4.9Когерентные состояния гармонического осциллятора

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 6727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

( + ip^ )j zi =

+ ip ;0)j zi

30.10.2021

Когерентные состояния это состояния, для которых

x px =	~	(4.334)
	2

выполнено в каждый момент времени. Рассмотрим такие состояния в потенциале гармонического осциллятора Ур. (4.218).

Замечание: когерентные состояния можно определить для любой пары некоммутирующих операторов. Мы рассматриваем только состояния когерентные для операторов x^ и

p^.

Важным свойством спектра гармонического осциллятора является то, что уровни энергии эквидистантные

En	=	~!	n + 2	;	(4.335)
			1
En+1 En	=	~! ; 8n :			(4.336)

Мы вводили оператор уничтожения как

a^ =	p2		+ d	;	(4.337)
	1		d

тогда гамильтониан системы можно было представить как

				1
^		+
H = !~	a^		a^ +	2	:	(4.338)

Рассмотрим, как выглядит оператор уничтожения ( a^) в представлении Гейзенберга.

Собственная функция Гамильтониана в представлении Шр¼дингера может быть записана в виде (см. Ур. (3.427))

j n;S(t)i = e	i	Entj n;S(0)i :	(4.339)
	~

Рассмотрим матричные элементы оператора уничтожения ( a^). Рассмотрим все ненуле-

вые матричные элементы. Так как скалярное произведение не зависит от представления, мы можем записать

h n 1;Hja^H(t)j n;Hi =	h	n 1;S(t)ja^Sj		n;S(t)i	(4.340)
=	e	i	(En En 1)th	n 1;S(0)ja^Sj n;S(0)i	(4.341)
		~
=	e i!th n 1;S(0)ja^Sj n;S(0)i				(4.342)
=	h	n 1;Hje i!ta^Sj n;Hi :			(4.343)

167

j n;Hi = j n;S(0)i :

(4.344)

Мы получаем, что для всех ненулевых матричных элементов оператора уничтожения имеет место равенство

h n 1;Hja^H(t)j n;Hi = h n 1;Hje i!ta^Sj n;Hi :

(4.345)

Таким образом, мы получаем

a^H(t) = e i!ta^S

(4.346)

Оператор уничтожения является неэрмитовым оператором. Рассмотрим его собственные значения и собственные функции

a^j zi = zj zi :

(4.347)

Заметим, что оператор a^ можно представить в виде

1			d	1		^
a^ = p		+	d	= p		( + ip^ ) ;
	2				2

d p^ = id :

Представим собственное число z таким же образом

1			2 R:
z = p2	( 0	+ ip ;0) ; 0; p ;0	2 R:

Рассмотрим собственную функцию оператора a^ с собственным числом z

h i

^ j i

( 0) + i(^p p ;0) z = 0 :

(4.348)

(4.349)

(4.350)

(4.351)

(4.352)

(4.353)

Такое дифференциальное уравнение мы уже рассматривали (см. Ур. (3.544))

		1		ip ;0	(			2
z( )	=		exp		(		0)		(4.354)
z( )	=	1=4	exp			2			(4.354)
z( ; 0)	=	z( ) :							(4.355)

168

z(t)i

(0)i ;

(4.356)

S(t; 0)j z

a^j

z(0)i

zj z(0)i ;

(4.357)

z(0)i

z(0)i = zj

z(t)i :

(4.358)

S(t; 0)^aj

S(t; 0)zj

a^H(t)

S^ 1(t; 0)^aS^(t; 0) = e i!ta^

(4.359)

( t)

^ 1

(t; 0) = e

i!t

(4.360)

( t; 0)^aS( t; 0) = S(t; 0)^aS

z(0)i

^ 1

(t; 0)

z(0)i

(4.361)

S(t; 0)^aj

S(t; 0)^aS

S(t; 0)j

a^H( t)j z(t)i = ei!ta^j

z(t)i

= zj z(t)i :

(4.362)

ei!ta^j

z(t)i

= zj z(t)i ;

(4.363)

a^j

z(t)i

e i!tzj z(t)i :

(4.364)

Мы показали, что j z(t)i, как и функция j z(0)i, является собственной функцией оператора a^, но с другим собственным числом e i!tz.

z(0)

( 0 + ip ;0) ;

(4.365)

z(t)

e i!t p

( 0

+ ip ;0)

(4.366)

= p

( 0 cos(!t) + p ;0 sin(!t) + ip ;0 cos(!t) i 0 sin(!t))

(4.367)

( (t) + ip (t)) ;

(4.368)

(t) =

0 cos(!t) + p ;0 sin(!t) ;

(4.369)

p (t)

p ;0 cos(!t) 0 sin(!t) :

(4.370)

ip (t)

(

z( ; t) =

exp

( ))

(4.371)

1=4

Согласно Ур. (8.63), (4.293) переход от функции

z( ; t) имеет вид

z(x; t) =

; t

;

= r

(4.372)

169

1 1

exp ip (t)

( x

(t))2

z(x; t) =

1=4

exp

ipx(t)x

(x x(t))2

;

( 2 )1=4

2 2

ãäå

(4.373)

(4.374)

x(t) =		(t) ;							(4.375)
			~	p (t) = p				p (t) ;
px(t)	=				m~!				(4.376)


x(t)	=	x0 cos(!t) +				px;0	sin(!t) ;		(4.377)
						m!

px(t)	=	px;0 cos(!t) x0m! sin(!t) :							(4.378)

Эти уравнения надо сравнить с Ур (3.484), (3.485).

Действительно, связь безразмерных и безразмерных p с изначальными координа-

тами и импульсами имеет вид

= = r

;

(4.379)

p = p

p :

m~!

(4.380)

Мы можем записать

p (t)

p ;0 cos(!t)

0 sin(!t) ;

(4.381)

px;0 cos(!t)

~ x0

px(t) =

sin(!t)

(4.382)

= px;0 cos(!t) x0m! sin(!t) :

(4.383)

(t) =

0 cos(!t) + p ;0 sin(!t) ;

(4.384)

x(t)

x0 cos(!t) + p ;0 sin(!t)

(4.385)

x0 cos(!t) +

px;0 sin(!t)

(4.386)

x0 cos(!t) +

px;0

sin(!t) :

(4.387)

Волновая функция (4.374) описывает когерентное состояние, для которого

x px =

(4.388)

в любой момент времени. Когерентные состояния в отличие от других состояний не расплываются со временем. Такие состояния существуют в потенциале гармонического осцилятора Ур. (4.218). В когерентных состояниях энергия не имеет определ¼нного значения.

170

4.10Импульсное представление уравнения Шр¼дингера

^			(x)	=	E	(x) ;	(4.389)
		H
	p^2
		(x) + V (x)	(x)	=	E	(x) :	(4.390)
	2m

Вспомним, что есть импульсное представление. Рассмотрим собственные функции оператора импульса в

íèè

p^ p(x) = i~dx p(x) = p p(x)p(x) = (2 ~) 1=2e~i px ;

h pj p0i = (p p0) :

Функция в импульсном представлении имеет вид

координатном представле-

;

(4.391)

(4.392)

(4.393)

						1
~(p) =	h pj i = (2 ~) 1=2					Z	dx p(x) (x)	(4.394)
		1			1
=	(2 ~) 1=2	Z	dx e	i	px		(x) :	(4.395)
=	(2 ~) 1=2	Z	dx e	~	px		(x) :	(4.395)

Рассмотрим операторы координаты и импульса в импульсном представлении (см. 2.13)

^~		~
p~ (p) = p (p) ;
^	~		d	~
x~	(p) = i~		dp	(p) :

Собственные функции оператора координаты в импульсном представлении

^	d
x~'~x(p) = i~	dp	'~x(p) = x'~x(p) ;

'~x(p) = (2 ~) 1=2e ~i px : h'~xj'~x0i = (x x0) :

Функцию в координатном представлении можно представить в виде

	1
(x) = h'~xj ~i = (2 ~) 1=2 Z				dp '~x(p) ~(p)
1			1
= (2 ~) 1=2 Z	dp e	i	px ~(p) :
= (2 ~) 1=2 Z	dp e	~	px ~(p) :
1

(4.396)

(4.397)

(4.398)

(4.399)

(4.400)

(4.401)

(4.402)

171

V (x)

dp00 e

p00xV 0(p00) ;

(4.403)

V 0(p)

(2 ~) 1

dx e

pxV (x) :

(4.404)

p^2

(x) + V (x)

(x)

= E (x) ;

(4.405)

	1
dp0	Z	dp00 e	i	p00xV 0(p00)e				i	p0x ~(p0)	= (4.406)
dp0	Z	dp00 e	~	p00xV 0(p00)e			~		p0x ~(p0)	= (4.406)
	1				1
					1
= E(2 ~) 1=2					Z	dp e		i	px ~(p) ;	(4.407)
= E(2 ~) 1=2					Z	dp e		~	px ~(p) ;	(4.407)

px ~(p) +

dp0

dp00 e

(p0+p00)xV 0(p00) ~(p0)

= (4.408)

= E Z

dp e

px ~(p) ;

(4.409)

Сделаем замену переменных интегрирования

= p0 + p00 ;

p00 = p p0 :

(4.410)

Уравнение Шр¼дингера принимает вид

px ~(p) + Z

dp Z

dp0 e

(p)xV 0(p p0) ~(p0)

(4.411)

= E Z

dp e

px ~(p) ;

(4.412)

0(p p0) ~(p0) E ~(p)1

dp e

~(p) + Z

dp0 V

= 0

(4.413)

172

2			1
	p	~(p) +	Z	dp0 V 0(p p0) ~(p0) = E ~(p) :	(4.414)
	2m
			1

Это уравнение с уч¼том определения (4.404) есть уравнение Шр¼дингера в импульсном представлении.

Рассмотрим потенциал

V (x) = (x) ; > 0 :

1	dx e ~ px( ) (x) =		2 ~ :
V 0(p) = (2 ~) 1 Z	dx e ~ px( ) (x) =		2 ~ :
		i
1

Уравнение Шр¼дингера в импульсном представлении примет вид

~(p) 2 ~

dp0 ~(p0) = E ~(p) ;

2pm

(p) c

2 ~

= E (p) ;

ãäå

c =

dp0 ~(p0) :

~(p) =

2 ~ (

(p2 2mE)

Подставим функцию ~(p) в таком виде в Ур. (4.419)

c =

~ (p2 2mE) :

(4.415)

(4.416)

(4.417)

(4.418)

(4.419)

(4.420)

(4.421)

173

Получаем условие на энергетический спектр ( E < 0)

1 =

dp ~ (p2 12mE)

(p2 + 2mjEj)

~ Z

= ~

(p + i 2m E )(p i 2m E )

= ~ (2 i)

2i 2m E

j j

(4.422)

(4.423)

=	~r	2( E)	:			(4.424)
		m
			E =	m 2
					:	(4.425)
				2~2	:	(4.425)

Получаем, что существует единственный дискретный уровень энергии (см. Ур. (4.144)).

Отвечающая ему волновая функция в импульсном представлении имеет вид Ур. (4.420). Нормируя функцию ~(p) на единицу, получаем, что

c =	r
		2 ~ :
		m

Действительно, рассмотрим нормировку функции ~(p)

c 2

1 =

dp j ~(p)j2 =

~ (p2

2mE)2

dp (p + i 2mjEj)21(p i 2mjEj)2

jcj2 Z

m 2

jcj2(2 i) dp (p + i

12m E )2

j j

p=ip2m E

2)p

(

2(2 i)

j j

(2ip2mjEj)3

	m1=2 2
=				jcj2
	~225=2jEj3=2
	~	2
=		jcj	:
	2 m

Таким образом, нормированная на единицу функция ~(p) имеет вид

~(p) =	r	2 ~3	(p2	12mE) ;	E = 2~2 :
		m3 3			m 2

(4.426)

(4.427)

(4.428)

(4.429)

(4.430)

(4.431)

(4.432)

(4.433)

174

Найд¼м, как эта функция выглядит в координатном представлении

m3 3

(x) = (2 ~) 1=2

dp e

(p2 2mE)

m3 3

dp e

2~4

(p + i 2m E

)(p

i 2m E

)

i p i j j

j j

m3 3

(x)

(2 )

xip2mjEj

2~4

(2i

2m E

)

( 2 ip)

j i j

+ ( x)

x( ip2mjEj)!

( 2i

)

= p

e {jxj

;

{

ãäå

{

Таким образом, нормированная на единицу функция

(x) имеет вид

(x) =

e {jxj :

{

Это надо сравнить с Ур. (4.145).

(4.434)

(4.435)

(4.436)

(4.437)

(4.438)

(4.439)

(4.440)

175

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 6727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf