- •Введение
- •Список литературы
- •Экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической механики
- •Опыты, демонстрирующие волновые свойства электрона
- •Гипотиза де Бройля (Louis de Broglie). 1924
- •Опыт Дж. П. Томсона (George Paget Thomson). 1927
- •Опыт Л. Бибермана, Н. Сушкина и В. Фабриканта. 1949
- •Математический аппарат квантовой механики
- •Гильбертово пространство
- •Примеры гильбертова пространства.
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Примеры операторов
- •Соотношения между операторами
- •Свойства операторов
- •Дельта-функция
- •Общая процедура построения дельтообразных последовательностей
- •Собственные функции операторов с непрерывным спектром
- •Собственные функции оператора импульса
- •Собственные функции оператора координаты
- •Унитарные операторы
- •Оператор координаты и импульса в импульсном представлении
- •Функция от оператора
- •Две теоремы о коммутирующих операторах
- •Основы квантовой механики
- •Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины.
- •Волновая функция
- •Определение 1.
- •Волновая функция. Определение 2.
- •Измеримость физической величины
- •Редукция волнового пакета
- •Оператор импульса
- •Квантовые скобки Пуассона
- •Оператор эволюции
- •Стационарные состояния
- •Уравнение неразрывности
- •Примеры гамильтонианов
- •Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg)
- •Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга
- •Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest)
- •Минимизирующий волновой пакет
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы.
- •Матричное представление операторов
- •Простейшие модели
- •Одномерное движение
- •Качественный анализ спектра гамильтониана.
- •Прямоугольная потенциальная яма
- •Прямоугольный потенциальный барьер
- •Гармонический осциллятор
- •Когерентные состояния гармонического осциллятора
- •Дижение в центральном поле
- •Оператор орбитального момента
- •Операторы сдвига и поворота
- •Инверсия
- •Оператор орбитального момента в сферических координатах
- •Оператор момента
- •Шаровые спиноры (spinor spherical harmonics)
- •Шаровые векторы (vector spherical harmonics)
- •Движение в центральном поле
- •Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр
- •1s-электрон
- •Свободная частица как частица в центральном поле
- •Уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака для свободной частицы
- •Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного электрона
- •Полный угловой момент электрона
- •Зарядовое сопряжение
- •Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули.
- •Уравнение неразрывности для уравнения Дирака
- •Радиальное уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр
- •Стационарная теория возмущений
- •Квазивырожденная стационарная теория возмущений
- •Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней
- •Эффект Зеемана. Бесспиновая частица
- •Аномальный эффект Зеемана
- •Эффект Штарка
- •Квадратичный эффект Штарка
- •Линейный эффект Штарка
- •Теория нестационарных возмущений
- •Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения
- •Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени
- •Движение в магнитном поле
- •Спин в магнитном поле
- •Движение в однородном магнитном поле
- •Фаза Берри
- •Плотность потока вероятности и векторный потенциал
- •Теория рассеяния
- •Рассеяние микрочастиц
- •Формула Борна
- •Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале (потенциале Юкавы)
- •Рассеяние заряженных частиц атомами
- •Метод парциальных волн
- •Эффект Рамзауера
- •Квантовая задача многих тел
- •Система тождественных частиц. Принцип Паули.
- •Одночастичное приближение
- •Матрица плотности
- •Матрица плотности
- •Свойства матрицы плотности. Статистический оператор
- •Квантовое уравнение Лиувилля
- •Матрица плотности подсистемы
- •Введение в теорию молекул
- •Система двух электронов
- •Молекула водорода. Ковалентная связь
- •Уравнение Хартри-Фока
- •Детерминант Слэтера
- •Вариационный принцип
4.7Прямоугольный потенциальный барьер
26.10.2021
Мы рассматриваем движение квантовой частицы в следующем потенциале
V (x) = |
8 V0 |
; |
a x a |
; |
(4.190) |
|
|
< |
0 |
; |
x < a |
|
|
|
0 |
; |
x > a |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
ãäå V0 > 0.
Ðèñ. 4.5:
Гамильтониан системы имеет вид
^ |
p^2 |
~2 d2 |
|
||||
H = |
|
+ V (x) = |
|
|
|
+ V (x) : |
(4.191) |
2m |
2m |
dx2 |
|||||
В таком потенциале у частицы нет дискретного спектра. Весь спектр непрерывный:
E > 0.
Задачу можно решать так, как это было сделано для прямоугольной потенциальной ямы (случай E > 0), заменив V0 íà V0.
Опять разделим вещественную ось на три части: I, II и III. Решение для областей I, II, III
1(x) = |
A1eikx + B1e ikx ; |
(4.192) |
|
2(x) |
= |
A2ei{x + B2e i{x ; |
(4.193) |
3(x) |
= |
A3eikx + B3e ikx : |
(4.194) |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
= |
r |
|
|
|
|
|
(4.195) |
2~2 |
E ; |
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
{ |
= |
r |
|
|
|
(4.196) |
||
2~2 |
( V0 + E) : |
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
151
Пусть частица налетает на потенциальный барьер слева, jA1j2. Поток частиц, на- летающих слева, определяется коэффициентом A1. Поток частиц, налетающих справа, определяется коэффициентом B3, пусть он нулевой
|
|
|
|
|
|
|
|
~k |
2 |
|
|
|
|
|
ji = |
|
jA1j |
|
; |
(4.197) |
|||||
|
|
m |
|
|||||||||
|
|
B3 = 0 : |
|
|
(4.198) |
|||||||
Энергия ниже барьера: 0 < E < V0. |
|
|
|
|||||||||
Решение для областей I, II, III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x) |
= |
A1eikx + B1e ikx ; |
(4.199) |
||||||||
|
2(x) |
= |
A2ei{x + B2e i{x ; |
(4.200) |
||||||||
|
3(x) |
= |
A3eikx + B3e ikx : |
(4.201) |
||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
= |
r |
|
|
|
|
|
|
|
(4.202) |
||
2~2 |
|
E ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||
{ |
= |
r |
|
|
|
|
|
(4.203) |
||||
2~2 |
|
( V0 + E) = i : |
||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||
Заменяя V0 íà V0 в формулах (4.202), (4.203), (4.181), (4.182), получаем выражения для коэффициентов прохождения и отражения:
R |
= |
|
p |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1 + p |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1 + p |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
= |
|
V02 sin2(2{a) |
= |
V02( i sh(2 a))2 |
||||||
|
4E(E V0) |
4E(E V0) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
V02 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
sh |
(2 a) |
|||
|
4E(V0 E) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= i{ = |
r |
2~2 |
(V0 E) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
(4.204)
(4.205)
(4.206)
(4.207)
(4.208)
При энергиях 0 < E < V0 величина p 6= 0 и при увеличении энергии монотонно убывает, а при E ! 0 параметр p ! 1. Имеем,
E |
! 0 ; |
p ! 1 ; |
R ! 1 ; |
T ! 0 ; |
|
|
|
|
|
(4.209) |
||
E |
! V0 ; |
p ! Q ; |
R ! |
Q |
|
; T |
! |
|
1 |
|
: |
(4.210) |
1 + Q |
1 + Q |
|||||||||||
152
|
|
|
V 2 |
|
|
|
V 2 |
|
|||
p |
= |
|
0 |
sh2(2 a) = |
0 |
(2 a)2 + O( 3) |
(4.211) |
||||
4E(V0 2 E) |
4E(V0 E) |
||||||||||
|
= |
4E(V00 E) |
4a2 |
2~2 (V0 E) + O((V0 E)3=2) |
(4.212) |
||||||
|
|
|
V |
|
|
|
m |
|
|||
|
|
2ma2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
V02 |
+ O((V0 |
E)1=2) |
(4.213) |
||||
|
|
E~2 |
|||||||||
Q |
= |
|
2ma2 |
V |
2 |
: |
|
|
|
|
(4.214) |
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
E~2 |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 4.6: Волновая функция (x) как функция координаты. Тонкая сплошная линия Re , точечная линия Im , жирная сплошная линия j j.
153
Энергия выше барьера: E > V0. Заменяя V0 íà V0 в формулах (4.172), (4.173), (4.180)
p = |
V02 sin2(2{a) |
|
= |
({2 k2)2 sin2(2{a) |
|
|
4E(E V0) |
(2{k)2 |
(4.215) |
||||
|
|
|||||
Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид
R |
= |
p |
; |
(4.216) |
|
1 + p |
|||||
|
|
|
|
||
T |
= |
1 |
: |
(4.217) |
|
1 + p |
|||||
|
|
|
|
Ðèñ. 4.7:
Сравнение движения классической и увантовой частиц. 1. При E < V0классические частицы не могут пройти сквозь барьер и отражаются ( R = 1, T = 0). Квантовые частицы
могут пройти сквозь барьер несмотря на то, что их энергия меньше, чем высота барьера. Это туннельный эффект.
2. Поведение квантовых частиц почти не меняется, при изменении энергии около зна- чения E = V0. Классические частицы полностью отражаются при E = V0 0 и полность
отражаются при E = V0 + 0.
154
3. Ïðè E > V0 классические частицы полностью проходят над барьером. Барьер влияет только на скорость классических частиц. Квантовые частицы частично проходят над барьером, частично отражаются. Это надбарьерное отражение. Лишь при некоторых, резонансных, энергиях квантовые частицы полностью проходят сквозь барьер.
Г.А. Гамов, УФН 10, вып.4, стр.531 (1930) Очерк развития учения о строении атомного ядра. Теория радиоактивного распада
https://doi.org/10.3367/UFNr.0010.193004d.0531
155