Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 6726 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

4.8Гармонический осциллятор

Мы рассматриваем частицу, двигающуюся в потенциале

V (x) = 12m!2x2 ;

где m масса частицы, ! параметр потенциала.

Мы будем изучать стационарные состояния этой системы

(x; t) = e ~i Et (x) :

Стационарное уравнение Шр¼дингера имеет вид


			2			+ V (x) (x) = E (x) ;
			p
			2m
2 d2				1				(x) = E (x) :
~		+					m!2x2
2m	dx2				2

Гамильтониан системы имеет вид

^	~2 d2			1 2		2
H(x) =			+		m!	x	:
	2m	dx2		2
Сделаем замену переменных

(4.218)

(4.219)

(4.220)

(4.221)

(4.222)

x = :

(4.223)

Гамильтониан в новых переменных имеет вид

H(x)

2m 2

d 2

(4.224)

Выберем параметр так, чтобы

;

(4.225)

2m 2

(4.226)

Величина имеет размерность длины, соответственно, переменная безразмерная. При таком выборе мы получаем

	~2	=	1	m!2	2	=	1	~! :	(4.227)
2m 2							2
			2

156

Гамильтониан в новых переменных записывается как

H^ ( ) =

+ 2

(4.228)

d 2

Введ¼м оператор

+ d

a^ =

(4.229)

Оператор a^ не эрмитовский, так как оператор

d не эрмитовский. Заметим, что оператор

импульса p^ = i~dd является эрмитовским. Эрмитовски сопряж¼нный оператор имеет вид

a^+ =	p2		d	:
	1		d

Рассмотрим произведение операторов

a^a^+ =

a^+a^ =

2	+ d d							= 2 2
1		d					d		1
	2
1			d2			d	+ 1 +		d
2			d 2			d	+ 1 +		d
1	2		d2	+ 1
2	2		d 2	+ 1				= 2 2
2	d + d							= 2 2
1		d					d		1
	2
1			d2	+		d	1		d
2			d 2	+	d		1		d
1	2		d2	1
2	2		d 2	1

d2 d + d d 2 d d

d2 + d d d 2 d d

Соответственно, мы получаем

[^a; a^+] = a^a^+ a^+a^ = 1 :

Гамильтониан можно записать как

H^ ( ) = ~!	a^+a^ + 2		:
	1

Гамильтониан может быть определ¼н через оператор

^	= a^	+	a^ :
N

(4.230)

(4.231)

(4.232)

(4.233)

(4.234)

(4.235)

(4.236)

(4.237)

(4.238)

(4.239)

157

Исследуем оператор ^

N. Исследуем спектр оператора

^	=	a^	+	a^	(4.240)
N
^	= '( )				(4.241)
N '( )
h'j'i	=	1 :			(4.242)

1. Собственные значения неотрицательные: 0.

^	+	a^j'i = ha'^	ja'^ i 0 :	(4.243)
= h'jNj'i = h'ja^

2. Если ' собственная функция оператора N с собственным числом , тогда f = a'^ является или нул¼м, или также собственной функцией с собственным значением 1.

a^a'^ = (^aa^

1)^a' = a^a^

a'^

(4.244)

Nf = a^

a'^ = a^ ' a'^

= ( 1)^a' = ( 1)f :

(4.245)

= a^N'

Здесь мы использовали, что [^a; a^+] = a^a^+ a^+a^ = 1.

3. Обозначим минимальное собственное значение оператора ^

N êàê 0 и соотвествую-

щую собственную функцию как '0. Покажем, что 0 = 0.

a'^ 0

(4.246)

h'0ja^+a^j'0i = ha'^ 0ja'^

0i = 0 :

(4.247)

4. Все собственные значения оператора ^

N целые.

' ;

' m = a^

' 6= 0 ;

a'^ m = 0 :

(4.248)

N' =

h' mja^+a^j' mi = ha'^ mja'^ mi = 0 :

(4.249)

Таким образом, собственное значение целое: = 0; 1; 2; : : :

5. Если ' собственная функция N с собственным значением , тогда f является или нул¼м, или также собственной функцией с собственным значением

=a^+'

+ 1.

= a^

a^a^

' = a^

(^a

a^ + 1)' = a^

+ ^

(4.250)

N' + a^

= a^+ ' + a^+' = ( + 1)^a+' = ( 1)f :

(4.251)

Мы использовали, что [^a; a^+] = a^a^+

a^+a^ = 1.

Операторы a^ и a^+ называются

операторами рождения и уничтожения, соответ-

ственно.

158

Таким образом, мы получаем

^
N n( ) = n n( )	n + 2
H^ n( ) = En n( ) ; En = ~!	n + 2
	1
En+1 En = ~! :

Уровни энергии гармонического осцилятор эквидистантны. Получим собственные функции гамильтониана.

Будем предполагать, что собственные функции нормированны как

h nj n0i = nn0 :

Рассмотрим действие оператора a^

a^ n

cn n 1 :

ha^ nja^ ni = jcnj2h n 1j n 1i = jcnj2 :

Рассмотрим

ha^ nja^ ni = h nja^

a^j ni

= h njNj ni = n :

Мы получаем

n 1 :

a^ n

Мы можем записать

n 1

a^ n

a^ n+1 =

n + 1

a^+a^ n+1 =

n + 1^a+ n :

Мы также можем записать

a^ n+1

= N n+1 = (n + 1) n+1 = n + 1^a

n :

Таким образом, мы получаем

a^+ n =

n+1 :

n + 1

(4.252)

(4.253)

(4.254)

(4.255)

(4.256)

(4.257)

(4.258)

(4.259)

(4.260)

(4.261)

(4.262)

(4.263)

(4.264)

(4.265)

159

Обозначим волновую функцию основного состояния как '0:

H'0

= E0'0 ;

E0 =

(4.266)

Рассмотрим действие оператора a^ на волновую функцию '0

a'^ 0( ) = 0

(4.267)

+ d

'0( ) =

0 :

(4.268)

Решение уравнения имеет вид

'0( )

e 21 2 ;

(4.269)

1=4

h'0j'0i

= 1=2

dx e

= 1 :

(4.270)

Волновая функция основного состояния имеет вид

'0( ) =

e 21 2 ;

h'0j'0i = 1 :

(4.271)

1=4

Волновая функция n-ого состояния может быть получена из волновой функции (n 1)- ого состояния как

a^+

n 1 :

(4.272)

Далее мы запишем

a^+a^+

(^a+)n'0 :

n =

n 2 = : : : =

(4.273)

Мы получаем

n(n 1)

(^a+)n'0( ) =

(^a+)ne

n( ) =

(4.274)

1=4

Волновая функция n-ого состояния имеет вид

(^a+)ne

n( )

(4.275)

1=4

a^+

(4.276)

160

Рассмотрим следующее операторное равенство

e 2

a^+e

= e 2

p2 d e

p2 d e2

p2 e 2

+ e2

Волновую функцию n-ого состояния можно записать как

(^a+)n'0

n( ) =

+ a^+

: : : a^+ '0

| ^

{za^ E :}: : a^ E '0

+ ^

pn!

E a E

}

1 e21 |2 e 21 2

a^+e21 2 e 21 2 a^+e21 2 e 21 2 : : : a^+e21 2 e 21 2 '0 ;

ãäå

}

E^ = e21 2 e 21 2 :

n( ) =

e 21 2 a^+e21 2 : : : e 21 2 a^+e21 2 e 21 2 '0

21 2

1 d

21 2

}

'0 ;

( ) =

( 1)n

e21 2

e 2

1=4 pn!2n

d n

Волновая функция n-ого состояния можно представить как

( ) =

( 1)n

( )H

( ) ;

pn!2n

(4.277)

(4.278)

(4.279)

(4.280)

(4.281)

(4.282)

(4.283)

(4.284)

(4.285)

(4.286)

(4.287)

(4.288)

(4.289)

(4.290)

161

ãäå

0( ) =		1	e 21 2
	1=4

è Hn полиномы Эрмита

Hn( ) = ( 1)ne 2 ddnn e 2 :

Таким образом, собственные функции гамильтониана есть

n(x) =

h nj n0i =

dx n(x) n0(x) = n;n0

Мы получаем следующее выражение для волновой функции

n( )

n 1

a^ n

a^+

n+1

n =

n + 1

Мы можем написать

pn n 1

p2 + d

n =

pn + 1 n+1 :

p2 d

n =

Обращая это равенство, мы получаем

n =

n 1 + r

n+1

n + 1

d n =

n 1 r

n+1 :

n + 1

Используя эти равенства мы получаем

= h nj^j ni = r

n dd

ni = r

d = h

n 1i + r	2				h		nj n+1i = 0
		n + 1
nj n 1i r
nj n 1i r			2			h nj n+1i = 0 :
				n + 1

(4.291)

(4.292)

(4.293)

(4.294)

(4.295)

(4.296)

(4.297)

(4.298)

(4.299)

(4.300)

(4.301)

(4.302)

162

x n	=	r		r		n 1 + r			n+1!	(4.303)
			m!				2
					2
		~			n			n + 1

n + 1

n 1

n+1 :

(4.304)

Соответственно, мы получаем

h n jxj ni

= h

n j j

ni = 0 ;

(4.305)

ni = 0 :

h n i~dx ni

= i~ h

n d

(4.306)

( x)2 = hnjx2jni

(4.307)

hnjxjn0ihn0jxjni

(4.308)

= [hnjxjn + 1ihn + 1jxjni + hnjxjn 1ihn 1jxjni]

(4.309)

rm! r

! +

rm! r

2 !

(4.310)

n + 1

=		~	n +	1	:	(4.311)
	m!			2

Здесь мы использовали Ур. (4.303).

( p)2 = hnjp^2jni

p2 =

(4.312)

= ~2

hnjp^jn0ihn0jp^jni

hnjdxjn0ihn0jdxjni

(4.313)

= ~2

[hnj

jn + 1ihn + 1j

jni + hnj

jn 1ihn 1j

jni]

(4.314)

r ~

(4.315)

n + 1

= m!~ n +	1	:	(4.316)
	2

Здесь мы использовали Ур. (4.304).

163

Сравнение классического и квантового гармонического осциллятора 1. Полная энергия классического осцилятора может принимать любые положитель-

ные значения, начиная с нуля. При E = 0 частица покоится в начале координат. Для квантового осциллятора минимальная энергия

E0 =	1	~! :	(4.317)
	2

Уровни энергии квантового осциллятора эквидистантны


En	=	~!	n + 2	(4.318)
			1
En+1 En	=	~! :		(4.319)

2. Средние значени координаты и импульса равны нулю

x	=	0 ;	(4.320)
p	=	0 :	(4.321)

3. Связь энергии и среднеквадратичного отклонения (дисперсии координаты) одинакова для классического и квантового гармонического осциллятора

En =	m!2( x)2 = m!2hnjx2jni		(4.322)
=	m!2 m! n +	2	(4.323)
	~	1

= ~! n +	1	:	(4.324)
	2

Здесь мы использовали Ур. (4.311).

4. Теорема вириала выполняется для квантового и классического осцилятора


	=	V (x) ;			(4.325)
En
			p^2
hnjV (x)jni	=	hnj		jni	(4.326)
			2m

Действительно, используя Ур. (4.311) и (4.316), мы получаем

hnjV (x)jni =

m!2

hnjx2jni

(4.327)

V (x) =

m!2

n +

;

(4.328)

164

p^2

n +

hnj

jni =

m!~

5. Дисперсии координаты и импульса имеют вид

( x)2 = (x x)2 = x2 = m!			n + 2
	~			1
( p)2 = (p p)2 = p2 = m!~			n + 2
				1
1				2
( p)2( x)2 = ~2 n +				:
		2

Для случая основного состояния ( n = 0)

( p)( x) = ~2 :

Соотношение неопредел¼нности Гейзенберга имеет вид равенста.

(4.329)

(4.330)

(4.331)

(4.332)

(4.333)

Ðèñ. 4.8:

165

Ðèñ. 4.9:

166

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 6726 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf