- •Введение
- •Список литературы
- •Экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической механики
- •Опыты, демонстрирующие волновые свойства электрона
- •Гипотиза де Бройля (Louis de Broglie). 1924
- •Опыт Дж. П. Томсона (George Paget Thomson). 1927
- •Опыт Л. Бибермана, Н. Сушкина и В. Фабриканта. 1949
- •Математический аппарат квантовой механики
- •Гильбертово пространство
- •Примеры гильбертова пространства.
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Примеры операторов
- •Соотношения между операторами
- •Свойства операторов
- •Дельта-функция
- •Общая процедура построения дельтообразных последовательностей
- •Собственные функции операторов с непрерывным спектром
- •Собственные функции оператора импульса
- •Собственные функции оператора координаты
- •Унитарные операторы
- •Оператор координаты и импульса в импульсном представлении
- •Функция от оператора
- •Две теоремы о коммутирующих операторах
- •Основы квантовой механики
- •Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины.
- •Волновая функция
- •Определение 1.
- •Волновая функция. Определение 2.
- •Измеримость физической величины
- •Редукция волнового пакета
- •Оператор импульса
- •Квантовые скобки Пуассона
- •Оператор эволюции
- •Стационарные состояния
- •Уравнение неразрывности
- •Примеры гамильтонианов
- •Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg)
- •Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга
- •Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest)
- •Минимизирующий волновой пакет
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета
- •Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы.
- •Матричное представление операторов
- •Простейшие модели
- •Одномерное движение
- •Качественный анализ спектра гамильтониана.
- •Прямоугольная потенциальная яма
- •Прямоугольный потенциальный барьер
- •Гармонический осциллятор
- •Когерентные состояния гармонического осциллятора
- •Дижение в центральном поле
- •Оператор орбитального момента
- •Операторы сдвига и поворота
- •Инверсия
- •Оператор орбитального момента в сферических координатах
- •Оператор момента
- •Шаровые спиноры (spinor spherical harmonics)
- •Шаровые векторы (vector spherical harmonics)
- •Движение в центральном поле
- •Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр
- •1s-электрон
- •Свободная частица как частица в центральном поле
- •Уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака для свободной частицы
- •Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного электрона
- •Полный угловой момент электрона
- •Зарядовое сопряжение
- •Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули.
- •Уравнение неразрывности для уравнения Дирака
- •Радиальное уравнение Дирака
- •Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр
- •Стационарная теория возмущений
- •Квазивырожденная стационарная теория возмущений
- •Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней
- •Эффект Зеемана. Бесспиновая частица
- •Аномальный эффект Зеемана
- •Эффект Штарка
- •Квадратичный эффект Штарка
- •Линейный эффект Штарка
- •Теория нестационарных возмущений
- •Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения
- •Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени
- •Движение в магнитном поле
- •Спин в магнитном поле
- •Движение в однородном магнитном поле
- •Фаза Берри
- •Плотность потока вероятности и векторный потенциал
- •Теория рассеяния
- •Рассеяние микрочастиц
- •Формула Борна
- •Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале (потенциале Юкавы)
- •Рассеяние заряженных частиц атомами
- •Метод парциальных волн
- •Эффект Рамзауера
- •Квантовая задача многих тел
- •Система тождественных частиц. Принцип Паули.
- •Одночастичное приближение
- •Матрица плотности
- •Матрица плотности
- •Свойства матрицы плотности. Статистический оператор
- •Квантовое уравнение Лиувилля
- •Матрица плотности подсистемы
- •Введение в теорию молекул
- •Система двух электронов
- •Молекула водорода. Ковалентная связь
- •Уравнение Хартри-Фока
- •Детерминант Слэтера
- •Вариационный принцип
3.17Матричное представление операторов
Рассмотрим самосопряж¼нный оператор |
^ |
|
A |
|
|
^ |
= anj ni ; |
(3.674) |
Aj ni |
||
h kj ni = kn : |
(3.675) |
|
Для раткости изложения будем считать, что спектр у оператора |
^ |
|
|
|
A чисто дискретный и |
все собственные значения невырождены.
Произольный вектор (функцию) гильбертова пространства можно разложить по соб-
ственным функциям оператора |
^ |
|
|
|
|
A |
X |
|
|
|
j |
cnj ni ; |
|
|
|
i = |
(3.676) |
||
|
|
n |
|
|
|
|
cn = h nj i : |
(3.677) |
|
Рассмотрим действие самоспряж¼нного оператора ^ |
i, результат дей- |
|||
ствия также разложим по функциям j ni |
B на функцию j |
|||
|
|
|||
^ |
|
^ X |
|
|
Bj |
i |
= j i = |
dnj ni |
(3.678) |
|
|
|
n |
|
|
dn |
= h njBj |
i = h nj i : |
(3.679) |
Используя Ур. (3.676), мы можем записать
XX
^ |
cnj ni = |
dnj ni |
(3.680) |
B |
nn
XX
^ |
= |
dnj ni |
(3.681) |
Bj nicn |
|||
n |
|
n |
|
Правая и левая части Ур. (3.681) являются кет-вектором. Рассмотрим его скалярное произведение с бра-вектором h kj
X |
X |
|
X |
|
^ |
= |
dnh kj ni = |
dn kn = dk : |
(3.682) |
h kjBj nicn |
||||
n |
n |
|
n |
|
Введ¼м бесконечномерную матрицу |
|
|
|
|
Bkn |
|
^ |
^ |
(3.683) |
= h kjBj ni = hkjBjni : |
||||
^
Матрица (Bkn) определяется оператором B и представлением, задаваемым оператором
^
A.
128
Уравнение (3.682) можно записать в виде
|
X |
|
|
|
Bkncn |
= dk : |
(3.684) |
|
n |
|
|
Мы можем также ввести бесконечномерные вектора |
|
||
c |
= (c1; c2; : : :) ; |
ck = (c)k |
(3.685) |
d |
= (d1; d2; : : :) ; |
dk = (d)k : |
(3.686) |
Эти вектора зависят от представления, задаваемого оператором ^
A.
Теперь Ур. (3.684) можно записать в матричном виде
^ |
= |
d ; |
(3.687) |
Bc |
|||
^ |
= |
(d)k |
|
(Bc)k |
(3.688) |
Произведению операторов соответствует произведение их матриц. Действительно, пусть
^ ^ |
^ |
(3.689) |
BF |
= G ; |
тогда
|
^ |
|
(3.690) |
Gkn = h kjGj ni |
|
||
|
^ ^ |
^ ^ ^ |
(3.691) |
= h kjBF j ni = h kjBEF j ni |
|||
|
X |
X |
|
= |
^ |
^ |
(3.692) |
h kjBj mih mF j ni = BkmFmn : |
|||
|
m |
m |
|
Здесь единичный оператор ( ^
E) представлен в виде Ур. (3.54).
Матрица оператора в его собственном представлении диагональна, и на главной диагонали стоят е¼ собственные числа
^ |
(3.693) |
Akn = h kjAj ni = anh kj ni = an kn : |
В любом представлении матрица самосопряженного оператора обладает следующим свойством:
^ |
^ |
^ |
^ |
|
|
: |
(3.694) |
Bkn = h kjBj ni = h kjB ni = hB kj ni = h njB ki |
|
= Bnk |
|
||||
129