Глава 2

Математический аппарат квантовой механики

2.1Гильбертово пространство

09.09.2022

Гильбертово пространство линейное (векторное) пространство над полем комплексных чисел. Гильбертово пространство будем обозначать буквой H. Элементы гильбертова

пространства (вектора) мы будем обозначать буквами f, g, h, , ', 2 H; комплексные числа (скаляры) будем обозначать буквами a, b, c, x, y, z 2 C.

I. В гильбертовом пространстве определены операции сложения и умножения на комплексное число

Эти операции обладают следующими свойствами

1.f + g = g + f ; 8f; g 2 H (коммутативность сложения);

2.f + (g + h) = (f + g) + h ; 8f; g; h 2 H (ассоциативность сложения);

3.9 2 H : f+ = f ; 8f 2 H (существование нейтрального элемента относительно сложения);

12

6.1 f = f ; 8f 2 H (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля C сохраняет вектор).

7.(a + b)f = af + bf ; 8a; b 2 C; 8f 2 H (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8.a(f + g) = af + ag ; 8a 2 C; 8f; g 2 H (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

II. В гильбертовом пространстве определено скалярное произведение

Мы также будем использовать следующие обозначения для скалярного произведения

III. Гильбертово пространство бесконечномерно.

Введ¼м понятие линейно независимых элементов гильбертова пространства. Элементы f1; f2; : : : ; fn 2 H называются линейно независимыми, если из равенства

Из того, что гильбертово пространство бесконечномерно, следует, что для любого конечного n существует n линейно независимых элементов гильбертова пространства.

Введ¼м несколько понятий.

13

Норма элемента f 2 H есть

Ортонормированные системы элементов гильбертова пространства. Последовательность элементов f1; f2; : : : (конечная или бесконечная) называется ортонормированной, если

Замкнутая ортонормированная система (f1; f2 : : : 2 H, (fifj) = i;j). Величины ak = (fk; g) называется Фурье коэффициентами элемента g 2 H.

В качестве примера рассмотрим элемент, который имеет вид

14

Легко получить, что (см. Ур. (2.4))

(f1; g) = (f1; a1f1) + (f1; a2f2) = a1(f1; f1) + a2(f1; f2) = a1 1;1 + a2 1;2

=(a1f1; a1f1) + (a1f1; a2f2) + (a2f2; a1f1) + (a2f2; a2f2)

=a1a1(f1; f1) + a1a2(f1; f2) + a2a1(f2; f1) + a2a2(f2; f2)

Следующий ряд называется рядом Фурье для элемента g

XX

Бесконечная ортонормированная система элементов f1; f2; : : : называется замкнутой, если

Иначе можно сказать: если k gF k=k g k ; 8g 2 H.

Замечание: если мы удалим несколько элементов из замкнутой системы элементов, она по прежнему останется бесконечной, но уже не будет замкнутой.

В общем случае gF 6= g è

Бесконечная ортонормированная система элементов f1; f2; : : : называется полной, если в H не существует элемента, за исключением нулевого, ортогонального ко всем элементам системы.

15

IV. Сходимость в себе.

Если для последовательности элементов f1; f2; : : : для любого " > 0 существует такое N, что k fn fm k " для любых n; m > N, то эта последовательность сходится к пределу f, который является элементом гильбертова пространства.

V. Сепарабельность. В гильбертовом пространстве существует полная ортонормированная система элементов, представляющая собой сч¼тное множество.

В гильбертовом пространстве полная система является замкнутой и замкнутая система является полной.

Введ¼м ещ¼ несколько определений.

Подпространство гильбертово пространства.

Пусть имеется множество (конечное или бесконечное) элементов гильбертово пространства f1; f2; : : :. Всевозможные линейные комбинации этих элементов вместе с предельными точками (в смысле свойства IV) образуют подпространство.

Одномерное подпространство: L1 = faf1; a 2 Cg, ãäå f1 2 H.

Двухмерное подпространство: L2 = fa1f1 + a2f2; a1; a2 2 Cg, ãäå f1; f2 äâà ëè- нейно независимых элемента гильбертово пространства H.

Ортогональные подпространства. Два подпространства L м M называются ортогональными, если любой элемент подпространства L ортогонален каждому элементу подпространства M.

Ортогональное дополнение. Если два ортогональных подпространства L и M образуют вс¼ гильбертово пространство ( H = L [ M), то L называют ортогональным дополнением M. Соответственно, M называют ортогональным дополнением

L.

Если L есть ортогональное дополнение M, то любой элемент h 2 H может быть единственным образом представлен в виде суммы

В этом случае f называют проекцией h на подпространство L, g называют проекцией h на подпространство M .

16