Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 6723 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Глава 4

Простейшие модели

4.1Одномерное движение

Рассмотрим систему с гамильтонианом

^	p^2		~2 d2
H =		+ V (x) =			+ V (x) ;
	2m		2m	dx2

где V (x) вещественная функция.

Рассмотрим среднее значение гамильтониана на волновой функции

	^	1		2
h	jHj i =		2m	h jp^ j i + h jV j i h jV j i ;
h	jp^2j i = hp^ jp^ i 0 ;
	h j i =	1 :

Таким образом, в квантовой механике справедливо следующее неравенство

				Vmin ;
E	= H		V	Vmin ;

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

ãäå Vmin = min V . Это неравенство зада¼т ограниченность гамильтониана снизу.

Рассмотрим далее стационарные состояния, то есть, состояния, описывающиеся волновыми функциями вида

(x; t)	=	e	i	Et (x) ;	(4.6)
			~
где функция (x) является собственной для гамильтониана
^					(4.7)
H (x) = E (x) :
Тогда Ур. (4.5) принимает вид
E		Vmin :			(4.8)
	V

130

Рассмотрим стационарные состояния

(x; t)

(x) ;

(4.9)

(x)

E (x)

(4.10)

h j i = 1 :

(4.11)

Стационарное уравнение Шр¼дингера имеет вид

p^2

H^ (x) =

+ V (x)

(x) =

+ V (x)

(x) = E (x) :

(4.12)

dx2

Выделим у функции

вещественную и мнимую часть

(x) =

(r)(x) + i

(i)(x) ;

(r)(x);

(i)(x) 2 R:

(4.13)

Заметим, что вещественная и мнимая часть функции

удовлетворяют одному и тому

же уравнению

+ V (x)

(r,i)(x)

= E

(r,i)(x) :

(4.14)

dx2

Соответственно, функции (x) и (x) удовлетворяют одному и тому же уравнению.

Таким образом, мы можем сделать вывод: если оператор потенциальной энергии зада¼тся вещ¼ственной функцией (V (x)), то решения стационарного уравнения Шр¼дингера

можно сделать вещественными.

Покажем, что в одномерном случае все энергетические уровни дискретного спектра невырождены. Рассмотрим стационарное уравнение Шр¼дингера в следующем виде

= E

(4.15)

p^2

+ V

(4.16)

+ V

(4.17)

2m dx2

00 + V

;

00 =

(4.18)

dx2

(V E)

(4.19)

Предположим, что уровень энергии E вырожден, т.е., существует две собственные функ- öèè ( 1, 2) с таким собственным значением

=	E	1 ;	(4.20)
=	E	2 :	(4.21)

131

n(x), ñîîò-

Тогда эти функции удовлетворяют следующим уравнениям

=	2m		(V E)	1 ;	(4.22)

	~2
=	2m		(V E)	2 :	(4.23)
		~2

Домножим Ур. (4.22) на		2, à Óð. (4.23) íà										1
	100	=		2m			2(V		E)					=				2m	(V E)		1 ;	(4.24)
2												1								2
2			~2									1						~2		2
	200	=		2m			1(V		E)					=				2m	(V E)		2 :	(4.25)
1												2								1
1			~2									2						~2		1
Вычтем эти уравнения
							2 100				1	200 = 0 :										(4.26)
Заметим, что последнее расенство можно записать в виде
			2 100						1 200 =					d					10 1 20 ) :
	0	=															(	2				(4.27)
	0	=												dx			(	2				(4.27)
Проинтегрировав это равенство, мы получаем
		2(x) 10 (x)								1(x)		20 (x) = const :										(4.28)
Из Ур. (4.4) следует, что		1(1) =							2(1) = 0. Соотвественно, мы получаем, что
const = 0
èëè							2 10				1	20		=				0				(4.29)
èëè									0					0
									0					0
									1		=			2	;							(4.30)
									1		=			2	;							(4.30)
									1					2
						d								d
								ln	1		=					ln 2 :						(4.31)
					dx			ln	1		=		dx			ln 2 :						(4.31)
Проинтегрировав последнее равенство, мы получаем
			ln 1				=		ln		2 + c ;											(4.32)
			1					= c0			2 ;						c0 = ec :					(4.33)

Получаем, что функции 1 è 2 описывают одно и то же состояние системы. Замечание: для того, чтобы собственное значение было невырожденным достаточно

выполнения одного из условий 1;2(1) = 0 èëè 1;2(1) = 0.

Имеет место осцилляционная теорема (без доказательства): функция ветствующая n-му собственному значению En обращается в нуль (при конечных значе- ниях x) n раз. Мы предполагаем, что уровни энергии пронумерованы по возрастанию (En < En+1, n = 0; 1; 2; : : :).

132

4.2Качественный анализ спектра гамильтониана.

Рассмотрим потенциал V (x), имеющий следующую асимптотику

	0	;	x ! 1
V (x) =	V0	;	x ! 1 ; V0	> 0 ; :	(4.34)

Будем считать, что V (x) ! 0 при x ! 1 быстрее чем 1=x. Также будем считать, что

Vmin = min V (x) < 0 :

(4.35)

Вы делим три интервала спектра

1.Vmin < E < 0

2.0 E < V0

3.V0 E .

1.Рассмотрим случай отрицательных энергий: Vmin < E < 0.

При достаточно больших x мы можем заменить потенцил его асимптотичекими зна- чениями. Уравнение Шр¼дингера примет вид

~2 d2

(x)

= E (x) ;

x ! 1

(4.36)

dx2

(x)

A+ex + A e x ;

x ! 1 ;

(4.37)

где удовлетворяет уравнению

(4.38)

2m( E)

> 0 ;

(

E) > 0 :

(4.39)

~2 d2

(x)

(E V0) (x) ;

x ! 1

(4.40)

dx2

(x)

B+ex + B e x ;

x ! 1 ;

(4.41)

где удовлетворяет уравнению

= E V0

(4.42)

133

=	r	2m( ~2		+	V	0)		> 0 ; ( E + V0) > 0 :	(4.43)
			E		V

Экспоненциально расходящиеся решения являются нефизичными, они нас не интересуют. Поэтому мы должны положить A+ = 0, B = 0

	A e x	;	x ! 1
(x) =	B+ex	;	x ! 1 :

Мы получаем, что (1) = 0. Продифференцировав Ур. (4.44) мы получаем

	A e x	;	x ! 1
0(x) =	B+ ex	;	x ! 1 :

Объединяя Ур. (4.44) и (4.45), мы можем записать

0(x) (x)	=	0 ;	x ! 1 ;
0(x) + (x)	=	0 ;	x ! 1 :

(4.44)

(4.45)

(4.46)

(4.47)

Уравнения (4.46), (4.47) задают однородные граничные условия на решения уравнения Шр¼дингера.

Уравнение Шр¼дингера является дифференциальным уравнением второй степени. Соответственно, оно имеет два линейно независимых решения '1 è '2. Любое решение уравнения Шр¼дингера ( ) может быть разложено по этим решениям

(x) = c1'1(x) + c2'2(x) :				(4.48)
Рассмотрим однородные граничные условия в точках x = a и x = a, a ! 1.
0( a)	( a)	=	0 ;	(4.49)
0(a) +	(a)	=	0 :	(4.50)

Согласно Ур. (4.46), (4.47), функция (x) должна удовлетворять этим граничным усло-

âèÿì.

Подставим функцию в виде разложения Ур. (4.48) в граничные условия (4.49), (4.50)

c1'10 ( a) + c2'20 ( a) c1'1( a) c2'2( a)	=	0 ;	(4.51)
c1'10 (a) + c2'20 (a) + c1'1(a) + c2'2(a)	=	0 :	(4.52)
c1 ['10 ( a) '1( a)] + c2 ['20 ( a) '2( a)]	=	0 ;	(4.53)
c1 ['10 (a) + '1(a)] + c2 ['20 (a) + '2(a))]	=	0 :	(4.54)

134

Последнее уравнение можно рассматривать как

	^	(4.55)
	A(E)c = 0 ;	(4.55)
ãäå ^	2, зависящая от энергии E как от параметра, c = (c1; c2) вектор.
A(E) матрица 2
Ненулевое решение Ур. (4.55) существует только, если матрица		^
		A(E) вырождена, т.е.,
	^	(4.56)
	detfA(E)g = 0 :	(4.56)

Последнее уравнение определяет спектр уравнения Шр¼дингера на интервале Vmin < E < 0. В этом случае спектр дискретный.

По-простому, можно сказать следующее: у нас имеется два свободных коэффициента c1 è c2, и есть два однородных граничных условия (одно на +1, другое на 1) плюс функция долна быть нормированной (ненулевой [нулевое решение удовлетворяет однородным граничным условиям]). Мы имеем три условия на два коэффициента. Эти три условия могут быть выполнены только при определ¼нных энергиях E.

Количество дискретных уровней энергии может быть бесконечно, конечно или нуль.

2. Рассмотрим случай энергий в интервале 0 E < V0.

~2 d2				E (x) ; x ! 1	(4.57)
		(x)	=
2m	dx2	(x)	=
		(x)	=	A+ei{x + A e i{x	(4.58)
			= As sin {x + Ac cos {x		(4.59)
			=	A cos({x + ) ; x ! 1 ;	(4.60)

где { удовлетворяет уравнению

= E

{ =

> 0 ;

E > 0 :

2~2

~2 d2

(x) = (E V0) (x) ;

x ! 1

dx2

(x) = B+e x + B e x ; x ! 1 ;

(4.61)

(4.62)

(4.63)

(4.64)

135

где удовлетворяет уравнению

					~2			2	= E V0	(4.65)
				2m
=	r								> 0 ; ( E + V0) > 0 :	(4.66)
		2m( ~2			+	V	0)
			E

Исключая нефизичные экспоненциально расходящиеся решения, мы должны положить B = 0

	A+ei{x + A e i{x	;	x ! 1
(x) =	B+e x	;	x ! 1 :	(4.67)

Мы получаем, что ( 1) = 0. Соответственно, мы получаем однородное граничное условие при x ! 1.

Однако, в этом случае у нас нет граничного условия при x ! +1, которое бы следо-

вало из физичности решения. Спектр получается непрерывным.

В виду наличия условия ( 1) = 0 спектр будет невырожденным. Соответственно, в этом случае спектр непрерывный, невырожденный.

3. Рассмотрим случай энергий в интервале V0 E.

~2 d2

(x)

E (x) ;

x ! 1

(4.68)

dx2

x ! 1 ;

(x)

A+ei{x + A e i{x ;

(4.69)

где { удовлетворяет уравнению

= E

(4.70)

{ =

> 0 ;

E > 0 :

(4.71)

~2 d2

(x)

(E V0) (x) ;

x ! 1

(4.72)

dx2

(x)

B+eikx + B e ikx ;

x ! 1 ;

(4.73)

136

где k удовлетворяет уравнению

= E V0

(4.74)

2m(E V0)

> 0 ;

(E V0) > 0 :

(4.75)

(x)

B+eikx + B e ikx ;

x ! 1

(4.76)

A+ei{x + A e i{x ;

x ! 1

В этом случае у нас нет граничных условий, которые бы следовали из физичности решения.

Соответственно, в этом случае спектр непрерывный, вырожденный.

Собственные функции непрерывного спектра не принадлежат гильбертовому пространству. Мы говорим, что функции непрерывного спектра описывают поток частиц (см. Ур. (3.370), (3.372))

ipx

E;p(x; t) = e Et~ p(x) = (2 ~) 1=2 e Et~ e ~ ;

E =

(4.77)

(x; t)

p = (2 ~)

;

(4.78)

E;p E;p = p

(4.79)

j(x; t)

2m pp p + (p p) p

p p

= (2 ~) 1

(4.80)

j(x; t)[A+ei{xe ~ Et] =	2m (A+ei{x
i	1
= 2m (A+ei{x
	1
	~{		2
=			jA+j :
		m

	d		( i~)	d
) ( i~)		A+ei{x +			A+ei{x
	dx			dx

) (~{A+ei{x) + ~{A+ei{x A+ei{x

A+ei{x

(4.81)

(4.82)

Таким образом, функция непрерывного спектра

(x; t) = A+ei{xe	i	Et	(4.83)
	~

137

описывает поток частиц, двигающихся в положительном направлении оси x.

j(x; t)[A e i{xe

Et] =

(A e i{x) ( i~)

A e i{x

+ ( i~)

A e i{x

2m (A e i{x) ( ~{A e i{x) +

~{A e i{x A e i{x

(4.84)

jA j

(4.85)

Таким образом, функция непрерывного спектра

(x; t) = A e i{xe

(4.86)

описывает поток частиц, двигающихся в отрицательном направлении оси x.

4.3Симметрия (ч¼тность) решений стационарного уравнения Шр¼дингера

			23.10.2021
Пусть есть самосопряж¼нный оператор ^
	A, коммутирующий с гамильтонианом систе-
ìû
^ ^	^ ^	^ ^	(4.87)
[H; A]	= HA	AH = 0 :	(4.87)

В параграфе 2.15 мы рассматривали две теоремы о коммутирующих операторах. Вторая теорема говорит, что если два самосопряж¼нных оператора коммутируют, то они имеют общий набор собственных функций

^	n	=	En	n ;	(4.88)
H
^	n	=	an	n :	(4.89)
A

Рассмотрим оператор инверсии (см. Ур. (2.56), (2.166))

^	(4.90)
I (x) = ( x) :

Заметим, что

^2	^	(4.91)
I	= E ;	(4.91)

ãäå ^

E единичный оператор.

138

Мы знаем, что собственные функции оператора инверсии имеют вид (см. Ур. (2.171))


'g(x) =	1	( (x) +	( x)) ; 'u(x) =		1	(	(x) ( x))	(4.92)

	2				2
^	1 'g(x) ;		^	'g(x) ;			= 1; 1 :	(4.93)
I'g(x) =			I'u(x) = 1

Собственные функции оператора инверсии это функции с определ¼нной ч¼тностью: ч¼тные ('g( x) = 'g(x)) èëè íå÷¼òíûå ('u( x) = 'u(x)) функции.

Рассмотрим гамильтониан вида

^	p^2
H =		+ V (x) ;	(4.94)
	2m

где V (x) вещественная функция.

Заметим, что оператор кинетической энергии коммутирует с оператором инверсии

p^2

(x)

[

; I^] (x) =

( x) I^

(4.95)

@x2

(

00( x)

00( x)) = 0 ; 8 :

(4.96)

Чтобы гамильтониан Ур. (4.94) коммутировал с оператором инверсии, необходимо чтобы последний коммутировал с оператором потенциальной энергии

^	=	^	^			(4.97)
[V; I]		V I	IV = 0 ;
^	=		^	^	(x)	(4.98)
[V; I] (x)		V (x)I		(x) IV (x)
	=	V (x)		( x) V ( x)	( x) = 0 ; 8 :	(4.99)

Таким образом, если функция V (x) ч¼тная

V ( x) = V (x) ;

(4.100)

тогда оператор инверсии коммутирует с гамильтонианом

^ ^	^ ^	^ ^	(4.101)
[H; I]	= HI	IH = 0 :	(4.101)

Пусть далее условие Ур. (4.100) выполнено.

Соответственно, согласно второй теореме 2.15, гамильтониан и оператор инверсии должны иметь общий набор собственных функций.

Это можно также показать напрямую, не используя теорему 2.15.

1. Рассмотрим сначала случай, когда собственное значение E невырождено. Пусть функция (x) собственная функция для гамильтониана

^	(4.102)
H (x) = E (x) :

139

В этом случае собственная фнкция должна обладать определ¼нной ч¼тностью: быть ч¼тной ( ( x) = (x)) или неч¼тной ( ( x) = (x)) функцией.

Действительно, подействуем на Ур. (4.102) оператором инверсии и воспользуемся Ур. (4.101)

^ ^	(x)	=	^	(x)
IH			IE
^ ^	(x)	=	^	(x)
HI			IE

H ( x) = E ( x)

Так как собственное значение E невырожденное, то функции отличаться только на константу

I (x) = c (x)

Подействуем на это равенство оператором инверсии

(4.103)

(4.104)

(4.105)

(x) и I (x) = ( x) могут

(4.106)

	^2	(x)	=	^	(x) = c	2	(x)	(4.107)
	I	(x)	=	Ic	(x) = c		(x)	(4.107)
С другой стороны ^2	^
I	= E
	^2	(x)	=	^	(x) = (x) :			(4.108)
	I	(x)	=	E	(x) = (x) :			(4.108)
Из условия c2 = 1 получаем, что c = 1, т.е., функция							обладает определ¼нной ч¼тно-
ñòüþ
		( x)		=	(x) :			(4.109)

2.Рассмотрим теперь случай, когда собственное значение E (двукратно) вырождено.

Âэтом случае собственные функции гамильтониана могут быть выбраны как функции с определ¼нной ч¼тностью: ч¼тными или неч¼тными.

Действительно, накладывая граничные условия Дирихле

^	= E (x) ;		(4.110)
H (x)	= E (x) ;		(4.110)
(x1)	=	A ;	(4.111)
(x2)	=	B ;	(4.112)

мы можем получить решение стационарного уравнения Шр¼дингера, не обладающее определ¼нной ч¼тностью. Например, мы можем выбрать: x1 = 1, x2 = 1, A = 1, B = 0.

В этом случае функции		(x) è	( x) будут линейно независимыми. Тогда мы можем
ввести следующие две функции
'g(x) =	1	( (x) +	( x)) ;	'u(x) =	1	( (x) ( x)) :	(4.113)

	2				2

140

Это будут ненулевые функции, так как (x) и ( x) линейно независимы.

Функции 'g(x) è 'u(x) обладают определ¼нной ч¼тностью: ч¼тная и неч¼тная функ-

ция, соответственно. Обе эти функции являются собственными для уравнения Шр¼дингера с собственным числом E.

Замечание: в предыдущем случае у нас было только одно физичное решение уравнения Шр¼дингера. В этом случае у нас оба решения физичные и мы можем накладывать условия Дирихле.

Мы доказали, что гамильтониан и оператор инверсии имеют общий набор собственных функций.

4.4Сравнение движения классической и квантовой ча- стицы

Движение классической частицы удобно описывать с помощью траектории. С другой стороны, ввиду соотношения неопредел¼нностей Гейзенберга, у квантовой частицы нет траектории.

Однако, для описания движения классической и квантовой частиц мы можем использовать плотность вероятности. Плотность вероятности для квантовой частицы определяется как

(x) = j (x)j2 :

(4.114)

Мы ограничимся рассмотрением стационарных состояний, в которых плотность вероятности не зависит от времени.

Введ¼м понятие плотности вероятности для классической частицы. Рассмотрим движение частицы с энергией E и с потенциальной энергией V (x). Пусть классически раз-

реш¼нная область (V (x) E) ограничивается отрезком x1 è x2 и пусть в ней частица движется с периодом T . Вероятность найти частицу в отрезке [x; x + dx] есть

dw[x;x+dx]		=	dt		;	(4.115)

				T
где dt время за которое частица проходит отрезок [x; x + dx]
dt =	2	dx		;		(4.116)

		u(x)

где u(x) скорость частицы. Фактор 2 появляется, так как за период частица проходит отрезок два раза. Выражение для вероятности принимает вид

dx
dw[x;x+dx] = 2u(x) T	;	(4.117)

141

Плотность вероятности, соттветственно, будет равна

класс(x) =	dw[x;x+dx]	=	2	:
	dx		u(x) T

Для определения скорости частицы воспользуемся законом сохранения энергии

mu(x)2

+ V (x)

u(x)

8	0
>
<	1
класс(x) =
>		T
>	0
:

= E ;

=m2 (E V (x))

; x < x1

2m ; x1 x x2

E V (x)

; x > x2

(4.118)

(4.119)

(4.120)

(4.121)

Ðèñ. 4.1:

Плотность вероятности найти частицу в точках поворота максимальна, так как в этих точках скорость частицы равна нулю.

Плотность вероятности найти частицу минимальна в точках, где потенциальная энергия минимальна, а, соответственно, скорость максимальна.

Замечание: поведение классической и квантовой частицы в точках поворота сильно различаются (см. Ур. (3.511)).

142

4.5Непрерывность волновой функции и е¼ первой про-

изводной

Рассмотрим волновую функцию (x), удовлетворяющую стационарному уравнению Шр¼дингера

E (x) ;

(4.122)

H (x) =

p^2

H =

+ V (x) =

dx2

+ V (x) :

(4.123)

Покажем, что если потенциал V (x) не имеет сингулярностей, то функция

(x) è å¼

производная (

(x)) должны быть непрерывны.

(x) имеет разрыв первого рода в точке

Действительно, предположим, что функция

x = a

(a + 0)

= (a 0) + ;

j j > 0 ;

(4.124)

тогда в близи точки x = a е¼ можно представить как

(x)

~(x) + (x a)

x = a :

(4.125)

~(x)

;

(4.126)

(x)

;

x < a

(x)

;

x > a

ãäå ~(x) непрерывная функция, (a 0) функция Хевисайда (см. Ур. (2.282)). Используя (2.283), мы получаем

d	(x) =	d	~(x) + (x a)

dx		dx

=dxd ~(x) + (x a) :

(4.127)

(4.128)

Таким образом, если потенциал не имеет сингулярностей типа -функции (производных от -функции), волновая функция (x) должна быть непрерывна. Так как в урав-

нении Шр¼дингера производная стоит во второй степени, из тех же соображений, произ- водная волновой функции ( dxd (x)) тоже должна быть непрерывна.

Рассмотрим потенциал V (x) = (x), где > 0

2 d2
2~m dx2 (x)	(x) = E (x)	(4.129)

143

Найд¼м дискретный уровни энергии E < 0

(x) =		Ae {x ;			x > 0
		Be{x		;	x < 0	(4.130)
{		r				(4.131)
				~2
	=		2m( E)

Так как потенциал не содеожит производных от -функции, волновая функция дложна быть непрерывна

(+0)	=	( 0)	(4.132)
A	=	B :	(4.133)

Функция, удовлетворяющая Ур. (4.130) и имеющая разрыв производной первого рода имеет вид

(x) = Ae {jxj = Ae { sign(x)x :

(4.134)

					sign(x) = 1 + 2 (x)
			d	x sign(x) = sign(x) + x2 (x) = sign(x) :

			dx
	d	(x)	=		A( { sign(x))e { sign(x)x

dx
d2		(x)	=		A( { sign(x))2e { sign(x)x + A( {)2 (x)e { sign(x)x
dx2

= {2 (x) {2 (x) (x)

Подставим функцию Ур. (4.134) в уравнение Шр¼дингера

~2 {2

~2 d2

2m dx2 (x) (x) (x)

(x) + ~2 {2 (x) (x) (x) (x) 2m

~2 {2 (x) (x) (x) (x) 2m

=E (x)

=0 :

(4.135)

(4.136)

(4.137)

(4.138)

(4.139)

(4.140)

(4.141)

(4.142)

144

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 6723 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf