Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

s^2ums

=

2ums ;

(5.498)

s^zums

=

msums :

(5.499)

Рассмотрим прямое произведение подпространств fYl;ml ( ; ')g è fums g. Определим в этом большом подпространстве оператор полного момента

^

^

j

= l + s^:

Шаровые векторы определяются как

 

l

 

 

 

 

 

 

X X

 

 

 

 

 

Y ( ; ') =

Cjm

Y

l;ml

( ; ')u

ms

:

jlm

lml;1ms

 

 

 

ml= l ms= 1;0

(5.500)

(5.501)

Шаровые векторы являются собственными функциями для следующих операторов

^2

Yjlm( ; ')

=

j(j + 1)Yjlm( ; ') ;

j

^

 

 

 

=

mYjlm( ; ') ;

jzYjlm( ; ')

l^2Yjlm( ; ') =

l(l + 1)Yjlm( ; ') ;

s^2Yjlm( ; ')

= 2Yjlm( ; ') :

hYjlmjYj0l0m0i =

 

 

 

jm

j0m0

 

 

Clml;1ms Cl0ml0;1ms0

 

m

m

s0

 

 

 

mlmXs l0

 

 

 

ZZ 2

d d' sin Yl;ml ( ; ')Yl0;m0l ( ; ')hums jum0s i

0

0

 

 

 

 

=

Cjm

Cj0m0

ll0 mlm0 msm0

mlmXs l0

s0

 

l

s

 

lml;1ms l0ml0;1ms0

m m

 

 

 

 

= ll0

Cjm

Cj0m0

 

 

Xl s

lml;1ms

lml;1ms

 

 

 

 

 

m m

= jj0 mm0 ll0 :

(5.502)

(5.503)

(5.504)

(5.505)

(5.506)

(5.507)

(5.508)

(5.509)

(5.510)

Шаровые векторы используются для построения волновых функций фотонов с определ¼нными j, l и m.

5.10Движение в центральном поле

Стационарное уравнение Шр¼дингера имеет вид

 

p^2

+ V (r)

(r) = E (r) ;

(5.511)

2me

220

ãäå me масса частицы (электрона), V (r) потенциал. Мы будем использовать атомную систему единиц

me = 1 ; ~ = 1 ; jej = 1 :

(5.512)

Рассмотрим центральное поле

V (r) = V (r) ;

r = jrj :

(5.513)

Уравнение Ур. (5.511) примет вид

 

1

+ V (r) (r) = E (r) :

(5.514)

2

Запишем лапласиан в сферических координатах через оператор углового момента (см. Ур. (3.410), (5.74) )

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

 

@

r2

@

 

 

 

 

l^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

@r

@r

r2

 

 

l^2 =

 

1

 

@

 

 

 

@

 

1

 

 

 

 

@2

 

; ^lz = i

@

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

+

 

 

 

 

sin

@

 

@

sin2

@'2

@'

2r2

@r r2 @r + 2r2 + V (r)!

(r) = E (r) :

 

1

 

@

 

@

 

 

l^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать решение в виде

 

1

(r) =

r P (r)Ylm( ; ') :

(5.515)

(5.516)

(5.517)

(5.518)

Таким образом, мы будем исследовать собственные функции уравнения Шр¼дингера с определ¼нным орбитальным моментом l и его проекцией на ось z (m).

Получим нормировку функции P (r) (дискретный спектр)

 

 

1

 

2

 

 

Z

d3r (r) =

Z0

drP (r)P (r) Z0

d Z0

d' sin Ylm( ; ')Ylm( ; ')

(5.519)

 

 

1

 

 

 

 

 

=

Z0

drjP (r)j2 = 1 :

 

 

(5.520)

221

Заметим, что для сходимости этого интеграла необходимо, чтобы

rP (r)2 ! 0 ; ïðè r ! 0 :

Подставив это в уравнение Ур. (5.517) получим уравнение для функции альное уравнение Шр¼дингера

 

2r2

@r r2

@r

+

 

 

 

2r2

 

 

+ V (r) r P (r) = E r P (r) :

 

 

 

1

 

 

@

 

@

 

 

 

l(l + 1)

1

1

Давайте упростим его.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ 1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

P =

 

 

 

P +

 

P 0 ;

P 0 =

 

 

P ;

 

@r r2

@r

r

r2

r

@r

 

@r r P =

@r r2

r2 P + r P 0 =

 

@r ( P + rP 0) ;

@

 

@ 1

 

 

 

@

 

 

 

 

 

1

 

1

 

@

 

(5.521)

P (r) ðàäè-

(5.522)

(5.523)

(5.524)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2

 

 

 

 

 

= P 0

+ P 0

+ rP 00 = rP 00 ;

P 00 =

 

P :

 

 

 

@r2

 

1

 

00(r) +

l(l + 1) 1

 

 

1

1

 

 

 

rP

 

 

 

 

 

 

 

P (r) + V (r)

 

P (r) = E

 

P (r) ;

2r2

2r2

 

 

r

r

r

 

 

 

1

P 00

 

 

 

 

 

l(l + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r) +

 

 

 

P (r) + V (r)P (r) = EP (r) ;

 

 

2

 

2r2

 

 

 

 

1 @2

 

 

 

l l + 1)

+ V (r) P (r) = EP (r) :

 

 

 

 

 

 

 

+

 

(

 

 

 

 

 

2

@r2

2r2

(5.525)

(5.526)

(5.527)

(5.528)

Если мы введ¼м оператор импульса, отвечающий переменной r (см. Ур. (3.402))

p^r = i~

@

; ~ = 1 ;

(5.529)

@r

радиальное уравнение Шр¼дингера запишется как

 

 

p^2

 

 

 

 

l(l + 1)

+ V (r) P (r)

 

 

 

 

r

 

+

 

 

 

=

EP (r) ;

(5.530)

 

2

 

2r2

 

p^2

+

~

2l(l + 1)

+ V (r) P (r)

=

EP (r) :

(5.531)

2me

 

2mer2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это надо сравнить со следующим уравнением классической механики (закон сохранения энергии)

pr2

 

L2

 

 

+

 

+ V (r) = E ; pr = mer ; L = [r p] :

(5.532)

2me

2mer2

222

5.10.1Асимптотика при r ! 0

Рассмотрим вид радиального уравнения Шр¼дингера Ур. (5.528) при r ! 0. Ограничимся случаем, когда потенциал rV (r) ! const, при r ! 0. Кулоновский потенциал (V =e2Z=r) удовлетворяет этому условию. Найд¼м степенную зависимость функции P (r) в нуле. Подставим функцию P (r) в виде

 

 

 

 

P (r) =

crk ;

c 6= 0 :

(5.533)

в Ур. (5.528) и устремим r к нулю

 

 

Ecrk r k+2 ;

r ! 0 : (5.534)

2ck(k 1)rk 2

+

(

2r2 crk

+ V crk =

1

 

 

l

l + 1)

 

 

 

 

Получаем уравнение на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k(k 1) + l(l + 1)

= 0 :

(5.535)

Мы имеем два возможных значения k:

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

= l + 1 ;

 

(5.536)

 

 

 

 

k

 

= l :

 

(5.537)

Заметим, что значение k = l отвечает нефизичным решениям радиального уравнения Шр¼дингера. Действительно, рассмотрим возможные значения l

1. При l 1 функция P (r) в нуле вед¼т себя как

P (r) =

c

:

(5.538)

rl

В этом случе условие нормировки Ур. (5.521) не выполнено.

2.При l = 0 функция P (r) в нуле есть константа

 

 

 

 

P (r) = c :

 

 

 

 

(5.539)

Тогда функция (r) вед¼т себя как

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

(r) =

 

cY00

( ; ') ;

r ! 0 ;

Y00( ; ') =

p

 

:

(5.540)

r

4

В виду уравнения Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= 4 (r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.541)

 

 

 

r

 

 

 

 

функция (r) не будет собственной функцией уравнения Шр¼дингера, если потенциал V не содержит дельта-функции.

223

Таким образом, мы получаем

P (r) = crl+1 ;

r ! 0 :

(5.542)

Соответственно,

 

 

(r) = c0rl ;

r ! 0 :

(5.543)

Надо обратить внимание на то, что при r ! 0 функция

(r) при l = 0 не равна нулю,

àпри l 1 функция (r) стремится к нулю. Прич¼м, чем больше l, тем быстрее функция (r) стремится к нулю при r ! 0.

5.10.2Асимптотика при r ! 1

Рассмотрим асимптотику радиального уравнения Шр¼дингера (5.528) при r ! 1

 

1

 

@2

+

l(l + 1)

+ V (r) P (r) = EP (r) :

(5.544)

2

 

@r2

 

2r2

 

Рассмотрим случай короткодействующих потенциалов rV ! 0 при r ! 1. Кулоновский потенциал (V = e2Z=r) не удовлетворяет этому условию, он дальнодействующий по-

тенциал. В этом случаем мы можем пренебречь центробежным членом и потенциалом

V

 

1

@2

P (r) = EP (r) ; r ! 1 :

(5.545)

2

 

@r2

Рассмотрим сначала дискретный спектр (E < 0)

P (r)

=

c1er

+ c2e r ;

(5.546)

{

 

p

 

 

 

(5.547)

=

2E :

 

 

Нас интересуют только физичные решения, которые нормируются на единицу (или на дельта-функцию, как в случае непрерывного спектра), поэтому мы клад¼м c1 = 0. Полу- чаем, что для дискретного спектра асимптотика функции P (r) имеет вид

P (r) = c2e r :

(5.548)

Спектр радиального уравнения Шр¼дингера (5.544) невырожденный: каждому уровню энергии E при фиксированном l отвечает одна функция P (r).

Рассмотрим теперь непрерывный спектр (E > 0)

P (r)

=

c1eipr + c2e ipr ;

(5.549)

 

 

p

 

:

 

p

=

2E

(5.550)

224

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности