Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Не смотря на наличие двух линейно независимых решений в асимптотике при r ! 1, фиксированная асимптотика при r ! 0 привед¼т к тому, что радиальное уравнение Шр¼дингера (5.544) будет иметь по одному решению для каждой энергии E.

Замечание: в случае кулоновского поля V = e2Z=r асимптотика при r ! 1 будет отличаться от Ур. (5.549), см. следующие параграфы.

Замечание: уровни энергии уравнения Шр¼дингера (5.514) будут вырождены по магнитному квантовому числу m (если l 1), см. Ур. (5.518). В случае кулоновского поля

уровни энергии будут также вырождены по l. Однако, у уравнения (5.544) для каждого фиксированного l спектр невырожденный.

5.11Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр

27.11.2021

Мы будем рассматривать одноэлектронную систему водородоподобные ионы. Стационарное уравнение Шр¼дингера имеет вид

 

 

^

 

 

 

H (r) = E (r)

 

p^2

+ V (r)

(r) = E (r)

2me

;

;

^

p^2

 

 

H =

 

+ V (r) ;

(5.551)

2me

 

 

 

(5.552)

ãäå me масса электрона, V (r) потенциал центрального поля. Мы использовать атомную систему единиц

me

=

1 ;

 

~ = 1 ;

jej = 1 ;

(5.553)

 

 

 

e2

1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

постоянная тонкой структуры :

(5.554)

c~

137

Мы будем рассматривать кулоновский потенциал

 

V (r) =

e2Z

=

Z

;

 

 

r

r

 

где Z атомный номер ( e Z заряд ядра).

 

 

 

 

 

Гамильтониан Ур. (5.551)j j

коммутирует с операторами ^2

è ^

 

 

 

 

 

 

l

lz

 

^ ^2

]

=

0 ;

 

 

 

 

[H; l

 

 

 

 

^ ^

]

=

0 :

 

 

 

 

[H; lz

 

 

 

(5.555)

(5.556)

(5.557)

225

Значит, эти операторы имеют общий набор функций. Будем искать решение в виде

 

1

 

(r) =

r P (r)Ylm( ; ') ;

(5.558)

то есть мы ищем состояния электрона с определ¼нной энергией, орбитальным моментом (l) и его проекцией на ось z (m).

Для функции P (r) мы имеем следующее уравнение (см. Ур. (5.527))

 

1

P 00(r) +

l(l + 1)

P (r) + V (r)P (r) = EP (r) :

(5.559)

 

 

 

2

2r2

Рассмотрим дискретный спектр (E < 0).

В предыдущем параграфе пы получили, что функция P (r) имеет следующую асимп-

тотику (см. Ур. (5.542), (5.548))

 

 

 

 

 

 

P (r)

rl+1 ;

r ! 0 ;

 

p

 

 

(5.560)

P (r)

e r ;

r ! 1 ;

=

2E

:

(5.561)

С уч¼том этой асимптотики будем искать решение в виде

 

 

 

 

 

P (r)

= rl+1e ru(r) :

 

 

 

(5.562)

P 0 =

(l + 1)rle ru rl+1e ru + rl+1e ru0 :

(5.563)

P 00 =

l(l + 1)rl 1e ru (l + 1)rle ru + (l + 1)rle r

 

(l + 1)rle ru + 2rl+1e ru rl+1e ru0

 

+(l + 1)rle ru0 rl+1e ru0 + rl+1e ru00

=

[l(l + 1)r 2 2 (l + 1)r 1 + 2]u + 2[(l + 1)r 1

u0

]u0 + u00 rl+1e r:(5.564)

Перепишем Ур. (5.559) в виде

P 00 l(l + 1)r 2P 2V (r)P 2P = 0 :

(5.565)

и подставим в него Ур. (5.564). Получим уравнение для функции u(r)

 

[l(l + 1)r 2 2 (l + 1)r 1 + 2]u + 2[(l + 1)r 1 ]u0 + u00

 

+[ l(l + 1)r 2 2V (r) 2]u = 0 :

(5.566)

Домножим Ур. (5.566) на r и запишем его в виде

 

ru00 + [2(l + 1) 2 r]u0 [2 (l + 1) + 2V r]u = 0 :

(5.567)

226

Подставив V (r) = Zr , получим

ru00 + [2(l + 1) 2 r]u0 [2 (l + 1) 2Z]u

= 0 :

(5.568)

Сделаем замену переменных

 

 

 

 

 

 

 

r =

 

 

 

 

 

(5.569)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

u(r) =

v(2 r) = v( ) :

 

(5.570)

Уравнение Ур. (5.568) примет вид

 

 

 

(l + 1) v =

0 :

 

v00 + [2(l + 1) ]v0

(5.571)

 

 

 

 

 

Z

 

 

Решением регулярным в нуле является вырожденная гипергеометрическая функция

v( )

=

c F (l + 1

Z

; 2l + 2; )

 

 

u(r)

=

c F (l + 1

Z

; 2l + 2; 2 r)

 

 

где c определяется условием нормировки.

 

 

 

 

 

 

 

(5.572)

 

p

Z

p

 

 

(5.573)

= cF (l + 1

2Er) ;

 

; 2l + 2; 2

 

 

2E

Вырожденная гипергеометрическая функция (con uent hypergeometric function) или функция Куммера (Kummer's function) является решением дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

 

zf00 + (c z)f0 af = 0 ;

 

 

 

 

(5.574)

f(z)

=

F (a; c; z) ;

 

 

 

 

 

 

 

(5.575)

F (a; c; z)

=

1 +

a

 

z

+

a(a + 1)

 

z2

+

+

a(a + 1)

(a + n 1)zn

+ : : : (5.576)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 1! c(c + 1) 2!

 

c(c + 1)

 

(c + n

 

1)n!

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие обрывания этого ряда: a целое отрицательное число или нуль (a 0). Без доказательства: второе решение уравнения имеет вид

g(z) = z1 c F (a c + 1; 2 c; z) :

(5.577)

Оно нефизичное, так как не удовлетворяет условию нормировки Ур (5.521).

Покажем, что функция Ур. (5.576) есть решение дифференциального уравнения (5.574). Рассмотрим n-ый и (n + 1)-ый член ряда (fn è fn+1) и их производные

fn

=

a(a + 1) (a + n 1)zn

;

 

 

 

c(c + 1) (c + n 1)n!

fn0

 

a(a + 1)

 

(a + n

 

1)zn 1

=

 

 

 

;

 

 

c(c + 1) (c + n 1)(n 1)!

fn00

 

a(a + 1)

 

(a + n

 

1)zn 2

=

 

 

 

:

 

 

c(c + 1) (c + n 1)(n 2)!

(5.578)

(5.579)

(5.580)

227

fn+1

=

a(a + 1) (a + n)zn+1

;

c(c + 1) (c + n)(n + 1)!

 

 

 

f0

=

a(a + 1) (a + n)zn

;

 

n+1

 

c(c + 1) (c + n)n!

 

 

 

 

fn00+1

=

a(a + 1)

 

(a + n)zn 1

:

 

 

 

c(c + 1) (c + n)(n 1)!

 

 

 

(5.581)

(5.582)

(5.583)

Подставим ряд Ур. (5.576) в дифференциальное уравнение (5.574), выделим члены с zn и покажем, что они все сокращаются

zn :

zfn00+1 + cfn0

+1 zfn0

afn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= z

a(a + 1) (a + n)zn 1

+ c

a(a + 1) (a + n)zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(c + 1) (c + n)(n 1)!

 

 

 

c(c + 1) (c + n)n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

a(a + 1) (a + n 1)zn 1

 

a

a(a + 1) (a + n 1)zn

 

 

c(c + 1)

 

(c + n

 

1)(n

 

1)! c(c + 1)

 

(c + n

 

1)n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

a(a + 1) (a + n 1)zn

 

 

 

(a + n)

+ c

(a + n)

 

1

 

 

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(c + n)

 

 

 

1

 

n

 

c(c + 1)

(c + n 1)(n 1)!

 

(c + n)n

 

 

 

=

 

a(a + 1) (a + n 1)zn

 

 

(a + n)

n + c

 

 

 

 

1

 

 

 

a

 

= 0 :

 

 

 

 

(c + n)n

 

 

n

 

c(c + 1)

(c + n 1)(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.584)

(5.585)

(5.586)

(5.587)

(5.588)

Эти сокращения имеют место для каждого n. Тем самым мы доказали, что функция

Ур. (5.576) есть решение дифференциального уравнения (5.574).

Асимптотическое выражение для вырожденной гипергеометрической функции имеет вид (без доказательства)

 

(c)

 

(c)

 

 

F (a; c; z)

 

 

( z) a +

 

ezza c ;

jzj ! 1 :

(5.589)

(c a)

(a)

Для положительных z, как в нашем случае, можно пренебречь первым членом

F (a; c; z)

(c)

 

(a)ezza c ; z ! +1 :

(5.590)

Таким образом, асимптотика функции P (r) будет (см. Ур. (5.562), (5.573))

P (r) =

rl+1e ru(r) rl+1e r

(2l + 2)

e2 r(2 r) l 1 Z

(5.591)

Z

 

 

(l + 1 )

 

=

c r Z e r :

 

(5.592)

Мы получаем экспоненциальный рост. Значит, для физических решений должно иметь место обрывание ряда Ур. (5.576).

228

Условие обрывания ряда Ур. (5.576)

 

 

a

=

l + 1

 

Z

 

= nr ;

nr 0

;

(5.593)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

Z

 

=

nr + l + 1 = n ;

n l + 1

; n 2 Z :

(5.594)

 

 

 

 

2E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом получаем выражения для возможных энергий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z2

 

 

 

 

 

 

 

 

En =

 

;

n = 1; 2; : : :

(5.595)

 

 

 

 

 

2n2

Величину n называют главным квантовым числом (principal quantum number). Эта фор-

мула называется формулой Бора (Niels Bohr).

Выражение для энергии (5.608) написано атомных единицах. Запишем е¼ в терминах mec2

 

 

 

 

En = mec2

( Z)2

 

 

 

 

 

 

 

;

n = 1; 2; : : : ;

(5.596)

 

 

 

 

2n2

ãäå =

e2

 

1

 

 

 

~c

137

постоянная тонкой структуры.

 

 

При фиксированном главном квантовом числе n орбитальный момент может прини-

мать значения (см. Ур. (5.594))

 

0 l n 1 :

(5.597)

Вырождение уровней энергии (E < 0) по орбитальному моменту является следствием

повышенной симметрии уравнения Шр¼дингера с кулоновским полем. Можно показать (впервые это показал В.А. Фок), что это уравнение инвариантно относительно вращений в четыр¼хмерном пространстве. Также это вырождение можно объяснить существованием в кулоновском поле дополнительного интеграла движения (вектор Рунге-Ленца)

A =

Zr

[p l] :

(5.598)

r

Следствием существования этого интеграла движения является замкнутость орбит (при E < 0) в кулоновском поле.

В квантовой механике вектору Рунге-Ленца соответствует оператор

^

 

Zr

 

1

^ ^

 

 

A

=

 

r

 

2

([p^ l] [l

p^]) :

(5.599)

Можно показать, что этот вектор коммутирует с гамильтонианом.

Рассмотрим энергетический спектр, определяемый формулой Бора (5.608).

229

Заметим, что уровни энергии вырождены по орбитальному моменту ( l) и по его проекции (m). Найд¼м степень вырождения уровня энергии с главным квантовым числом n

n 1

 

0 + n 1

n + n = n2

 

 

Nn =

 

(2l + 1) = 2

;

(5.600)

=0

2

 

 

 

 

 

 

Xl

 

 

 

 

 

 

 

(возможны две проекции спина

 

 

1

Получаем, что с уч¼том спина

= 2 ) кратность вы-

 

2.

 

 

рождения уровня энергии есть 2n

 

 

 

 

 

Электроны обозначают как nl, где орбитальный момент обозначают буквами

l : 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6

s;

p;

d;

f;

g;

h;

i :

n = 1 : 1s

 

 

 

: N1 = 2 ;

 

n = 2 :

2s; 2p

 

 

: N2 = 8 ;

 

n = 3 :

3s; 3p; 3d

 

: N3 = 18 ;

 

n = 4 : 4s; 4p; 4d; 4f : N4 = 32 :

(5.601)

(5.602)

(5.603)

Электроны дискретного спектра (с отрицательной энергией) называют связанными электронами. Волновая функция таких электронов имеет экспоненциальное затухание при r ! 1. Соответственно, среднее значение r ограничено.

Минимальная энергия, которую необходимо передать связанному электрону, чтобы он переш¼л в непрерывный (E = 0) спектр называют потенциалом ионизации

In = En :

(5.604)

Самый низкоэнергетический электрон это 1s-электрон, для его ионизации надо боль-

ше всего энергии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С уч¼том Ур. (5.562), (5.573) нормированная на единицу функция

P (r) имеет вид

Pnl(r) = n(2l + 1)!s

 

 

 

 

 

 

2n

 

l+1

e n F

l + 1 n; 2l + 2; 2n

:

 

(n(

l

 

1)!

 

 

 

Z1=2

 

 

n + l)!

Zr

 

Zr

 

 

Zr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормировочная константа приводится без доказательства.

 

 

 

Спин электрона равен s = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции (см. Ур. (5.362))

 

 

2 , его спиновую зависимость можно записать с помощью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

=

1 ; :

 

 

 

(5.605)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

230

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности