3.15Расплывание минимизирующего волнового пакета

3.15.1Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы.

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 6721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

В последнем равенстве мы воспользовались Ур. (2.222)

1
Z	dx e x2		=	p
Z	dx e x2		=	p		(3.553)
1				r
1
Z dx e x			=		:	(3.554)
		2

Таким образом, нормированный на единицу минимизирующий волновой пакет имеет вид

(x)	=		1	exp	ipx	(x x)2	;	(3.555)
					~	4( x)2
		4	2 ( x)2
h j i	=	1p:						(3.556)

Минимизирующий пакет (x) зависит от p и x как от параметров. По построению,

это средние значения соответствующих операторов на функции				(x)
h jx^j	i	=	x ;	(3.557)
h jp^j	i	=	p :	(3.558)

Убедимся в этом непосредственно вычислением. Действительно, заметим что

c	2	1 dx (x	x) exp	(x x)2
j j		Z		2( x)2
	1

h	jx^ xj			i	=	0 :				(3.560)
Тогда мы можем записать
h jx^j	i	=	h	jxj	i + h jx^ xj			i = x		(3.561)
и, используя Ур. (3.548),			p i				(^x x)
h jp^j i	=	h				~			i	(3.562)
h jp^j i	=	h				2( x)2			i	(3.562)
	=				= p :					(3.563)
	=	h	p	i	= p :
		h	j j	i

Рассмотрим как меняется со временем волноая фунция, описывающая минимизирующий пакет Ур. (3.555)

(x) =		1	exp	ipx	(x x)2	:	(3.564)
(x) =			exp	~	4( x)2	:	(3.564)
	4	2 ( x)2		~	4( x)2
	p

117

Пусть эта функция задана в момент времени t = 0.

Волновая функция изменяется со временем согласно уравнению Шр¼дингера

	i~	@			^
	i~	@t	(x; t)	=	H	(x; t)		(3.565)
			(x; 0)	= (x) :				(3.566)
Пусть гамильтониан зависит только от координаты ^							^
						H = H(x) и пусть мы знаем все
собственные функции и собственные значения этого гамильтониана
	^			En n(x) ;				(3.567)
	H n(x) =			En n(x) ;				(3.567)
	h nj n0i = nn0 :							(3.568)
Так как гамильтониан является самосопряж¼нным оператором, функция								(x; t) â
каждый момент времени может быть разложена по функциям n(x)
		X			1	8t
(x; t)	=		cn(t) n(x) ;			8t		(3.569)
		n			Z
cn(t)	=	h nj (t)i		=	Z	dx n(x)	(x; t) :	(3.570)
					1

Подставим разложение Ур. (3.569) в уравнение Шр¼дингера Ур. (3.565)

@ X

i~@t cn(t) n(x)

X @

i~@tcn(t) n(x)

= H cn(t) n(x)

=cn(t) En n(x) :

(3.571)

(3.572)

Домножим слева на k(x) и проинтегрируем по x

X	@					X
	i~		cn(t) h kj ni =			cn(t) Enh kj ni ;	(3.573)
n	i~	@t	cn(t) h kj ni =			cn(t) Enh kj ni ;	(3.573)
n						n
			i~	@	ck(t) =	ck(t) Ek :	(3.574)
			i~	@t	ck(t) =	ck(t) Ek :	(3.574)
				@t

Находим коэффициенты ck(t)

ck(t)	=	ck(0) e	i	Ekt ;			(3.575)
ck(t)	=	ck(0) e	~	Ekt ;			(3.575)
					1
ck(0)	=	h kj (0)i =			Z	dx k(x) (x; 0) :	(3.576)
					1

118

Таким образом мы можем записать

Xcn(0) e

~i Ent

n(x)

(3.578)

(x; t)

cn(t) n(x)

(3.577)

Z dx0 n(x0)

(x0; 0) e ~i Ent n(x)

(3.579)

Ent n(x)!

dx0

n(x0) e

(x0; 0)

(3.580)

dx0 R(x; x0; t)

(x0; 0) :

(3.581)

Надо отметить, что функция R(x; x0; t) не зависит от функции

и определяется га-

мильтонианом системы

~i Ent n(x) (x0) :

R(x; x0; t) =

(3.582)

Функцию R(x; x0; t) можно рассматривать как ядро оператора эволюции

(x; t) =

S^(t; 0)

(x; 0) =

dx0 R(x; x0; t) (x0; 0) ;

8 :

(3.583)

В случае, когда гамильтониан имеет и дискретный и непрерывный спектр, функция R(x; x0; t) выглядит как

R(x; x0; t)	=	n	e ~i Ent n(x) n	(x0) + Z	dE e ~i Et E(x) E(x0) ;	(3.584)
		X
h Ej E0i	=	(E E0) :				(3.585)

Интегрирование по энергии (E) ид¼т с уч¼том того, что уровни энергии могут быть вырождены.

119

= 0 ; (3.559)

Рассмотрим случай сободной частицы

^		p^2
H	=	2m	;
p(x) = (2 ~) 1=2e				i	px ;
p(x) = (2 ~) 1=2e				~	px ;
h pj p0i = (p p0)						1
	= (p(E) p(E0)) =					1	(E E0)
	= (p(E) p(E0)) =					dp	(E E0)
						dp
						dE

(3.586)

(3.587)

(3.588)

(3.589)

=2mE (E E0) ;

= r

dE = r

p2mE ;

p =

;

dp ;

'E(x)

p(x) ;

h'Ej'E0i

(E E0) :

Заметим, что уровни энергии двухкратно вырождены.

				1
R(x; x0; t) =	Z dE e	i	Et'E(x)'E(x0) =	Z	dp e	i	Et p(x) p(x0)
R(x; x0; t) =	Z dE e	~	Et'E(x)'E(x0) =	Z	dp e	~	Et p(x) p(x0)
				1

=dp exp 2ipm~t p(x) p(x0)

	1	1
	1			ip2		i
=		Z	dp exp		t +		p(x x0) :
	2 ~			2m~		~
		1

Опять воспользуемся равенствами Ур. (2.222)

1
Z	dx e x2		=	p
Z	dx e x2		=	p
1				r
1
Z dx e x			=		:
		2
1

(3.590)

(3.591)

(3.592)

(3.593)

(3.594)

(3.595)

(3.596)

(3.597)

(3.598)

120

2m~t +

~p(x x0) = 2m~ p2

2 ( t

ip2

mp x

2mp(x

x0) + m2(x x0)2

(x x0)2

2m~

2m~ "

m(x

x0)

x0)2

ip2

R(x; x0; t)

dp exp

t +

p(x x0)

2 ~

2m~

1 dp exp

m(x x0)

(x x0)2

2 ~

( 2m~

(x x0)2

exp

2 ~

2m~

( 2m~ p m(xt x0)

dp exp

)

(3.599)

(3.600)

(3.601)

(3.602)

(3.603)

(3.604)

(3.605)

=	2 ~		2m~		m2	t2	r	it	(3.606)
=	1	exp		it	m2	(x x0)2		2m~	(3.606)

	m		im	(x x0)2 :
=		exp			(3.607)
	i2~t		2~t

Рассмотрим минимизирующий пакет. Выберем систему отсч¼та так, чтобы p = 0

(x) =

exp

(x x)2

(3.608)

4( x)2

2 ( x)2

(x; t) =

dx0 R(x; x0; t) (x0)

(3.609)

(x0 x)2

dx0

exp

x0)2

exp

(3.610)

ri2~t

2~t

4( x)2

4 2 ( x)2

2 ( x)2 r

i2~t

Z dx0

exp( ) :

(3.611)

121

(x0

x)2

(x0 x)2

4( x)2

(x0

x + x

x)2

(x0 x)2

4( x)2

[(x0

x)2 + 2(x0

x)(x

x) + (x

x)2]

(x0 x)2

4( x)2

2im( x)2 ~t

x +

2( x)2im(x x)

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

(4m( x)2 + 2i~t)

x)2

(3.612)

(3.613)

(3.614)

(3.615)

(3.616)

	1
(x; t) =	Z	dx0 R(x; x0; t) (x0)	(3.617)

2 ( x)2 r

= 4

i2~t

dx0 exp( )

2 ( x)2 r

(4m( x)2

+ 2i~t)

i2~t

exp

x)2

( 1)4~t( x)2

2im( x)2 ~t

	4	2 ( x)2 s	4m( x)2 + 2i~t		4m( x)2 + 2i~t
=		1	4m( x)2	exp		m(x x)2	:
=	p			exp			:

Рассмотрим как меняется со временем плотность вероятности

m( x)2

(x; t) = j

(x; t)j2

4m( x)2 + 2i~t

2 ( x)2

m(x

exp

4m( x)2 + 2i~t

4m( x)2 2i~t

(3.618)

(3.619)

(3.620)

(3.621)

(3.622)

(3.623)

8m2( x)2

exp

m(x x)28m( x)2

p (4m( x)2)2 + (2~t)2

(4m( x)2)2 + (2~t)2

exp

(x x)2

2 (t)

(3.624)

(3.625)

122

(4m( x)2)2

+ (2~t)2

(t) =

16m2( x)2

(3.626)

= ( x)2 +

= ( x)2

( p)2

(3.627)

4( x)

(3.628)

2 x

Видно, что (t) раст¼т со временем. Соответственно, волновой пакет расплывается.

123

(x0

x)2

(x0 x)2

4( x)2

(x0

x + x

x)2

(x0 x)2

4( x)2

[(x0

x)2 + 2(x0

x)(x

x) + (x

x)2]

(x0 x)2

2 t

4( x)2

(x0 x)2 + 2

(x x)(x0 x) +

x)2

2~t

4( x)2

2~t

2im( x)2 ~t

(x0

x)2 + 2

x)(x0

x) +

x)2

4~t( x)2

2~t

2im( x)2 ~t

(x0

x)2

+ 2

4~t( x)2

x)(x0

2~t

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

(x x)2

2~t

2im( x)2 ~t

(x0

x)2

+ 2

2( x)2im(x x)

(x0

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

(x x)2

2~t

2im( x)2 ~t

(x0

x)2

+ 2

2( x)2im(x x)

(x0

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

2( x)2im(x x)

2( x)2im(x

2im( x)2

(x x)2

2~t

2im( x)2 ~t

2( x)2im(x x)

(x0

x) +

2im( x)2 ~t

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

2( x)2im(x x)

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

(x x)2

2~t

2im( x)2 ~t

2( x)2im(x x)

(x0

x) +

2im( x)2 ~t

4~t( x)2

2( x)2m2

x)2

2~t(2im( x)2 ~t)

2~t

(3.629)

(3.630)

(3.631)

(3.632)

(3.633)

x) (3.634)

(3.635)

(3.636)

(3.637)

(3.638)

(3.639)

(3.640)

(3.641)

(3.642)

(3.643)

(3.644)

(3.645)

124

2im( x)2 ~t

(x0

x) +

2( x)2im(x x)

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

x 2m2 + im(2im( x)2

(x x)2

2( )

)

2~t(2im( x)2 ~t)

2im( x)2 ~t

(x0

x) +

2( x)2im(x x)

4~t( x)2

2im( x)2 ~t

2~t(2im( x)2 ~t)

im~t

x)2

2im( x)2 ~t

2( x)2im(x x)

x +

2im( x)2 ~t

4~t( x)2

(4m( x)2

+ 2i~t)

x)2

(3.646)

(3.647)

(3.648)

(3.649)

(3.650)

(3.651)

3.16Полный набор квантовых чисел. Физический смысл

скалярного произведения волновых функций

Пусть состояние системы описывается волновой функцией . Волновая функция должна удовлетворять уравнению Шр¼дингера

i~	@		^
i~	@t	(r; t) =	H (r; t) ;	(3.652)

ãäå ^

H гамильтониан системы.

Пусть в этом состоянии физическая величина a (которой соответствует оператор само-

сопряж¼нный оператор ^
A) принимает определ¼нное значение, это значит, что (см. 3.3.2)
^	= an	:	(3.653)
A
Пусть в этом состоянии также определ¼нные значения принимают величины			b; c : : : (êî-
торым соответствуют самосопряж¼нные операторы ^ ^
		B; C; : : :)
^	= bm	;	(3.654)
B
^	= ck	:	(3.655)
C

Если квантовые числа an, bm, ck однозначно определяют состояние системы, то какой набор квантовых чисел называют полным набором квантовых чисел. Заметим, что волновая функция определена с точностью до фазового множителя (с уч¼том нормировки): функция

ei (r; t) ;

2 R

(3.656)

125

описывает одно и то же состояние для каждого .

Также вводят понятие минимального полного набора квантовых чисел минимальный набор квантовый чисел, необходимый для однозначного описания состояния системы.

В параграфе 3.6 мы показали, что, чтобы физические величины могли одновременно принимать определ¼нные значения, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие им операторы коммутировали

^ ^	^ ^	^ ^	(3.657)
[A; B] = 0 ;	[A; C] = 0 ;	[B; C] = 0 :	(3.657)

В параграфе 3.4 мы рассматривали способ получения состояния системы, определяемого квантовыми числами. Надо произвести измерение соответсвующих квантовых чисел и отобрать нужное состояние. При этом происходит редукция волнового пакета.

Пусть имеются две волновые функции	и ', описывающие возможные состояния
системы. Будем считать, что эти функции нормированы как
h j i	= 1 ;	(3.658)
h'j'i = 1 :		(3.659)
Тогда величина
w = jh j'ij2 = jh'j ij2		(3.660)

имеет физический смысл вероятности того, что при измерении система, изначально находившаяся в состоянии, описываемом волновой функцией , окажется в состоянии, опи-

сываемом волновой функцией '.

Здесь предполагается, что состояние системы, описываемое волновой функцией ',

определяется каким-то полным набором квантовых чисел
' = 'an0 ;bm0 ;ck0	(3.661)
и именно они измеряются.

Покажем, что понятие вероятности Ур. (3.660) соответствует определению 3.2.1. Разобь¼м гильбертово пространство H на два ортогональных подпространства

H	=	L [ M ;	(3.662)
L \ M	=	0 :	(3.663)

126

Пространство L это одномерное пространство
L	= fc';		c 2 Cg :		(3.664)
Подпространство M ортогональное дополнение к L.
Раз пространства L и M ортогональны, то выполнено
h j'i = 0 ;			8 2 M :		(3.665)
Рассмотрим оператор проектирования на подпространство L
^	= h'j		i' ;	8 :	(3.666)
PL
Спектр оператора ^
PL: = 0; 1 (ñì. Óð. (2.159), (2.165)).
Рассмотрим собственные функции оператора ^
			PL
	^	= n n :			(3.667)
	PL n
Сразу находим собственную функцию, отвечающую собственому числу = 1
^					(3.668)
PL' = '
1	=	' ;	1	= 1 :	(3.669)

Собственными функциями, отвечающими собственному числу = 0, являются любые функции, принадлежащие подпространству M. Выберим в качестве таких функций ( n, n = 2; 3; : : :) базис в подпространстве M

^	= h nj'i n = 0 ;	n = 2; 3; : : : :	(3.670)
PL n	= h nj'i n = 0 ;	n = 2; 3; : : : :	(3.670)
		^
Разложим функцию по собственным функциям оператора PL
1	1	1
X	X	X
=	cn n = c1 1 + cn n = c1' + cn n ;		(3.671)
n=1	n=2	n=2
cn = h nj i :			(3.672)

Физический смысл коэффициента c1 (согласно 3.2.1): w1 = jc1j2 вероятность того, что система будет находиться в состоянии '.

Таким образом, вероятность того, что при измерении система из состояния	перейд¼т
в состояние ' есть
w = jc1j2 = jh'j ij2 = jh j'ij2 :	(3.673)

127

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 6721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf