Z

 

 

Z

 

j

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(2pr)+ l 2 (l+1))(2p) l 1

 

(5.661)

ln(2pr) + l

 

2

(2p) l 1 (5.662)

 

(l + 1)

 

 

ln(2pr) + l

2

(2p) l 1 :

(5.663)

l

 

 

 

236

Введ¼м новую константу C0

 

 

(2l + 1)!

Z

 

 

C0 =

C

 

 

e

2p (2p) l 1 ;

(5.664)

j (l + 1 iZp )j

P (r) 2C0 sin

pr + p ln(2pr) + l 2

; r ! 1 :

(5.665)

 

 

 

Z

 

l

 

 

Пренебрегая медленно меняющимся логарифмом, постоянными фазами и используя равенство

1

dr sin (pr) sin (p0r)

=

2

(p p0) ;

 

 

p > 0 ;

p0 > 0 ;

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

dr sin (pr) sin (p0r)

=

 

 

 

dr

( 1)

(eipr

 

e ipr)(eip0r

 

e ip0r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 4 Z dr ei(p p0)r + ei(p0 p)r [ei(p+p0)r + e i(p+p0)r]

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dr(ei(p p0)r ei(p0+p)r)

 

 

 

 

= 4 Z

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

(p p0)

 

(p + p0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

=

 

 

(p p0) ;

 

 

p > 0 ;

p0 > 0 ;

 

 

2

 

 

получаем, что функция P (r) нормирована на дельта-функцию

1

Z

dr PE(r)PE0(r) = 2 (p

 

p0) C0 2

= 2 p (E

 

E0)

C0

j

2

:

 

j j

 

j

 

 

 

0

(5.666)

(5.667)

(5.668)

(5.669)

(5.670)

(5.671)

(5.672)

Мы использовали свойства дельта-функции (см. Ур. (2.277))

(E E0) =

 

2

20

 

=

 

d1p2

 

(p p0)

(5.673)

 

 

 

 

p2

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.674)

=

 

 

(p p0) :

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

Выберем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C0

=

(2 ) 1=2 p 1=2 :

 

 

(5.675)

237

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности