- •Введение
- •Список литературы
- •Экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической механики
- •Опыты, демонстрирующие волновые свойства электрона
- •Гипотиза де Бройля (Louis de Broglie). 1924
- •Опыт Дж. П. Томсона (George Paget Thomson). 1927
- •Опыт Л. Бибермана, Н. Сушкина и В. Фабриканта. 1949
- •Математический аппарат квантовой механики
- •Гильбертово пространство
- •Примеры гильбертова пространства.
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Примеры операторов
- •Соотношения между операторами
- •Свойства операторов
- •Дельта-функция
- •Общая процедура построения дельтообразных последовательностей
- •Собственные функции операторов с непрерывным спектром
- •Собственные функции оператора импульса
- •Собственные функции оператора координаты
- •Унитарные операторы
- •Оператор координаты и импульса в импульсном представлении
- •Функция от оператора
- •Две теоремы о коммутирующих операторах
- •Основы квантовой механики
- •Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины.
- •Волновая функция
- •Определение 1.
- •Волновая функция. Определение 2.
- •Измеримость физической величины
- •Редукция волнового пакета
- •Оператор импульса
- •Квантовые скобки Пуассона
- •Оператор эволюции
- •Стационарные состояния
- •Уравнение неразрывности
- •Примеры гамильтонианов
- •Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg)
- •Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга
- •Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest)
- •Минимизирующий волновой пакет
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы.
- •Матричное представление операторов
- •Простейшие модели
- •Одномерное движение
- •Качественный анализ спектра гамильтониана.
- •Прямоугольная потенциальная яма
- •Прямоугольный потенциальный барьер
- •Гармонический осциллятор
- •Когерентные состояния гармонического осциллятора
- •Дижение в центральном поле
- •Оператор орбитального момента
- •Операторы сдвига и поворота
- •Инверсия
- •Оператор орбитального момента в сферических координатах
- •Оператор момента
- •Шаровые спиноры (spinor spherical harmonics)
- •Шаровые векторы (vector spherical harmonics)
- •Движение в центральном поле
- •Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр
- •1s-электрон
- •Свободная частица как частица в центральном поле
- •Уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака для свободной частицы
- •Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного электрона
- •Полный угловой момент электрона
- •Зарядовое сопряжение
- •Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули.
- •Уравнение неразрывности для уравнения Дирака
- •Радиальное уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр
- •Стационарная теория возмущений
- •Квазивырожденная стационарная теория возмущений
- •Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней
- •Эффект Зеемана. Бесспиновая частица
- •Аномальный эффект Зеемана
- •Эффект Штарка
- •Квадратичный эффект Штарка
- •Линейный эффект Штарка
- •Теория нестационарных возмущений
- •Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения
- •Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени
- •Движение в магнитном поле
- •Спин в магнитном поле
- •Движение в однородном магнитном поле
- •Фаза Берри
- •Плотность потока вероятности и векторный потенциал
- •Теория рассеяния
- •Рассеяние микрочастиц
- •Формула Борна
- •Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале (потенциале Юкавы)
- •Рассеяние заряженных частиц атомами
- •Метод парциальных волн
- •Эффект Рамзауера
- •Квантовая задача многих тел
- •Система тождественных частиц. Принцип Паули.
- •Одночастичное приближение
- •Матрица плотности
- •Матрица плотности
- •Свойства матрицы плотности. Статистический оператор
- •Квантовое уравнение Лиувилля
- •Матрица плотности подсистемы
- •Введение в теорию молекул
- •Система двух электронов
- •Молекула водорода. Ковалентная связь
- •Уравнение Хартри-Фока
- •Детерминант Слэтера
- •Вариационный принцип
где M M, последний множитель есть 3j-символ
j1 j2 |
j3 |
= m1+m2; m3 ( 1)j1 j2 m3 |
|
|
||
m1 m2 m3 |
|
|
||||
|
(j1 + j2 j3)!(j1 j2 + j3)!( j1 + j2 + j3)! |
1=2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(j1 + j2 + j3 + 1)! |
|
|||
[(j1 + m1)!(j1 m1)!(j2 + m2)!(j2 m2)!(j3 + m3)!(j3 m3)!]1=2 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
Xf( 1)z[z!(j1 + j2 j3 z)!(j1 m1 z)! |
|
|||||
z=0 |
|
|
|
|
||
(j2 |
+ m2 z)!(j3 j2 + m1 + z)!(j3 j1 m2 + z)!] 1 : |
(5.476) |
||||
Выражение (5.476) приводится без доказательства.
5.9.1Шаровые спиноры (spinor spherical harmonics)
Рассмотрим сферические функции
l^2Ylml ( ; ') = |
|
l(l + 1)Ylml ( ; ') ; |
|
(5.477) |
|||||||
^ |
|
|
|
|
|
mlYlml ( ; ') |
|
|
|
|
(5.478) |
lzYlml ( ; ') = |
|
|
|
|
|
||||||
и спиноры |
|
0 |
|
2 = |
1 |
|
|
||||
2 |
= |
; |
; |
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
(5.479) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s^2 ms |
= |
|
3 |
ms ; |
|
|
|
|
|
|
(5.480) |
4 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s^z ms |
= |
ms ms ; |
ms = |
|
: |
|
(5.481) |
||||
2 |
|
||||||||||
Рассмотрим прямое произведение подпространств fYl;ml этом большом подпространстве оператор полного момента
^ |
^ |
j |
= l + s^: |
Шаровые спиноры определяются как
( ; ')g è f ms g. Определим в
(5.482)
l
X X
jlm( ; ') = |
Cjm |
1 |
Yl;ml ( ; ') ms : |
(5.483) |
|
lml; |
2 |
ms |
|
ml= l ms= 12
218
Шаровые спиноры являются собственными функциями для следующих операторов
^2
j jlm( ;
^
jz jlm( ; l^2 jlm( ;
s^2 jlm( ;
') |
= |
j(j + 1) jlm( ; ') ; |
||
') |
= |
m jlm( ; ') ; |
||
') |
= |
l(l + 1) jlm( ; ') ; |
||
') |
= |
3 |
jlm( ; ') : |
|
|
|
|||
|
4 |
|||
h jlmj j0l0m0i |
mlmXs l0 |
jm |
j0m0 |
s0 |
|
||
= |
Clml; 21 ms Cl0ml0; 21 ms0 |
||
m m
ZZ 2
d d' sin Yl;ml ( ; ')Yl0;m0l ( ; ')h ms j m0s i
0
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Cjm 1 |
|
Cj0m0 1 |
|
ll0 mlm0 msm0 |
|||
mlmXs l0 |
s0 |
|
ms |
l0m0; |
|
ms0 |
l |
s |
|
lml; |
2 |
2 |
|||||
m m |
|
|
l |
|
|
|
||
Xl s |
jm |
|
|
j0m0 |
|
|
|
|
= ll0 |
Clml; 21 ms Clml; 21 ms |
|
|
|||||
m m
= jj0 mm0 ll0 :
(5.484)
(5.485)
(5.486)
(5.487)
(5.488)
(5.489)
(5.490)
(5.491)
(5.492)
Шаровые спиноры используются для построения релятивистских волновых функций электронов с определ¼нными j, l (ч¼тностью ( 1)l) è m.
5.9.2Шаровые векторы (vector spherical harmonics)
Рассмотрим сферические функции
l^2Ylml ( ; ') |
= |
l(l + 1)Ylml ( ; ') ; |
(5.493) |
|
^ |
( ; ') |
= |
mlYlml ( ; ') |
(5.494) |
lzYlml |
||||
и циклический базис векторов (см. Ур. (5.189)-(5.191) и Ур. (5.304), (5.305))
u1 |
= |
p |
|
( |
ex |
|
iey) = p |
0 |
i |
1 |
; |
(5.495) |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
@ |
1 |
A |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
= |
ez |
= |
0 |
; |
|
|
|
|
|
(5.496) |
||||
|
|
|
|
|
|
@ |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
u 1 = p |
|
(ex iey) = p |
|
|
2 |
2 |
|||
0 1
1
@ i A : (5.497)
0
219