Мы получаем, что должно выполняться условие

Таким образом, потенциал вида V (x) = (x), где > 0, описывает одномерную систему с одним дискретным уровнем энергии Ур. (4.144) и непрерыным спектром при

Это надо сравнить с Ур. (4.440).

4.6Прямоугольная потенциальная яма

Подробно материал этого параграфа представлен в главе 2 книги [Абаренков И.В., Загуляев С.Н. Простейшие модели в квантовой механике ]. Эта тема должна подробно обсуждаться на семинарах.

Мы рассматриваем движение квантовой частицы в следующем потенциале

Мы будем изучать стационарные состояния системы (см. Ур. (3.291)), т.е., состояния, описываемые волновой функцией вида

145

Ðèñ. 4.2:

Используя Ур. (4.8), мы можем сказать, что спектр нашего гамильтониана лежит в интервале

Используя Ур. (4.56), мы можем сказать, что спектр в интервале V0 E 0, будет дискретным и невырожденным.

Заметим, что рассматриваемый потенциал является ч¼тной функцией ( V ( x) = V (x)).

Следовательно, с уч¼том Ур. (4.109) мы также можем сказать, что волновые функции дискретного спектра будут обладать определ¼нной ч¼тностью.

Используя (4.67), мы можем сказать, что спектр в интервале E 0, будет непрерыв-

ным и двукратно вырожденным.

Разделим вещественную ось на три области: I, II и III, как показано на рисунке 4.2. На границе этих областей волновая функция и е¼ первая производная должны быть

непрерывны (см. 4.5).

Отрицательные энергии: V0 < E < 0. Решение для областей I, II, III

146

Условия сшивания

Заметим, что, так как функция (x) обладает определ¼нной ч¼тностью, то достаточно рассмотреть условия сшивания в одной точке, пусть в точке x = a.

Ч¼тные решения:

Условия сшивания в точке x = a приводят к уравнению

Åñëè l является решением Ур. (4.163), то энергия l-го состояния есть

1.Для ч¼тных решений при любых значениях a и V0 имеется по крайней мере один ч¼тный дискретный уровень.

2.При любых конечных значениях a и V0 число дискретных ч¼тных уровней в яме конечно.

Неч¼тные решения:

Условия сшивания в точке x = a приводят к уравнению

p

ctg = Q 2 ; (4.168)

1.В яме имеются неч¼тные дискретные уровни, если параметр ямы Q > 2=4.

2.При любых конечных значениях a и V0 число дискретных неч¼тных уровней в яме конечно (или нуль).

147

Ðèñ. 4.3:

Ðèñ. 4.4:

Сравнение движения квантовой и классической частиц при E 0.

1.Классическая частица может иметь любую энергию в интервале V0 E 0. Квантовая частица может находиться только на одном из дискретных уровней.

2.Плотности вероятностей найти частицу в точке различаются.

Положительные энергии E > 0.

148

Спектр непрерывный: E > 0.

Пусть частица налетает на яму слева. Тогда jA1j2 зада¼т плотность потока падающих частиц (см. Ур. (4.82), (4.85))

149

Видно, что

Рассмотрим как эти коэффициенты ведут себя в пределе больших и малых энергий:

В частности, если E = En

то 2{a = n и p = 0. Яма при этих энергиях полностью прозрачна. Такие уровни энергии

называют резонансными.

Так как E > 0, мы имеем условие

Сравнение движения классической и квантовой частицы.

1.При положительных энергиях все классические частицы проходят через яму, а квантовые частицы, в общем случае, частично отражаются от ямы. Поведение классиче- ской и квантовой частицы сильно отличаются при малых энергиях и очень похожи при больших энергиях.

2.При резонансных энергиях

для ч¼тных и неч¼тных решениях яма становится полностью прозрачной для квантовой частицы (R = 0), а квадрат амплитуды внутри ямы достигает максимума.

150