5.3Оператор момента

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 6730 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

^2	è ^
где l, m целые числа. Спектры операторов l	lz чисто дискретные. Величину l или ~l

называют орбитальным моментом (это скаляр), каждое значение l оказывается (2l + 1)- кратно вырожденным. Величину m или ~m называют проекцией орбитального момента на ось z или магнитным квантовым числом.

Ч¼тность функций Ylm( ; ') определяется величиной l (см. Ур. (5.116)).

Угловую зависимость произвольную функции (r) можно представить в виде разложения по полному набору сферических функций

1	l
X X
(r) =	clm(r)Ylm( ; ') :	(5.119)

l=0 m= l

Замечание: размерной физической величине орбитальному моменту отвечает оператор ~l^. Соответственно, когда мы говорим, что орбитальный момент равен l, мы имеем

â âèäó l~.

= 1(r) = p

09.11.2021

Оператор ^

j называют оператором момента или моментом, если он имеет три компо-

ненты

^	0	^j1	1
j	= @	^j2	A ;
		^
		j3

каждая из которых является ненулевым эрмитовским оператором

^+	^	i = 1; 2; 3 ;
ji	= ji ;	i = 1; 2; 3 ;
и для них выполнены соотношения
	3
	Xk
^ ^	^	i; j; k = 1; 2; 3 :	(5.120)
[ji; jj] = i	ijkjk ;	i; j; k = 1; 2; 3 :
	=1

Равенства Ур. (5.120) можно записать в векторной форме

^	^	^	(5.121)
[j	j] =	i j :	(5.121)

Отметим, что, согласно Ур. (5.18), оператор орбитального момента l^является оператором момента.

187

Введ¼м оператор квадрата момента

^2	^2	^2	^2	:	(5.122)
j	= j1	+ j2	+ j3	:

Рассмотрим коммутатор

^2	^	^2	^	^ ^ ^ ^ ^ ^	^ ^ ^	^ ^ ^
[j	; ji] =	[jj	; ji] =	(jjjjji jjjijj + jjjijj jijjjj)
	j			j
	X			X
	=	^	^ ^	^ ^ ^	^ ^	^ ^	(5.123)
	=	(jj	[jj; ji] + [jjji]jj) = i		jik(jjjk + jkjj) = 0 :
	j			jk

Из Ур. (5.123) следует, что квадрат момента может быть измерен одновременно с любой проекцией момента.

Введ¼м повышающий (^ ^

j+) и понижающий (j ) операторы

^	=	^	^	;	(5.124)
j+	=	j1	+ i j2	;
^	=	^	^	:	(5.125)
j	=	j1	i j2	:

Рассмотрим коммутаторы

^	^	^	^	^	^	^	^
[j3	; j+] = [j3		; j1	] + i [j3	; j2	] = i j2	+ j1
^	^	^	^	^	^	^	^
[j3	; j ] = [j3		; j1	] i [j3	; j2	] = i j2	j1
^	^	^
[j3	; j ] =	j :

^	(5.126)
= j+ ;
^	(5.127)
= j ;	(5.128)

и выражения

j+j

j j+

^			^ ^	^	^2		^2		^ ^
= (j1		+ i j2)(j1 i j2) = j1				+ j2		+ i j2j1
^2		^2	^ ^	^2		^2		^	;
= j1	+ j2		i [j1; j2	] = j	j3		+ j3		;
^			^ ^	^	^2		^2		^ ^
= (j1		i j2)(j1 + i j2) = j1				+ j2		i j2j1
^2		^2	^ ^	^2		^2		^	:
= j1	+ j2		+ i [j1; j2	] = j	j3		j3		:

^ ^ ij1j2

^ ^

+ ij1j2

(5.129)

(5.130)

(5.131)

(5.132)

Исследуем спектр оператора момента. Введ¼м собственные функции операторов ^2 è
^					j
^
j3
	^2	j i	= j i		(5.133)
	j	j i	= j i
	^				(5.134)
	j3j i = j i :
Действия понижающего и повышающего оператора на собственный вектор					j i можно
представить в виде
^ ^	^ ^		^	^	(5.135)
j3j+j i	= j+j3j i		+ j+j i	= ( + 1)j+j i ;
^ ^	^ ^		^	^	(5.136)
j3j j i	= j j3j i j j i			= ( 1)j j i ;
^ ^		^			(5.137)
j3j j i	= ( 1)j j i :

188

Таким образом, если ^

, тогда ^

является собственным вектором оператора ^

j j i 6= 0

j j i

Операторы ^ ^ ^

( 1), соответственно.

^2 (см. Ур. (5.123)) , следователь-

собственным значением

lx, ly, lz, j коммутируют с оператором j

но, эти операторы не меняют собственное число

. В частности, ненулевой вектор ^

является собственным вектором для оператора ^2

с собственным значением

j j i

^2 ^

^ ^2

(5.138)

j j j i

= j j

j i = j j i :

Рассмотрим вектора

j; i

, которые являются одновременно собственными векторами

для операторов ^2

è ^

j3.

j; i = j; i

(5.139)

(5.140)

j3j; i = j; i

Будем везде предполагать, что

h; j; i

1 :

(5.141)

Рассмотрим оператор

(5.142)

= j1 + j2

Это положительно определ¼нный оператор, следовательно,

0 ;

8; :

(5.143)

h; jj1

+ j2 j; i = h; jj

j3 j; i =

Это устанавливает ограничение на возможные значения при фиксированном

2 :

(5.144)

Пусть для фиксированного минимальное и максимальное значения есть 1 è 2, соответственно. Тогда

^ ^	^2	^2	^	2	+ 1 ;	(5.145)
0 = h; 1jj+j j; 1i =	h; 1j(j	j3	+ j3)j; 1i =	1	+ 1 ;
^ ^	^2	^2	^	2	2 :	(5.146)
0 = h; 2jj j+j; 2i =	h; 2j(j	j3	j3)j; 2i =	2	2 :
Возьм¼м разность Ур. (5.145) и Ур. (5.146)
0 = 22 12 + 2 + 1 =		( 2 + 1)( 2 1 + 1) :				(5.147)
Òàê êàê 2 1, òî
2 1 + 1	1 ;	2 + 1 = 0 :				(5.148)

189

Обозначим максимальное и минимальное собственное значение оператора ^

j3 ïðè ôèê-

сированном как

2 = j ;

1 = j :

(5.149)

Тогда, согласно Ур. (5.145) или Ур. (5.146), собственное значение оператора

^2 равняется

j(j + 1) :

(5.150)

Рассмотрим многократное действие операторов ^ на вектор

j ; i

. Подействуем по-

вышающим оператором (^ )

раз, так чтобы

^k+1

= 0 :

(5.151)

j+j ; i = Cj ; m2i 6= 0 ; m2

= + k ; j+

j ; i = Cj+j ; m2i

Следующий матричный элемент должен равняться нулю

^ ^

(5.152)

0 = h ; m2jj j+j ; m2i = h ; m2j(j

j3)j ; m2i = j(j + 1) m2

m2 :

Из Ур. (5.152) следует два возможных значения m2:

m2 = j ;

(5.153)

j 1 :

(5.154)

Значение m2 = j 1 противоречит Ур. (5.149) и должно быть отброшено.

Подействуем понижающим оператором (^

)

раз, так чтобы

^l+1

= 0

(5.155)

j j ; i = Cj ; m1i 6= 0 ; m1

= l ; j

j ; i = Cj j ; m1i

Следующий матричный элемент должен равняться нулю

^ ^

0 = h ; m1jj+j j ; m1i = h ; m1j(j

+ j3)j ; m1i = j(j + 1) m1 + m1(5.156)

Из Ур. (5.156) следует два возможных значения m1:

m1 = j

(5.157)

= j + 1

(5.158)

Значение m1 = j + 1 противоречит Ур. (5.149) и должно быть отброшено.

Рассмотрим разность возможных значений m2 è m1

m2 m1

= k + l = 2j :

(5.159)

Таким образом j и целые или полуцелые числа. Положим = j(j + 1), = m, тогда Ур. (5.139), (5.140) примут вид

j ; i		=	jj(j + 1); mi ! jjmi	(5.160)
^2	jjmi	= j(j + 1)jjmi		(5.161)
j
^		=	mjjmi ; m = j; j + 1; : : : ; j 1; j :	(5.162)
j3jjmi

190

Собственные значения оператора ^2

-кратно вырождены, где

= 2j + 1 :

(5.163)

Рассмотрим матричный элемент

^ ^

^ ^^

(5.164)

hj; mjj j+jj; mi = hj; mjj Ej+jj; mi

X X

0 ^

(5.165)

hj; mjj jj

; m ihj

; m jj+jj; mi

j0 m0= j0

(5.166)

hj; mjj jj; m

ihj; m jj+jj; mi

m0= j

(5.167)

= hj; mjj jj; m + 1ihj; m + 1jj+jj; mi

(5.168)

= jhj; m + 1jj+jj; mij

= jhj; mjj jj; m + 1ij

m :

(5.169)

= hj; mj(j

j3)jj; mi = j(j + 1) m

Это определяет действие операторов ^

на функцию

jj; mi

. Выбор фазового множителя

не определ¼н, однако обычно его фиксируют, накладывая соответствующие условия на функции jj; mi ( [2]: Варшалович 5.1 (2), стр. 115)

j; m

j(j + 1)

+ m

j; m

1 ;

(5.171)

m jj; m + 1i ;

(5.170)

j+jj; mi =

j(j + 1) m

^j jj; mi

jj; m

1i :

j(j + 1)

(5.172)

Соответственно, ненулевые

^ ^

матричные элементы операторов

j+, j , j3 имеют вид

hj; m

1j^j

jj; mi

j(j + 1)

+ m

;

(5.174)

j(j + 1) m

m ;

(5.173)

j; m + 1 j+ j; m =

j; m j3

j; m

j j

(5.175)

m ;

jj; mi

j(j + 1) :

(5.176)

hj; mjj

5.4Орбитальный момент l = 1

Y		( ; ') =	3	sin ei' =	3	( x iy)	;	(5.177)
	1;1		8		8 r

Y1;0( ; ') =	3	cos =	3 z	;	(5.178)

	4		4 r

Y		( ; ') =	3	sin e i'	=	3	(x iy)	;	(5.179)
	1; 1		8			8 r

191

m = 0; 1 ;

(5.180)

hY1;m+1jl+jY1;mi = 2 ;

m = 0; 1 ;

(5.181)

hY1;m 1jl jY1;mi = 2 ;

= m ;

m = 0; 1

(5.182)

hY1;mjlzjY1;mi

hY1;mjl^2jY1;m0i

= 2 m;m0

;

m = 0; 1 :

(5.183)

Y1; 1( ; ') Y1;1( ; ')

(5.184)

2 r ;

3 x

Y1; 1( ; ') + Y1;1( ; ')

(5.185)

2 r :

3 iy

r(Y1; 1( ; ') Y1;1( ; ')) ;

(5.186)

(5.187)

r(Y1; 1( ; ') + Y1;1( ; ')) ;

rY1;0( ; ') :

(5.188)

Введ¼м циклические ковариантные орты

u1	=	p		(	ex		iey) = p		0	i	1	;	(5.189)
		1						1	@	1	A

			2				1	2		0
u0	=	ez =			0	0	1	;					(5.190)
					@	0	A
					@	1	A

u 1 = p (ex				iey) =			p	0	i	1	:	(5.191)
1							1	@	1	A
1							1

	2						2		0
	(u ; u 0)					=	; 0 :					(5.192)
				1
ex		=	p			(u 1	u1) ;					(5.193)
ex		=	p		2	(u 1	u1) ;					(5.193)
ey		=	pi			(u 1 + u1) ;						(5.194)
ey		=	pi		2	(u 1 + u1) ;						(5.194)
ez		= u0 :										(5.195)

192

r = rxex + ryey + rzez = r 1u1 + r0u0 r1u 1 = ( 1) r u ; (5.196)

= 1

ãäå r 1, r0, r1 ковариантные циклические координаты.

r = rx p

(u 1 u1) + ry p

(u 1 + u1) + rzu0

= p

( rx iry)u 1 + rzu0 p

(rx iry)u1

r1 =

p2( rx iry) = rr

Y1;1( ; ') ;

r0 = rz = rr

Y1;0( ; ') ;

r 1 =

p2(rx iry) = rr

Y1; 1( ; ') :

= rr

Y1; ( ; ') ;

r =

= 1( 1) r u = rr43

= 1( 1) Y1; ( ; ')u :

(5.197)

(5.198)

(5.199)

(5.200)

(5.201)

(5.202)

(5.203)

				^2	è ^
Заметим, что r являются собственными функциями операторов l					lz
l^2r	=	1(1 + 1)r = 2r ;		= 1; 0 ;	(5.204)
^	=	r ;	= 1; 0 ;		(5.205)
lzr	=	r ;	= 1; 0 ;		(5.205)

в то время как ri (i = 1; 2; 3 = x; y; z) не являются собственными функциями оператора

l^2ri = 2ri :

(5.206)

1	l
X X
(r) =	clm(r)Ylm( ; ') :	(5.207)

l=0 m= l

193

Функцию с орбитальным моментом l = 1 можно представить в виде

1		3
X		X
l=1(r) =	c1m(r)Y1m( ; ') =	di(r)ri :	(5.208)
m= 1		i=1

В общем случае скалярная функция с орбитальным моментом l = 1 можно представить в виде

l=1(r) =	a(r)rx + b(r)ry + c(r)rz ;		(5.209)
l^2 l=1(r) = 2 l=1(r) ;			(5.210)
где a(r), b(r), c(r) функции от r.
Замечание: утверждение, что любая квадратичная форма
		3
		X
(r)	=	aijrirj	(5.211)
		i;j=1
имеет момент l = 2 неверно. Действительно, квадратичная форма
(r) =	rx2 + ry2 + rz2 = r2		(5.212)

не зависит от угловых переменных и, соответствено, имеет нулевой орбитальный момент (l^2 (r) = 0).

Замечание: размерной физической величине орбитальному моменту отвечает оператор ~l^. Соответственно, когда мы говорим, что орбитальный момент равен l = 1, мы

имеем в виду l = 1 ~.

5.5 Вектора. Спин s = 1

13.11.2021

Выше (см. Ур. (5.51)) мы сказали, что при повороте вектора r (аргумента функции (r)) на угол волновая функция меняется согласно

0	^	(r) = e	il	(r) ;	(5.213)
(r	) = R	(r) = e		(r) ;

ãäå r0 это вектор r, пов¼рнутый на угол . Мы показали это для случая поворота на бесконечно малый угол . Для поворота на конечный угол мы приняли это без

доказательства.

Убедимся, что равенство (5.213) имеет место для поворота на конечный угол вокруг оси z

= ez

(5.214)

194

для функции с орбитальным моментом l = 1.

Ещ¼ мы будем рассматривать не поворот аргумента функции (вектора r) на угол ,

а поворот системы координат на этот угол. То есть, рассмотрим как будет выглядеть функция (r) в системе координат, пов¼рнутой на угол ,

(r0) = R^0	(r) = R^		(r) ;				(5.215)
ãäå r0 координаты вектора r в пов¼рнутой системе координат
r = rxex + ryey + rzez	= r0	e( ) + r0		e( ) + r0		e( ) :	(5.216)
	x	x	y	y	z	z

Эти два преобразования соотносятся как прямое и обратное преобразование.

Итак, рассмотрим переход к системе координат, повернутой относительно оси z на угол :

(r0) = R^0	^	^
(r0) = R^0	(r) = e il	(r) = e i lz	(r) :	(5.217)

Функция, имеющая орбитальный момент l = 1, может быть представлена в виде (5.209)

l=1(r) = a(r)rx + b(r)ry + c(r)rz :

(5.218)

Оператор орбитального момента не действует на радиальные переменные. Используя Ур. (5.186)-(5.188) и Ур. (5.177)-(5.179), мы можем записать

rx0 = e i ^lz rx =	e i ^lz r				(5.219)
				23 r(Y1; 1( ; ') Y1;1( ; '))

=	r		r(ei Y1; 1( ; ') e i Y1;1( ; '))		(5.220)
		23

=	2	3		(ei (rx iry) e i ( rx iry))	(5.221)

	3		8

ry0	^
	= e i lz ry

=	1		(rx(ei + e i ) iry(ei e i ))			(5.222)

		2
= rx cos + ry sin :						(5.223)
=	e i ^lz ir					(5.224)
					23 r(Y1; 1( ; ') + Y1;1( ; '))

=	ir					(5.225)
				23 r(ei Y1; 1( ; ') + e i Y1;1( ; '))

			2 3
=	i				(ei (rx iry) + e i ( rx iry))	(5.226)
			3	8
=	1	(rxi(ei e i ) + ry(ei + e i ))				(5.227)

	2
= rx sin + ry cos :						(5.228)

195

Теперь, исходя из наших представлениях о том, как меняются координаты вектора при переходе к пов¼рнутой системе координат, посмотрим, что мы хотели бы получить

		Ðèñ. 5.2:
ex	=	cos ex( ) sin ey( ) ;
ey	=	sin ex( ) + cos ey( ) ;

r= rxex + ryey

=rx(cos e(x ) sin e(y )) + ry(sin e(x ) + cos e(y ))

=(rx cos + ry sin )e(x ) + ( rx sin + ry cos )e(y )

^	^
= e i lz rxe( ) + e i lz rye( ) :
x	y

(5.229)

(5.230)

(5.231)

(5.232)

(5.233)

(5.234)

Действительно, получается, что Ур. (5.213) описывает именно хорошо нам знакомые преобразования вектора при переходе к пов¼рнутой системе координат.

Опять, без доказательства, примем, что это справедливо при повороте вокруг произвольной оси

r = e il^rxe( ) + e il^rye( ) + e il^rze( ) :			(5.235)
x	y	z

Рассмотрим, как это преобразование выглядит в циклических координатах. Представим вектор r в циклических координатах. Используя Ур. (5.205), для = ez мы можем

196

записать

r = r 1u1 + r0u0

^ ( )

= e i lz r 1u1

= ei r 1u(1 ) +

и, соответственно,

r1u 1				(5.236)
^	( )	^	( )
+ e i lz r0u0		e i lz r1u 1		(5.237)
r0u0( ) e i r1u( 1)				(5.238)

r = e il^r 1u1( ) + e il^r0u0( ) e il^r1u( 1) :

(5.239)

Обычно мы называем вектором следующий объект. Это три числа, привязанные к декартовой системе координат

0 rx	1
r = @ ry	A = rxex + ryey + rzez ;	(5.240)
rz

которые при переходе к пов¼рнутой системе координат преобразуются по известному закону. Для случая вращения вокруг оси z он определяется Ур. (5.229)-(5.233).

Также вводится понятие вектора в циклическом базисе

2 3

r 1

r = 4 r0	5 = r 1u1 + r0u0 r1u 1 ;	(5.241)
r1

где закон преобразования зада¼тся Ур. (5.238).

Введ¼м новое понятие вектора. Вектором будем называть объект из тр¼х элементов абстрактного Гильбертова пространства

( )	;	= 1; 0 ;			(5.242)
	2	(1)	3
	= 4	(0)	5	;	(5.243)
	= 4	( 1)	5

которые при повороте на угол относительно заданной декартовой системы координат преобразуются по закону

0 = e is^ :

(5.244)

Угол привязан к этой декартовой системе координат. Оператор s^ действует в тр¼хмерном пространстве ( ) ( = 1; 0) и определяется матричными элементами (см.

197

Óð. (5.173)-(5.176) äëÿ j = 1, m = )
h + 1js^+j i		p			= 0; 1 ;
	=	p	2	;		(5.245)
	=	p	2
		p				(5.246)
h 1js^ j i = 2 ;					= 1; 0 ;
h js^3j i	=	;			= 1; 0 ;	(5.247)
h js^2j i	=	2 ;			= 1; 0 ;	(5.248)

все остальные матричные элементы равны нулю. Операторы s^x, s^y, s^z è s^2 определяются следующими равенствами

s^+		=	s^x + is^y ;			(5.249)
s^		=	s^x is^y ;			(5.250)
s^z		=	s^3 ;			(5.251)
s^2		=	s^2	+ s^2	+ s^2 :	(5.252)
			x	y	z
Действие операторов s^i представляется в матричной форме
		X
s^i ( )	=			( 0)h 0js^ij i :		(5.253)
		0= 1;0
Тогда мы можем записать
0( )	=	R^0	( ) = e is^ ( ) :			(5.254)

Рассмотрим частный случай

( )

r r = r

(5.255)

43 Y1; ( ; ')

s^z

( )

( 0)

s^z

= ( )

(5.256)

( 0) ; 0

0= 1;0

( 0)h 0js^+j i

(5.257)

s^+

( )

0= 1;0

= 0; 1

(5.258)

= ( + 1)h + 1js^+j i = 2 ( + 1) ;

s^+

(1) = 0

(5.259)

( 0)h 0js^ j i

(5.260)

( )

0= 1;0

= 1; 0

(5.261)

s^ ( 1)

= ( 1)h 1js^ j i = 2 ( 1) ;

= 0 :

(5.262)

198

Такие же выражения получаются при действии оператора ^ ^ ^

lz, l+, l íà r (ñì. Óð. (5.170),

(5.171) ïðè l = 1, m = è Óð. (5.205)).

Таким образом, мы получаем, что в случае Ур. (5.255) мы имеем привычный нам вектор, заданный в циклических координатах. При переходе к пов¼рнутой системе координат компоненты функции ( ( ), = 1; 0) преобразуются так же, как циклические

компоненты вектора r .

Оператор (см. Ур. (5.245)-(5.248))

s^ = s^xex + s^yey + s^zez

(5.263)

называют оператором спинового момента, отвечающего спину s = 1

s^2 ( ) = s(s + 1) ( ) = 2 ( ) :

(5.264)

Оператор s^, как и оператор l^, безразмерный. Размерному спину отвечает оператор ~s^. Волновая функция частицы со спином s = 1 в координатном представлении имеет

âèä

2 3

(r; 1)

= (r; ) = 4 (r; 0) 5 : (5.265) (r; 1)

В пов¼рнутой системе координат эта функция преобразуется как

R^0	(r; ) = e i (l^+s^) (r; ) :	(5.266)

Нормировка волновой функции со спином s = 1

h j i = d3r j (r; 1)j2 + j (r; 0)j2 + j (r; 1)j2 : (5.267)

Скалярное произведение имеет вид

h j 0i = d3r (r; ) 0(r; ) (5.268)

= 1;0

=d3r [ (r; 1) 0(r; 1) + (r; 0) 0(r; 0) + (r; 1) 0(r; 1)] : (5.269)

Пример частицы со спином s = 1 (строго говоря, со спином s = 1 ~) фотоны [волновая функция поперечных фотонов имеет вид A (r) = (0; A(r))].

199

5.6Явный вид оператора спина (s = 1)

Рассмотрим как выглядят матрицы оператора спина в явном виде, в базисе j i. Введ¼м матрицы 3 3

a^ =	2	a01	a00	a0 1	3	:	(5.270)
		a11	a10	a1 1	5
	4 a 11 a 10 a 1 1				5

Матрицы, отвечающие операторам s^ и s^z в базисе j i записываются как (см. Ур. (5.245)- (5.248) и (5.249)-(5.252))

s^+	=	2	0		p2	3	;	s^ =	2 p2		0		0	3	;	s^z =	2	0	0	0	3
				0																		(5.271)
			0	p2	0					0	0		0					1	0	0
		4 0				5			4		p		0 5				4 0		0	1 5
				0	0					0		2

и, соответственно,

									2						p						3
									2			0			2				0		3
s^	=		1	(^s	+ s^ ) =				1		p							p					;
			1						1				2		0																			(5.272)
													2		0																			(5.272)
x		2 +							2 4						p		02				5
		2 +							2 4			0			p	2	02				5
s^y	=		2i(^s+				s^ ) = 2i				2			p2								p2		3	= 2		2 ip2			0		ip2	3
s^y	=		2i(^s+				s^ ) = 2i				2			p2					0			p2		3	= 2		2 ip2			0		ip2	3	(5.273)
		1							1			0						p2					0			1		0		ip2		0
											4													5			4						5
												0						p			0								ip			0

																				2								0			2
è									s^x2 + s^y2 + s^z2												2					3
									s^x2 + s^y2 + s^z2									=			2		0	2	0	3	:							(5.274)
																					4		2	0	0	5
																					4		0	0	2	5
Волновые функции								(r), описывающие частицу со спином s																					= 1 и определ¼нной
проекцией спина на ось z в базисе j i, имеют вид
								s^z		(r)		=						(r) ;							= 1; 0 ;									(5.275)
	1	(r) =				2		0	3		;			0(r) =					2		(0r)			3	;		1(r) =		2	0		3 ;		(5.276)
						4		(r)	5										4					5						0
						4		0	5										4			0		5					4 (r) 5

где (r) скалярная функция.

200

Получим, как выглядят операторы спинового момента (для s = 1) s^x;y;z		в базисе jii
(i = 1; 2; 3 = x; y; z)	X
hijs^kjji =
	hij i h js^kj 0i h 0jji :	(5.277)

; 0= 1;0

Обратив равенства (5.199)-(5.201) или используя равенства (5.186)-(5.188), мы можем записать

jxi

(j 1i j1i) ;

(5.278)

jyi

(j 1i + j1i) ;

(5.279)

jzi = j0i :

(5.280)

Соответственно, для ненулевых матричных элементов мы имеем

= hxj1i ;

h1jxi =

(5.281)

= hxj 1i ;

h 1jxi =

(5.282)

h1jyi =

= hyj1i ;

(5.283)

h 1jyi =

= hyj 1i

(5.284)

h0jzi = 1 :

(5.285)

Вычислим матричные элементы операторов спинового момента (для

s = 1) s^x;y;z,

кроме очевидно нулевых,

hxjs^xjzi =

hxj i h js^xj 0i h 0jzi

(5.286)

; 0= 1;0

= hxj1i h1js^xj0i h0jzi + hxj 1i h 1js^xj0i h0jzi


	1		1p		1		1p
								2 1 = 0 = hzjs^xjxi
=	p			2 1 + p
			2				2
		2				2
hyjs^xjzi =	X hyj i h js^xj 0i h 0jzi

; 0= 1;0

=hyj1i h1js^xj0i h0jzi + hyj 1i h 1js^xj0i h0jzi

2 1 = i = hzjs^xjyi ;

= p

2 1 + p

(5.287)

(5.288)

(5.289)

(5.290)

(5.291)

201

hxjs^yjzi = hxj i h js^yj 0i h 0jzi

; 0= 1;0

=hxj1i h1js^yj0i h0jzi + hxj 1i h 1js^yj0i h0jzi


	1		1	p	1		1 p

=	p			( i) 2 1 + p				i	2 1 = i = hzjs^yjxi
			2				2
		2				2
hyjs^yjzi =	X hyj i h js^xj 0i h 0jzi

; 0= 1;0

=hyj1i h1js^yj0i h0jzi + hyj 1i h 1js^yj0i h0jzi

1 p

= p

( i) 2 1 + p

i 2 1 = 0 = hzjs^yjyi ;

hxjs^zjyi =

X hxj i h js^zj 0i h 0jyi

; 0= 1;0

=hxj1i h1js^zj1i h1jyi + hxj 1i h 1js^zj 1i h 1jyi

= i = hyjs^zjxi :

= p

1 p

+ p

( 1)

axx

axy

axz

ayx

ayy

ayz

0 0 0 i

1 ;

@ azx

azy

azz

0 i

0 1

s^x =

s^y

= 0 0 0 0 1

;

s^z =

0 0

@ 0 i

@ i 0 0 A

@ 0 0 0 A

[s^; s^] = is^;

s^x2 + s^y2 + s^z2 =

0 0 2 0 1

Заметим, что

s^zu =

u ;

(5.292)

(5.293)

(5.294)

(5.295)

(5.296)

(5.297)

(5.298)

(5.299)

(5.300)

(5.301)

(5.302)

(5.303)

(5.304)

(5.305)

где вектора u циклические ковариантные орты, определяемые Ур. (5.189)-(5.191).

u1 =	p		0	i	1 ;	u0	=	0 0 1			;	u 1	= p
	1		@	1	A			@	0	A			1

		2		0					1				2

0 1

@ i A : (5.306)

202

= 1 будут перпендикулярны (поперечные)

Таким образом, волновые функции частицы со спином s = 1 и определ¼нной проек- цией спина на ось z ( = 1; 0) в базисе ex;y;z (Ур. (5.278)-(5.280)) имеют вид

(r) = p	0	i	1	(r) ;	(5.307)
1		1
1	@	A

2
2		0
		0

0 1

(r) = @ 0 A (r) ; (5.308)

где (r) скалярная функция.

Замечание: фотоны это частицы со спином s = 1. В поперечной калибровке фотоны описываются волновой функцией вида (5.307)-(5.309). Направим ось z по импульсу

фотона (p = k~ = (0; 0; !c~)), тогда функции

импульсу фотона, а =0 коллинеарна (продольная) ему. Проекция спина частицы на направление е¼ импульса называется спиральностью. Для поперечного фотона возможны две спиральности = 1 правая и левая круговая поляризации, соответственно.

Спиральность = 0 соответствует продольной поляризации фотона. С точностью до нормировки функция имеет вид (r; t) = ei(kr !t), е¼ вид определяется уравнениями

Максвелла. Это будут точные функции фотона с определ¼нной поляризацией в координатном представлении в поперечной калибровке.

Замечание: размерной физической величине спину отвечает оператор ~s^. Соответственно, когда мы говорим, что спин равен s = 1, мы имеем в виду s = 1 ~.

5.7 Спиноры. Матрицы Паули. Спин s = 12

16.11.2021

Пусть в гильбертовом пространстве определ¼н оператор момента со спектром, принимающим полуцелые значения. Рассмотрим двумерное подпространство, образованное

собственными функциями операторов ^2	è ^		:	jj; mi	, ãäå	j =	1	m =	1
j		jz		jj; mi		j =	2 ,	m =	2 .
Введ¼м долее короткие обозначения
jj; mi =		1							(5.310)
jj; mi =		2; m ! jmi :							(5.310)

203

Получим матричные элементы операторов ^

^j+ jmi =

4 m2 m

jm + 1i ;

^j jmi =

jm 1i :

4 m2 + m

^j+ +2

2 + 1 = 0 ;

4 4

^j+ 2

+ 2

2 + 1 =

;

1 =

0 :

Единственные ненулевые

матричные

элементы

операторов

^j+ è

^j+

= 1 ;

= 1 :

Введ¼м базисные вектора:

= 1

1 =

0 = +2 ;

Матричные элементы операторов

^j è ^jz будут иметь вид

i; j = 1 :

(j )ij

h ijj j ji ;

(jz)ij = h ijjzj ji ;

Введ¼м матрицы 2 2

a11

a1 1

a 11 a 1 1

Матрицы, отвечающие операторам ^

^j+ = 0 0 ;

j è jz записываются как

= 2 z

^j = 1 0

;

^jz

= 2

0 1

(5.311)

(5.312)

(5.313)

(5.314)

(5.315)

(5.316)

(5.317)

(5.318)

(5.319)

(5.320)

(5.321)

(5.322)

204

и, соответственно,

^		1		^		^					1	0	1		1										(5.323)

											2	1 0		=		2 x ;
jx =		2(j+ + j ) =									2	1 0		=		2 x ;				0		2
		2i									2i	1		0			2 i			0		2
^jy =			1		(^j+	^j	) =			1			0	1	=		1	0		i	=	1	y ;		(5.324)
^jy =					(^j+	^j	) =								=					i	=		y ;		(5.324)
где мы ввели матрицы Паули (Pauli matrices)																					0 1
	1 0												i	0							0 1
x =	0 1					;				y		=	0	i	;			z =			1	0		:	(5.325)
Таким образом, оператор момента (для j = 1
														2 ) описывается матрицами Паули
	^							1											1
					j	=			( xex + yey + zez) =											:					(5.326)
					j	=		2	( xex + yey + zez) =										2	:					(5.326)

Спинором называют двухкомпонентный объект

=	(1)		= (1) 1 + ( 1) 1 ;	(5.327)
	(	1)

у которого при повороте системы координат на угол компоненты преобразуются как

R^0 = e is^ ;			(5.328)
ãäå
s^ =	1	:	(5.329)
s^ =	2	:	(5.329)
	2

Компоненты спинора обозначают как ( ): = 1 для верхней компоненты и = 1

для нижней компоненты		! j1i ;
	2	! j1i ;			(5.330)
	1
	1
		!	1	:	(5.331)
	2		1	:	(5.331)
	2		j i


Соответственно, матричные элементы	Ур. (5.317), (5.318), примут вид
h1 js^+j 1i			=	1 ;	(5.332)
h 1 js^ j 1i			=	1 :	(5.333)

205

Рассмотрим более подробно матрицы Паули

	1	0				i		0		0	1
x =	0	1	;	y	=	0		i	; z =	1	0	:	(5.334)
Также часто используют обозначения:
			1	= x ;	2 = y ;				3 = z ;				(5.335)
				= xex + yey + zez :									(5.336)
Вместе с единичной матрицей
				I	=		0	1					(5.337)
							1	0

матрицы Паули образуют базис в пространстве комплексных матриц 2 2. Произвольная

комплексная матрица ^
A (размерности 2 2) может быть разложена по этим матрицам
^	= a0I + ax x						+ ay y + az z = a0I + a :									(5.338)
A	= a0I + ax x						+ ay y + az z = a0I + a :									(5.338)
Матрицы Паули обладают следующими свойствами
						3
					Xk
i j	=	ijI + i					ijk k ;				i; j = 1; 2; 3 ;					(5.339)
						=1
										3
		i j j i								Xk
[ i; j]	=	i j j i					= 2i				ijk	k ;		i; j = 1; 2; 3 ;		(5.340)
f i; jg										=1
f i; jg	=	i j + j i					= 2 ijI ;					i; j = 1; 2; 3 :				(5.341)
Действительно, рассмотрим											=
x x	=		1	0			1		0		=	0	1		= I = 1 ;	(5.342)
			0	1			0		1			1	0
		i		0		i				0			0 1
y y	=		0	i				0		i	=		1	0	= I	(5.343)
z z	=		0	1				0		1	=		0	1	= I :	(5.344)
			1	0				1		0			1	0

x y

y z

z x

	1	0	i		0		0 i
=	0	1	0		i	=	i	0
	i	0		0	1 i 0
=	0	i		1	0	=	0	i
=	0	1		1	0	= 1		0
	1	0		0	1		0	1

= i z ;

= i x ;

0 i( i) ii 0

(5.345)

(5.346)

= i y : (5.347)

206

x y	= iz ;	x x y = ix z ;
y z	= ix ;	y y z	= iy x ;
z x = iy ;		z z x	= iz y ;

Мы доказали Ур. (5.339).

Докажем Ур. (5.340) и Ур. (5.340)

y = ix z ;z = iy x ;x = iz y ;

x z = iy ;	(5.348)
y x = iz ;	(5.349)
z y = ix :	(5.350)

[ i; j]

i j j i = ijI + i

ijk k ijI i

jik k

(5.351)

ijk k ;

(5.352)

f i; jg

= i j + j i = ijI + i

ijk k + ijI + i

jik k

(5.353)

2 ijI :

(5.354)

[ i; j]

ijk k ;

(5.355)

ijk k

= i k=1 ijk

(5.356)

i; 2 j

42i k=1

2 k

Мы ввели оператор спина

(5.357)

Оператор спина является эрмитовским оператором, удовлетворяющим свойствам Ур. (5.120), (5.121)

	3
	Xk	[s^ s^] = is^:
[^si; s^j] = i	ijks^k ;	[s^ s^] = is^:	(5.358)
	=1

Покажем, что спиноры Ур. (5.327) описывают частицу со спином s = 12 . Действитель-

íî,

2		1		2		1	2		1	2		3
s^	=			x	+		y	+		z	=		I ;	(5.359)
		4				4
									4			4
s^2		3				1		1
	=	4	=			2		2	+ 1		:			(5.360)

207

Таким образом, в координатном представлении волновая функция частицы со спином s = 12 имеет вид

(r; 1)

;

(5.361)

(r; 1)

(r; ) ;

= 1 :

(5.362)

В пов¼рнутой системе координат эта функция преобразуется как

R^0

(r)

e i (l^+s^)

(r) ;

(5.363)

где (r) спинор (5.361) или

R^0

(r; )

e i (l^+s^)

(r; ) ;

(5.364)

ãäå

s^i

( )

( 0)h 0js^ij i :

(5.365)

= 1

Матричные элементы

s^ 0

задаются (5.332), (5.333).

Нормировка волновой функции со спином s =

(r; 1)j2 :

d3r j

(r; 1)j2 + j

(5.366)

Скалярное произведение имеет вид

h j 0i

1 Z

d3r

(r; )

0(r; )

(5.367)

=d3r [ (r; 1) 0(r; 1) + (r; 1) 0(r; 1)] :

Рассмотрим собственные функции оператора s^z

s^z =

2	=	0	;
1		1
1			:
21	=	1	:
		0

(5.368)

(5.369)

(5.370)

(5.371)

208

Соответственно, волновая функция частицы, которая имеет спин s = 12 и определ¼нную проекцию спина на ось z равную = 12 , имеет вид

2 (r) =		0	;
1		(r)
1	(r)
21 (r) =	(r)		;
		0

где (r) произвольная (ненулевая) скалярная функция.

Рассмотрим преобразование спинора при вращении вокруг оси z: = ez

^		(1)		= e	i 21 z	(1)	=		e i 21	0		(1)
R0		( 1)				( 1)			0	ei 21		( 1)

e i 12 (1)

=ei 12 ( 1) :

Рассмотрим несколько частных случаев 1. =

R^0 (1)	=	i(1)	:
( 1)		i( 1)

2. = 2

		( 1)		( 1)
R^	0	(1)	=	(1)	:

Найд¼м собственные функции оператора проекции спина на ось

(5.372)

(5.373)

(5.374)

(5.375)

(5.376)

(5.377)

0 sin 0 cos '0	1
n = @ sin 0 sin '0	A ;	(5.378)
cos 0

т.е., функции состояний, которые имеют определ¼нную проекцию спина на ось n,

s^nv(n) =	ns^v(n)							(5.379)
=		1	(sin 0 cos '0 x + sin 0 sin '0 y + cos 0 z) v(n)
	2							(5.380)
=			ei'0 sin 0	cos 0	v	= v	;	(5.381)
	2
	1		cos 0	e i'0 sin 0	(n)	(n)

209

ei'0

sin 20

(n)

cos 0

;

v 21

cos

(n)

e i'0

sin

(n)

cos 0

e i'0 sin 0

cos 0

n 2

ei'0 sin 0

cos 0

ei'0 sin 20

s^ v1

ei'0 sin 0 cos

cos 0ei'0

sin 20

cos 0 cos

+ e i'0 sin 0ei'0 sin 0

ei'0 (sin 0 cos2

cos 0 sin 20 )

cos 0 cos 0

+ sin 0 sin 20

cos

= 1v(1n) :

ei'0 sin

2 2

Заметим, что имеет место равенство

v(ez)

= :

(5.382)

(5.383)

(5.384)

(5.385)

(5.386)

(5.387)

(5.388)

(5.389)

Ещ¼ раз (см. Ур. (5.366), (5.368)), нормировка и скалярное произведение спиноров имеют вид

1	=	b1	;	(5.390)
		a1
2	=	b2	;	(5.391)
		a2
h 1j 1i	= ja1j2 + jb1j2 ;			(5.392)
h 2j 2i	= ja2j2 + jb2j2 ;			(5.393)
h 1j 2i	= a1a2 + b1b2 :			(5.394)
Замечание: размерной физической величине спину отвечает оператор				~s^. Ñîîò-
ветственно, когда мы говорим, что спин равен s = 21			, мы имеем в виду s = 21 ~.

5.8Сложение моментов (12 + 12)

Рассмотрим два двумерных спинорных (s = 12 ) подпространства. В них определены опе- раторы спина s^ (см. Ур. (5.357))

s^(1) =	1	;	s^(2) =	1	:	(5.395)
	2			2

210

Введ¼м базисные функции, в которых матричными элементами оператора спина имеют вид (см. Ур. (5.332), (5.333))

D	2	+	2 E		(5.396)
	'(1i)	s^(i)	'(i)1	= 1 ;	(5.396)

D		E
'(i)1	s^(i) '(1i)	= 1 ;	i = 1; 2 :

Первое подпространство V (1) имеет базисные функции

2			0		(1)	2			1		(1)
'(1)1	=		1			; '(1)1	=		0		:

Первое подпространство V (2) имеет базисные функции

2			0		(2)	2			1		(2)
'(2)1	=		1			; '(2)1	=		0		;

Действительно,

		1			1	1		0										1
s^z' =			z' =			0		1	' = ' ;						=				;
s^z' =		2	z' =		2	0		1	' = ' ;						=			2	;
1		1	1	0			1			1		1	1	1

	= 2		0	1		0 = 2 0 =							2'
s^z'2	= 2		0	1		0 = 2 0 =							2'	2 ;
		1	1	0			0		1			0		1
s^z' 21	=		0	1			1		=			1	=			' 21	:
s^z' 21	=	2	0	1			1		=		2	1	=		2	' 21	:

(5.397)

(5.398)

(5.399)

(5.400)

(5.401)

(5.402)

Рассмотрим прямое произведение этих подпространств V = V (1) V (2), это будет четыр¼хмерное пространство с базисными функциями

'(1)1 '(2)2

1; 2

;

1; 2 =

(5.403)

В пространстве V введ¼м оператор S и S

(1)

^(2)

^(1)

(2)

;

i = 1; 2; 3 = x; y; z ;

s^i

+ I

s^i

(5.404)

;

(5.405)

= Sx

+ Sy + Sz

ãäå ^(1)

, ^(2)

единичные матрицы, действующие в пространствах V

(1)

è V

(2), соответ-

ственно.

(1)

^(2)

^(1)

(2)

(1)

(2)

Si 1; 2

s^i

+ I

s^i

' 1

' 2

(5.406)

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

^(2)

(2)

^(1)

(1)

(2)

(5.407)

s^i

' 1

' 2

' 1

;

s^i

' 2

s^i

' 1

' 2 + ' 1

s^i

' 2

i = 1; 2; 3 = x; y; z : (5.408)

211

Покажем, что оператор

S является оператором момента

[^si; s^j] = i

ijks^k ;

^(2)

^(1)

^(2)

^(1)

(1)

^ ^

^(2)

^(1)

(2)

(1)

^(2)

^(1)

(2)

[Si; Sj] = s^i

+ I

s^i

s^j

+ I

s^j

(1)

^(2)

^(1)

(1)

(2)

I + I

(2)

s^j

I + I s^j

s^i

(1)

I + I

(2)

= s^i

s^j

s^i

s^j

(1)

^(2)

^(1)

^(2)

^(1)

(2)

s^j s^i I

+ I

s^j

s^i

(1)

(2)

)

= (^si

s^j

s^i

) I + I (^si

s^j

s^i

(1)

^(2)

^(1)

(2)

]

= [^si

; s^j

] I

+ I

[^si

; s^j

= i k=1

ijks^k(1) I^(2) + I^(1) ijks^k(2) = i k=1

ijkS^k :

(5.409)

(5.410)

(5.411)

(5.412)

(5.413)

(5.414)

(5.415)

(5.416)

Для оператора ^

мы имеем

(1)

(2)

(1)

(2)

(5.418)

Sz 1; 2

1' 1

2 +

s^z

' 1

' 2

+ ' 1

s^z

' 2

(5.417)

(1)

'(2)

'(1)

'(2)

( 1 + 2)' 1

' 2

= (

1 + 2) 1; 2 ;

(1)

(2)

(5.419)

^(1)

Далее мы не будем писать символы прямого произведения и единичные операторы

, ^(2). Будем предполагать, что операторы с индексами (1)

è (2) действуют только на

функции с соответствующими индексами. Тогда мы можем записать

(1)

(2)

;

i = 1; 2; 3 = x; y; z ;

= s^i

+ s^i

(5.420)

Si 1; 2

s^i

+ s^i

' 1

' 2

(5.421)

(1)

(2)

+ '

(1)

(2)

;

i = 1; 2; 3 = x; y; z :

(5.422)

s^ '

Для оператора ^

мы имеем

(1)

(2)

(1)

(2)

Sz 1; 2 =

s^z ' 1

' 2

+ ' 1 s^z

' 2

(5.423)

= 1'(1)1 '(2)2

+ '(1)1 2'(2)2

(5.424)

( 1 + 2)'(1)1 '(2)2

= ( 1 + 2) 1; 2

= M 1; 2 ;

(5.425)

212

Мы получили, что функции 1; 2 собственные функции оператора Sz. Заметим, что собственное значение M = 0 двукратно вырождено

M = 0	:		21 ; 21 ;		21 ; 21 ;		(5.426)
M = 1	:	1 ;		1 ;			(5.427)
			2	2
M = 1	:	21 ; 21 :					(5.428)
S=1;M=1		= '(1)1 '(2)1				;	(5.429)
				2	2
		= '(1)			'(2)	:	(5.430)
S=1;M= 1				21	21
Значит, подпространство V можно разбить на прямую сумму двух подпространств: од-
номерного f S=0;M=0g и тр¼хмерного f S=1;M gM= 1;0.
Оказывается, что матрица оператора		^2	в базисе 1; 2
		S	в базисе 1; 2				не является диагональной
матрицей. То есть, для функций 21 ; 21	è 21 ; 21			полный спин неопредел¼н: S = 0; 1. Надо
перейти к базису, где это матрица будет диагональной. Покажем это.
							^
Чтобы построить функцию S=1;M=0 можно подействовать оператором S+ íà ôóíê-

^
öèþ S=1;M= 1 или оператором S на функцию S=1;M=1. Сделаем последнее. Матрица
оператора ^
S имеет вид (см. Ур. (5.271))
^	=	(1)	(2)	:
S	=	s^	+ s^	:	(5.431)

								(1)		(2)		(1)			(2)					(2)
^		^					(1)				(2)					(1)	(2)		(1)	(2)
S	S=1;M=1	= S	1		1	= s^ + s^ 1 1									= s^ + s^ '1					'1
	S=1;M=1		2	;	2							2	; 2						2	2
									2 2			2			2			S=1;M=0
						= '			1	'1	+ '1			'	1	= p2

Здесь мы использовали Ур. (5.314), (5.315).

s^(i)

'(1i)

= '(i)1 ;

i = 1; 2 :

Таким образом, мы получаем

S=1;M=0

'(1)1

'(2)1

+ '(1)1

'(2)1

(5.432)

(5.433)

(5.434)

(5.435)

Чтобы получить функцию S=0;M=0 нам надо найти ортогональное дополнение к одномерному подпространству f S=1;M=0g до двумерного подпространства f 12 ; 12 ; 12 ; 12 g.

213

Легко проверить, что искомое ортогональное дополнение есть одномерное подпространство, определяемое функцией

			S=0;M=0					p2						2 2										2		2
							=			1			'(1)1				'(2)1					'(1)1 '(2)1							:												(5.436)
Действительно,							=						'(1)1				'(2)1					'(1)1 '(2)1							:												(5.436)
Действительно,		S=1;M=0i					D																																		E
h	S=0;M=0j	S=1;M=0i				2	D			2 2										2	2						2 2								2					2	E
					=	1		'(1)1				'(2)1						'(1)1 '(2)1						+	'(1)1				'(2)1 + '(1)1 '(2)1												(5.437)
					=	1		'(1)1				'(2)1						'(1)1 '(2)1							'(1)1				'(2)1 + '(1)1 '(2)1												(5.437)
					=			'			1	'1				'				1 '1					'			1	'1						'1	'				1	(5.438)
									(1)			(2)						(1)			(2)						(1)				(2)				(1)			(2)
							'1				'		1		'				1 '		1				'1			'				1		'1 '					1		(5.439)
						2	'1				'		1		'				1 '		1				'1			'				1		'1 '					1		(5.439)
						2					2 2									2 2								2 2							2					2
						D		2					2						2		2	E D				2						2			2				2
							hD	(1)				(2)					(1)			(2)			E		D	(1)				(2)					(1)		(2)			E
					=			'			1 '1					'				1 '1					'1			'					1		'1	'				1	(5.440)
					=	2 hD		'			1 '1					'				1 '1			E		'1			'					1		'1	'				1	(5.440)
						2 hD					2 2									2 2			E	D			2						2		2					2 Ei
						1			(1)			(2)						(1)			(2)						(1)				(2)				(1)			(2)			(5.441)
						1																																			(5.441)
					=		[1 1] = 0 :
					=	2	[1 1] = 0 :
Таким образом, в четыр¼хмерном подпространстве V = V (1) V (2) мы построили базис
							=			1			'(1)1 '(2)1										'(1)1		'(2)1				;												(5.442)

				S=0;M=0					p2
				S=0;M=0					p2						2 2									2	2
		S=1;M=1								(1) (2)						;
		S=1;M=1					= '				1	'1				;																									(5.443)

						=			1			'(1)1 '(2)1 + '(1)1 '(2)1								;				(5.444)

		S=1;M=0						p2
		S=1;M=0						p2					2 2			2		2
	S=1;M= 1								(1)		(2)
	S=1;M= 1					= ' 21					' 21			:										(5.445)
				^2	S;M				=		S(S + 1) S;M ;													(5.446)
			S		S;M				=		S(S + 1) S;M ;													(5.446)
				^	S;M = M S;M :																			(5.447)
				Sz	S;M = M S;M :																			(5.447)
Часто эти функции представляют в виде													0				0				1		! ;
S=0;M=0	=		p2				1			(1)			0		(2)		0		(1)		1	(2)	! ;	(5.448)
			1				0						1				1				0
S=1;M=1	=			0		(1)			0			(2)												(5.449)
S=1;M=1	=			0					0				;											(5.449)
				1					1							+							! ;
S=1;M=0	=		p2				1			(1)			0		(2)	+	0		(1)		1	(2)	! ;	(5.450)
			1				0						1				1				0
S=1;M= 1	=			1		(1)			1			(2)												(5.451)
S=1;M= 1	=			1					1				:											(5.451)
				0					0

214

Переход от ортонормированного базиса 1; 2 ( 1; 2 = 12 ) к ортонормированному базису S;M (S = 0, M = 0; S = 1, M = 1; 0; 1) определяет унитарное преобразование

		1;X2 2	SM			(1)			(2)
S;M		=	C1 1	; 1	2	' 1		' 2		;	(5.452)
		= 1	2	2
		= 1
		21 + 21 =1	S
(1)	(2)	X	X		SM				2 S;M :
' 1	' 2	=			C	1 1;	1		2 S;M :		(5.453)
						2	2

					J= 21 21 =0 M= S
Коэффициенты CSM1		;	1	2	называются коэффициентами Клебша-Годана (Clebsch-Gordan
2	1	;	2	2

coe cients).

5.9 Сложение моментов (j1 + j2)

20.11.2021

(1)

(2)

Размерность подпространств f'j1;m1 g è f'j2;m2 g åñòü n1 è n2, соответственно,

m1 = j1; : : : j1 ;

= 2j1 + 1 ;

(5.454)

j2; : : : j2 ;

= 2j2 + 1 :

(5.455)

(1)

(2)

m1m2 = 'j1;m1 'j2;m2 ;

(5.456)

Размерность подпространства f m1m2 g åñòü

n1 n2 =

(2j1 + 1)(2j2 + 1) = 4j1j2 + 2(j1 + j2) + 1

(5.457)

^(1)

^(2)

(1)

(2)

^(1)

(1)

(2)

(1) ^(2)

(2)

Jz m1m2

(jz + jz

)' 1

' 2

= jz

'j1;m1 'j2;m2

+ 'j1;m1 jz 'j2;m2

(5.458)

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

m1'j1;m1 'j2;m2

+ 'j1;m1 m2'j2;m2

= (m1 + m2)'j1;m1 'j2;m2

(5.459)

(m1 + m2) m1m2 = M m1m2 :

(5.460)

Количество различных значений M есть

M =

(j1 + j2); : : : ; j1 + j2 ;

= 2(j1 + j2) + 1 :

(5.461)

Заметим, что

n1 n2

N ;

(5.462)

n1 n2

= (2j1 + 1)(2j2 + 1) = 4j1j2 + 2(j1 + j2) + 1 2(j1 + j2) + 1 :

(5.463)

215

Таблица 5.1: Соответствие между собственными значениями M оператора Jz и базисными векторами m;m0. Предполагается, что j1 j2. В первой колонке приведены собственные значения оператора Jz. Во второй колонке указаны вектора m1;m2 , которые отвечают собственному значению M = m1 + m2. В третьей колонке дано количество векторов

m1;m2 .

M = m1 + m2		m1;m2			Количество m1;m2
j1 + j2	j1;j2				1
j1 + j2 1	j1 1;j2 ;	j1;j2 1			2

j2 j1 + 1	j1+1;j2 ;	j1+2;j2 1;	: : : ;	j1;j2 2j1+1	2j1
j2 j1	j1;j2 ;	j1+1;j2 1;	: : : ;	j1;j2 2j1	2j1 + 1
j2 j1 1	j1;j2 1;	j1+1;j2 2;	: : : ;	j1;j2 2j1 1	2j1 + 1

(j2 j1)	j1; j2+2j1 ;	j1+1; j2+2j1 1;	: : : ;	j1; j2	2j1 + 1
(j2 j1) 1	j1; j2+2j1 1;	j1+1; j2+2j1 2;	: : : ;	j1; j2 1	2j1

(j1 + j2) + 1	j1; j2+1;	j1+1; j2			2
(j1 + j2)	j1; j2				1

Только, если j1 = 0 èëè j2 = 0, мы получим n1 n2 = N. Таким образом, если j1 è j2 ненулевые, то среди собственных значений M есть вырожденные.

Мы хотим подпространство f m1;m2 g разбить на подпространства с определ¼нным

моментом J, т.е., перейти к базису J;M

J^2 J;M

J(J + 1) J;M ;

(5.464)

J;M

= M J;M :

(5.465)

Мы получаем, что J принимает значения

jj1 j2j

J j1 + j2 :

(5.466)

Количество функций J;M è m1;m2 одинаково

j1+j2 J

j1+j2

X X

(2J + 1)

J=j2 j1 M= J

J=j2 j1

= 2

(j1 + j2) + (j2 j1)

[(j

+ j

)

) + 1]

+[(j1 + j2) (j2 j1) + 1]

= 2j2(2j1 + 1) + 2j1 + 1

= (2j1 + 1)(2j2 + 1) :

(5.467)

216

Собственные функции операторов ^2			è ^	можно разложить по функциям m1;m2
		J	Jz	можно разложить по функциям m1;m2
		j1	j2
		X X			(1)	(2)
	J;M	=			CjJM1m1;j2m2 'j1;m1	'j2;m2	;	(5.468)
		m1= j1 m2= j2
		j1+j2	J
(1)	(2)	Xj	X		CjJM1m1;j2m2 J;M :
'j1;m1	'j2;m2	=			CjJM1m1;j2m2 J;M :			(5.469)

J= j1 j2j M= J

Коэффициенты CjJM1m1;j2m2 называются коэффициентами Клебша-Гордана (Clebsch-Gordan coe cients). Здесь предполагается, что выполнено соглашение на фазы функций J;M ,

т.е., выполнены Ур. (5.170), (5.171). При выполнении этого соглашения коэффициентами Клебша-Гордана веществены. Они известны [2].

Чтобы коэффициент Клебша-Гордана был ненулевым необходимо (но не достаточно) выполнение условий

jj1 j2j		J j1 + j2 ;	(5.470)
M	=	m1 + m2 :	(5.471)

Коэффициенты Клебша-Гордана определяют унитарное преобразование от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису

JM		J0M0
mX1 2	;j2m2 Cj1m1		;j2m2	= JJ0 MM0 ;		(5.472)
Cj1m1	;j2m2 Cj1m1		;j2m2	= JJ0 MM0 ;		(5.472)
m
X
CJM	;j2m2	CJM	;j2m0	= m1m0	m2m0 :	(5.473)
j1m1	;j2m2	j1m0	;j2m0	1	2
		1	2

Мы разбили подпространство функций f m1;m2 g на подпространства функций с определ¼нным моментом J

f m1;m2 g = f jj1 j2j;M g : : : f j1+j2;M g :

(5.474)

Благодаря фиксированию фазовых множителей Ур. (5.170), (5.171) у функций J;M коэффициенты Клебша-Гордана вещественны и определяются однозначно ( [2]: Варшалович 8.2 (3), стр. 203)

Cj1m1;j2m2

= ( 1) 1

p2J + 1

;

(5.475)

217

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 6730 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf