Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6729 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

5.1.2Инверсия

Рассмотрим оператор инверсии

P (r) = ( r) :

В сферических координатах инверсия выглядит как

P (r; ; ') = (r; ; + ') :

Для произвольной функции (r) можно записать

^ ^ ^ @ ^ ^

pP (r) = p ( r) = i~@( r) ( r) = P p (r) :

Следовательно, оператор импульса есть полярный вектор.

Также для произвольной функции	(r) можно записать
^^	^^

lP (r) = [r^ p^] ( r) = [( r^) ( p^)] ( r) = P l (r) :

(5.57)

(5.58)

(5.59)

(5.60)

Следовательно, оператор орбитального момента есть аксиальный вектор или псевдовектор.

5.2Оператор орбитального момента в сферических координатах

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями

x	= r sin cos ' ;
y	=	r sin sin ' ;
z	=	r cos :

Рассмотрим оператор


i@' = i		@' @x		+ @' @y		+ @' @z
@			@x @		@y @		@z @
	= i	r sin sin '@x				+ r sin cos '@y
				@		@

= i y	@		@	^	^
= i y	@x	+ x	@y	= l3	= lz :

В последнем равенстве использовалось Ур. (5.8). 181

(5.61)

(5.62)

(5.63)

(5.64)

(5.65)

Таким образом, оператор ^
l3 в сферических координатах имеет вид
^	= i	@
lz	= i	@'	:

Найд¼м спектр этого оператора

i@' m(') = m m(') m(') = (2 ) 1=2eim' :

Из условия

m(') =	m(' + 2 )
eim' =	eim'+im2 ; 8'

(5.66)

(5.67)

(5.68)

(5.69)

(5.70)

получается, что собственные числа m должны быть целыми числами (m 2 Z). Спектр

оператора ^

lz чисто дискретный. Собственные вектора образуют ортонормированную си-

стему

2			2
Z0	d' m0(') m(') =	(2 ) 1	Z0	d' ei(m m0)' = mm0 :	(5.71)

Здесь переменная ' меняется от 0 до 2 .

Итак, спектр оператора ^

lz все целые числа (от минус бесконечности до плюс бесконечности), собственная функция имеет вид Ур. (5.68).

Оператор квадрата орбитального момента имеет вид (см. Ур. (3.409))

= l

= lx

+ ly

+ lz

1 @2

sin

sin2

@'2

Оператор Лапласа связан с оператором квадрата орбитального момента как

		1 @				@		1		l^2 :
	=					r2
			r2		@r		@r		r2
Заметим, что операторы ^2	è ^
l	lz коммутируют
		^2		^		=		0 :
		[l		; lz]

(5.72)

(5.73)

(5.74)

(5.75)

182

Это значит, что у них есть общий базис (см. параграф 2.15).
Собственными функциями операторов ^2			è ^	являются сферические функции Ylm( ; ')
		l	l3
(spherical harmonics )
l^2Ylm( ; ')	=	l(l + 1)Ylm( ; ') ;			l = 0; 1; 2; : : :	(5.76)
^	=	mYlm( ; ') ;		m =	l; : : : ; l :	(5.77)
l3Ylm( ; ')

Сферические функции образуют ортонормированную систему

2
Z	d' Z	d sin Ylm( ; ')Yl0m0( ; ') = ll0 mm0 :	(5.78)
0	0
Получим явный вид сферических функций. Собственные функции оператора ^
			lz имеют
вид Ур. (5.68). Соответственно, функции Ylm будем искать в виде
		Ylm( ; ') = lm( ) m(') ;	(5.79)
ãäå

m(')

= eim' ;

0 ' 2 ;

0 ;

тогда

lzYlm( ; ') = lm( )lz m(') = m lm( ) m(') = mYlm( ; ') :

Собственные значения оператора l^2 будем искать в виде l(l + 1):

l^2Ylm( ; ') = l(l + 1)Ylm( ; ')

1 @

sin

lm( ) m(')

l(l + 1) lm( ) m(') ;

sin

sin2

@'2

sin @ sin

sin2 m2

lm( )

l(l + 1) lm( ) :

Запишем это уравнение в таком виде

sin

+ l(l + 1)

lm( ) = 0 :

sin

sin2

Сделаем замену переменных

x =

cos ;

dx =

d = sin d ;

1 x 1 ;

Plm(x) = ( (x)) ;

(5.80)

(5.81)

(5.82)

(5.83)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

(5.87)

(5.88)

183

тогда мы получаем следующее уравнение

Plm(x)

sin2

+ l(l + 1)

0 ;

(5.89)

sin2

(1 x2)

+ l(l + 1)

Plm(x)

0 :

(5.90)

1 x2

Это уравнение имеет ненулевые решения, неособые на 1 x 1, только если l и mцелые числа с 0 m l или с тривиально эквивалентными отрицательными значе- ниями m. Несингулярными решениями являются присоедин¼нные полиномы Лежандра (associated Legendre polynomials)

Plm(x)

Pl m(x)

Заметим, что

( 1)m

x2)m=2

dl+m

(x2

1)l ; m

0 ;

(5.91)

2ll!

dxl+m

( 1)m

(l m)!

P m(x) ;

0 :

(5.92)

(l + m)! l

Plm(x)	=	0 ; åñëè jmj > l ;	(5.93)
Plm( x)	=	( 1)l+mPlm(x) :	(5.94)

Таким образом, ч¼тность присоедин¼нного полинома Лежандра Plm(x) определяется l+m. Определ¼нные таким образом присоедин¼нные полиномы Лежандра нормируются как

Z	dx Plm0 (x)Plm(x) = ll0	2(l + m)!	:	(5.95)

		(2l + 1)(l m)!

Таким образом, сферические функции можно представить в виде (см. [2] стр. 118,5.2, Ур. (1), (3))

	lm		s	2(l + m)!	l
Y		( ; ') = (2 ) 1=2eim'		(2l + 1)(l m)!	P m(cos ) ;	m =	l; : : : ; l : (5.96)

Так определ¼нные сферические функции нормированы условием (5.78).

184

P00(x) =

1 ;

P11(x) = (1 x2)1=2

P10(x)

x ;

P1 1(x) =

(1 x2)1=2 ;

P22(x) =

3(1 x2) ;

P21(x) = 3x(1 x2)1=2 ;

P20(x) =

(3x2 1) ;

P2 1(x) =

x(1 x2)1=2

P2 2(x) =

(1 x2) :

Y0;0( ; ') =

;

Y1;1( ; ') =

sin ei' ;

Y1;0( ; ')

cos ;

Y1; 1( ; ')

sin e i' ;

Y2;2( ; ')

sin2 e2i' ;

Y2;1( ; ')

8 cos sin ei' ;

Y2;0( ; ')

(3 cos2 1) ;

Y2; 1( ; ')

cos sin e i'

;

Y2; 2( ; ')

sin2 e 2i' :

(5.97)

(5.98)

(5.99)

(5.100)

(5.101)

(5.102)

(5.103)

(5.104)

(5.105)

(5.106)

(5.107)

(5.108)

(5.109)

(5.110)

(5.111)

(5.112)

(5.113)

(5.114)

Это определение шаровых функций совпадает с определением в [2] (см. стр. 135, 5.13, Ур. (1-3)).

185

Ðèñ. 5.1:

С уч¼том Ур. (5.92) и (5.96) мы получаем

Ylm( ; ') = ( 1)mYl; m( ; ') :							(5.115)
С уч¼том Ур. (5.94) и (5.96) мы получаем
^	= Ylm( ; + ') = ( 1)				l	Ylm( ; ') :	(5.116)
P Ylm( ; ')
Таким образом, ч¼тность сферической функции Ylm( ; ') определяется l.
Сферические функции образуют полную систему функций, зависящих от и ':
							^2	è ^
0 и 0 ' 2 . Функции Ylm( ; ') образуют общий базис для операторов l								lz:
l^2Ylm( ; ')	=	l(l + 1)Ylm( ; ') ;		l = 0; 1; 2; : : : ;			(5.117)
^	=	mYlm( ; ') ;	m = l; : : : ; l ;				(5.118)
lzYlm( ; ')

186

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6729 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf