Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
6 сем / km-lectures-221025.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
14.12.2025
Размер:
4.94 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 5

Дижение в центральном поле

5.1 Оператор орбитального момента

Оператор импульса имеет вид

 

p^ = i~r:

(5.1)

Физической величине, орбитальному моменту, отвечает оператор

 

[r^ p^] = ~l^;

(5.2)

где мы ввели безразмерный оператор l^. Оператор l^ будем называть оператором орби-

тального момента.

Компоненты оператора орбитального момента, соответственно, равны

èëè

^

lx

^

ly

^

lz

Удобно ввести соответствие

^

= r^yp^z

r^zp^y ;

 

~lx

 

^

= r^zp^x

 

r^xp^z ;

 

~ly

 

 

^

= r^xp^y

 

r^yp^x

 

~lz

 

 

= i

 

@

 

z

@

 

 

 

y

@z

 

@y

;

= i

 

@

 

x

 

@

 

 

 

z

@x

 

@z

;

= i

 

@

 

y

@

 

 

 

x

@y

 

@x

:

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(x; y; z)

=

(rx; ry; rz) = (r1; r2; r3) ;

(5.9)

(x; y; z)

=

(1; 2; 3) ;

(5.10)

176

тогда компоненты оператора орбитального момента записываются как

 

 

3

 

^

 

X

 

~li

=

ijkr^jp^k ;

(5.11)

j;k=1

ãäå ijk единичный антисимметричный тензор (символ Леви-Чивита)

123

=

231

= 312

= 1 ;

(5.12)

213

=

321

= 132

= 1

(5.13)

iij

=

0 :

 

 

(5.14)

Рассмотрим различные коммутаторы

[^ri; r^j] = 0 ;

[^pi; p^j] = 0 ;

[^pi; r^j] = i~ ij :

(5.15)

Покажем, что следующие коммутаторы имеют такой вид

 

 

 

3

 

 

 

^

Xk

ijkr^k ;

(5.16)

 

[^ri; lj] = i

 

 

 

=1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

^

 

 

 

Xk

 

 

 

 

[^pi; lj]

=

i

ijkp^k ;

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

^ ^

 

 

 

Xk

 

 

 

 

[li; lj]

=

i

ijklk

:

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

^

1

3

1

 

3

 

 

 

[^ri; lj] =

 

X

jkl[^ri; r^kp^l] =

 

 

X

jkl(^rir^kp^l r^kp^lr^i) =

~

k;l=1

~

 

k;l=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

3

 

 

3

 

 

 

X

Xk

 

X

 

=

~

k;l=1

jklr^ki~ il = i

jkir^k

= i

ijkr^k :

 

 

=1

 

k=1

 

(5.17)

(5.18)

3

1 X

~

jklr^k[^ri; p^l] (5.19)

k;l=1

(5.20)

^

1

3

1

3

 

 

 

X

 

 

X

 

[^pi; lj] =

~

k;l=1

jkl[^pi; r^kp^l] =

~

jkl(^pir^kp^l r^kp^lp^i) =

 

 

 

 

k;l=1

 

 

1

3

 

 

3

3

 

 

X

 

 

X

Xl

=

~

k;l=1

jkl( i~) ikp^l = i

jilp^l = i ijlp^l :

 

 

 

 

l=1

=1

3

1 X

~

jkl[^pi; r^k]^pl (5.21)

k;l=1

(5.22)

177

Представляя первый оператор орбитального момента в виде (5.11), запишем

^ ^

1

3

 

^

1 3

 

^ ^

 

[li; lj] =

 

 

X

ikl[^rkp^l; lj] =

 

X

ikl(^rkp^llj

ljr^kp^l)

~

k;l=1

~

k;l=1

 

 

0r^k^ljp^l + i

 

 

 

 

 

~1

 

 

 

 

 

 

1

=

3

ikl

 

3 ljmr^kp^m ^ljr^kp^l

 

 

 

X

 

@

 

X

 

 

 

 

 

A

 

1

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

k;l=1

 

 

 

m=1

 

 

 

 

 

 

=

~

X

ikl

[^rk; ^lj]^pl + i

 

ljmr^kp^m!

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

=

 

 

k;l=1

ikl

 

 

 

m=1

 

 

 

 

 

~

 

i kjmr^mp^l

+ i ljmr^kp^m!

 

1

3

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

X

 

 

X

 

 

 

X

 

 

 

 

k;l=1

 

 

m=1

 

 

 

m=1

 

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

1

 

3

 

X

 

 

 

=

 

i

( ikl kjmr^mp^l + ikl ljmr^kp^m) :

~

 

 

 

k;l;m=1

В первом члене мы сделаем замену (k; l; m) ! (k0; j0; i0), во втором члене мы заменем

(k; l; m) ! (i0; k0; j0)

 

 

 

3

 

 

 

 

 

^ ^

1

 

;iX0 0

 

 

 

 

(5.27)

 

k0

 

 

 

 

[li; lj] =

 

 

k0ji0 + ii0k0 k0jj0)^ri0p^j0

 

 

~i

( ik0j0

 

 

 

 

 

;j =1

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

=

 

;iX0 0

 

i0jk0 + ii0k0 jj0k0)^ri0p^j0

 

 

 

k0

 

 

 

 

 

 

 

~i

( ij0k0

 

(5.28)

 

 

 

;j =1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

i0X0

 

 

 

 

(5.29)

 

 

 

 

=

 

j0j

ij j0i0 + ij i0j0 ij0

i0j)^ri0p^j0

 

~i

( ii0

 

 

 

;j =1

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

=

i0X0

j0j

ij0 i0j)^ri0p^j0

 

 

 

 

 

 

 

 

~i

( ii0

 

(5.30)

 

 

;j =1

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

=

k;iX0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~i

ijk i0j0kr^i0p^j0

 

 

(5.31)

 

 

 

;j =1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Xk

 

 

 

 

 

= i

^

 

 

 

 

(5.32)

ijklk :

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

Здесь использовалось тождество

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Xk

 

= ii0 jj0

ij0 ji0 :

 

 

 

 

 

ijk i0j0k

 

(5.33)

 

=1

 

 

 

 

 

178

Согласно Ур. (5.18) различные проекции оператора углового момента не коммутируют, следовательно, не могут быть измерены одновременно.

2

^ ^

2

^ ^

^ ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

[lx; ly] =

~

(lxly lylx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (^ryp^z r^zp^y)(^rzp^x r^xp^z) (^rzp^x r^xp^z)(^ryp^z r^zp^y)

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

= r^yp^zr^zp^x

 

 

 

 

+ r^zp^yr^xp^z

 

r^yp^zr^xp^z r^zp^yr^zXp^Xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r^zp^xr^yp^z

 

 

 

 

 

 

r^xp^zr^zp^y

 

 

+ r^zp^xr^zXp^Xy + r^xp^zr^yp^z

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= r^yp^zr^zp^x r^zp^xr^yp^z + r^zp^yr^xp^z r^xp^zr^zp^y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

= r^y( i~ +

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

H

 

r^zp^z )^px r^zp^xr^yp^z + r^zp^yr^xXp^Xz

r^x( i~ + r^zHp^Hz )^py

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2^

 

 

 

 

 

 

 

 

= i~(^rxp^y r^yp^x) = i~ lz :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ^

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[lx; ly

] = ilz ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ^

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ly; lz

] = ilx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ^

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[lz; lx

] = ily :

 

 

 

 

(5.34)

(5.35)

(5.36)

(5.37)

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)

(5.43)

5.1.1Операторы сдвига и поворота

Рассмотрим оператор сдвига

(r) ! (r + a) ;

(5.44)

где a малое изменение вектора r. С точностью до членов порядка a2 функция (r + a) может быть записна как

(r + a) = (r) + a r

(r) + O( a2) = (r) +

 

i

a p^ (r) + O( a2) : (5.45)

 

 

~

Здесь градиент выражен через оператор импульса. Для конечного сдвига ( a) необходимо учитывать все члены ряда Тейлора, что да¼т

(r + a) = (r) +

1

(ar)n

(r) = exp(a

r

) (r) = exp

i

ap^

(r) : (5.46)

 

~

 

n=1

n!

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенство (5.46) устанавливает связь оператора сдвига или трансляции ( ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ta) и оператора

импульса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T^a (r) =

(r + a) = exp

i

ap^

(r) :

 

 

(5.47)

~

 

 

179

Рассмотрим поворот на бесконечно малый угол (поворот на угол вокруг оси, задаваемой вектором ). [В изначальной верии конспекта угол поворота обозначался как ' и затем '.] Это соответствует изменению вектора r на величину

 

a =

[ r] + O( 2) :

(5.48)

Используя Ур. (5.45), можем записать

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

(r + a) =

(r) +

 

 

a p^

(r) = (r) +

 

[ r]p^ (r) + O( 2)

 

~

~

 

=

(r) +

 

i

[r p^] (r) + O( 2)

(5.49)

~

= (r) + i l^

(r) + O( 2) :

(5.50)

Без доказательства: оператор поворота на конечный угол вокруг оси, задаваемой вектором , (r ! r0) имеет вид

 

^

(r)

=

0

 

^

(r) :

(5.51)

 

R

 

(r) = exp(i l)

 

Если гамильтониан коммутирует с операторами p^ или l^:

 

 

 

 

^

=

0 ;

^ ^

 

 

(5.52)

 

[H; p^]

[H; l] = 0 ;

 

~

^

(r) èëè

 

(r) è

~

^

(r), соответственно, описы-

то функции (r) и (r) = Ta

 

(r) = R

вают одно и то же состояние системы и удовлетворяют одному и тому же уравнению Шр¼дингера

^

(r)

= E (r) ;

^

~

 

~

(5.53)

H

H

(r) = E

(r) :

Действительно, рассмотрим

 

 

 

 

 

 

^ ~

^ ^

^ ^

 

^

 

~

(5.54)

H (r) =

HTa

(r) = TaH

(r) = ETa

(r) = E (r) ;

^ ~

^ ^

^ ^

 

^

 

~

(5.55)

H (r) =

HR

(r) = R H (r) = ER

(r) = E (r) :

Следовательно, инвариантность системы относительно сдвига или поворота определяется тем, коммутирует ли соответствующий оператор с гамильтонианом. Используя известное выражение для производной оператора (см. Ур. (3.249))

 

d

^

 

@

^

i

 

^ ^

 

 

dt

A

=

@t

A +

~

[H; A] ;

(5.56)

можно утверждать, что сохранение проекции импульса (или проекции момента импульса) на заданную ось определяется инвариантностью системы к сдвигу (или вращению вокруг этой оси), соответственно. Этот результат получался и в классической механике.

180

Соседние файлы в папке 6 сем
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности