Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 6720 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

i m!2

p^H =

[H; p^H] =

([^p

; p^])H +

([^x

; p^])H =

(2i~x^)H (3.475)

2m~

~ 2

= m!2x^H :

(3.476)

i m!2

( 2i~p^)H (3.477)

x^H =

[H; x^H] =

([^p

; x^])H +

([^x

; x^])H =

2m~

~ 2

2m~

p^H

(3.478)

x^H = !2x^H ;

dt2

x^H(t) =

c^1 sin !t + c^2 cos !t ;

p^H(t) =

x^H = c^1m! cos !t c^2m! sin !t :

x^H(0)

c^2 = x^ ; c^2

= x^ ;

p^H(0)

c^1m! = p^;

c^1 =

x^H(t)

sin !t + x^ cos !t ;

p^H(t)

x^H = p^cos !t xm!^ sin !t :

(3.479)

(3.480)

(3.481)

(3.482)

(3.483)

(3.484)

(3.485)

3.13Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest)

Рассмотрим систему с гамильтонианом

^	p^2
H =		+ V (r) :	(3.486)
	2m

Средние значения координаты и импульса в координатном представлении в одномерном случае имеют вид

		1
x(t)	=	Z	dx	(x; t)^x	(x; t) ;			(3.487)
		1
px(t)	=	1	dx	(x; t)^px	(x; t) ;	p^x	= i~@x :	(3.488)
px(t)	=	Z	dx	(x; t)^px	(x; t) ;	p^x	= i~@x :	(3.488)
							@
		1

111

В тр¼хмерном случае они имеют вид

r(t) =

Z d3r (r; t)r^ (r; t) ;

p(t) =

Z d3r (r; t)p^ (r; t) ;

p^ = i~r:

( 2i~px) =

x =

[H; x^] =

2m~

[^px; x^] +

[V; x^] =

2m~

[^px2; x^] = 2i~p^x

[V; x^] =

0 :

(3.489)

(3.490)

(3.491)

(3.492)

(3.493)

[H; p^x] =

[^px

; p^x] +

[V; p^x] =

2m~

[V; @x] =

dx (x)V

@x (x)

~i [V; i~@x@ ]

(x)@x@ V (x)

= Z	dx	(x) @xV		(x) = @xV :
		@		@

Полученные уравнения называют уравнениями Эренфеста

;

èëè

;

rV :

Рассмотрим ряд Тейлора (разложение функции F (x) вблизи точки x = x)

F (x) = F (x) +

x) +

@2F

x=x

(x x)2

((x

x)3) :

@x2

x=x

Возьм¼м в качестве функции

функцию

F (x) =

V (x) ;

(3.494)

(3.495)

(3.496)

(3.497)

(3.498)

(3.499)

(3.500)

(3.501)

(3.502)

112

тогда мы можем записать

@xV (x) =	@x
@	@V

Используя, что

мы имеем

@2V

x) +

@3V

(x x)2

((x

x)3) : (3.503)

x=x

@x2

x=x

@x3

x=x 2

(x x)

0 ;

(3.504)

(x x)2

( x)2 ;

(3.505)

x=x +

@3V

x 2

+ O((x x)3) :

(3.506)

@x3

x=x ( 2 )

Таким образом, Ур. (3.500) перейд¼т в уравнение Ньютона, т.е.,

@x x=x

;

(3.507)

если выполнено условие

@3V

( x)2

(3.508)

@x3

Получается, что дисперсия x должна быть достаточно мала. Однако, при уменьшении

x будет возрастать px. Рассмотрим кинетическую энергию

p^2

( px)2

T =

;

ãäå

( px)2 =

(^px px)2

p^x2 2pxp^x + px2

p^x2

px2 :

Если кинетическая энергия достаточно большая, то мы можем считать

	px2	( px)2
				;
2m		2m
		p2
	p^2
	x	x
			:
2m		2m

(3.509)

(3.510)

(3.511)

(3.512)

Таким образом, квантовая частица похожа на классическую при выполнении условия Ур. (3.508) и при достаточно большой кинетической энергии.

В точках поворота (V (x) = E), где, как известно, скорость равна нулю, поведение классической и квантовой частицы сильно отличаются.

113

3.14Минимизирующий волновой пакет

12.10.2021

Соотношение неопредел¼нности имеет вид (см. Ур. (3.219))

p x	~	:	(3.513)
	2

Волновой пакет, для которого выполнено равенство

p x =	~	;	(3.514)
	2

называется минимизирующим пакетом.

Пусть волновая функция (x) является минимизирующим пакетом. Найд¼м как долж-

на выглядеть эта функция.

Опять (см. Ур. (3.201)) рассмотрим линейный оператор

2 R;

(3.515)

(A A) + i (B B) ;

ãäå ^ ^

A и B самосопряж¼нные операторы,

i ;

(3.516)

jAj

i ;

(3.517)

jBj

( A)

i ;

(3.518)

j(A

( B)

i :

(3.519)

j(B

Замечание: оператор ^

L определяется функцией (x) в том смысле, что она зада¼т

средние значения

A и B. Величины A и B выступают как параметры. При действии

оператора ^

L на другую функцию ( ) параметры A и B не меняются и по-прежнему

определяются Ур. (3.516), (3.517) именно с функцией

(x).

Также введ¼м оператор

^ ^

(3.520)

[A; B]

AB BA = i~D ;

^ ^

(3.521)

h j[A; B]j

h j(AB BA)j i = i~h jDj i

= i~D ;

i :

(3.522)

= h jDj

В общем случае этот оператор ^

L несамосопряж¼нный.

Рассмотрим вектор

j'i

i :

(3.523)

= Lj

114

Вычислим квадрат нормы этого вектора

h'j'i = h

(3.524)

jL Lj

= h

j (A^ A) + i (B^ B) + (A^ A) + i (B^ B) j

(3.525)

= h j (A

2) ( 2

) (

2 ) + (

) j i

(3.526)

i B

i + h

(3.527)

= h j(A

j(B B)

2 j (

(3.529)

(3.528)

A)(B B)

B)(A

= ( A) + ( B)

) (

) j i

+i h 2 j ( 2

+ 2

^ ^

(3.530)

= ( A)

+ ( B)

+ i h

^ ^

(3.531)

j(AB

BA)j

= ( A)

8 2 R:

(3.532)

( B)

+ ~ D ;

Возьм¼м в качестве операторов

A и B операторы p^, x^, соответственно. Тогда оператор D

будет иметь вид

p^;

(3.533)

(3.534)

B = x^ ;

[^p; x^]

= i~;

(3.535)

(3.536)

= E :

Тогда можем записать

h'j'i

( A)

( B)

( x)

+ ~ :

(3.537)

+ ~ D = ( p)

Раз волновая функция (x) описывает минимизирующий пакет, то выполняется ра-

венство (3.514)
		p x =			~	:			(3.538)
		p x =		2		:			(3.538)
				2
Тогда получим
	~2			x +				~	2
h'j'i =		+ 2( x)2 + ~ =							; 8 2 R: (3.539)
h'j'i =	4( x)2	+ 2( x)2 + ~ =						2 x	; 8 2 R: (3.539)
Положим равной следующей величине
		=		~			:		(3.540)
		=	2( x)2				:		(3.540)

115

Тогда норма вектора равна нулю

h'j'i = 0 :

Следовательно, для оператора

L^ = (^p p) + i 2( x)2 (^x x)

условие того, что (x) является минимизирующем пакетом, приводит к

j'i

Lj i = 0 :

Таким образом минимизирующий пакет

должен удовлетворять уравнению

(^p p) (x) + i 2( x)2 (^x x) (x) = 0 :

Уравнение имеет одно линейно независимое решение

(x)

c exp

ipx

(x x)2

4( x)2

Действительно,

(x) =

c p exp

ipx

(x x)2

4( x)2

(x x)2

c (

)

(x x)

exp

ipx

4( x)2

2( x)2

= p (x) i 2( x)2 (^x x) (x) :

Видно, что Ур. (3.544) будет выполнено.

Рассмотрим нормировку функции

(x)

h j i =

dx (x) (x)

1 dx exp

c 2

(x x)2

j j

2( x)2

dx exp

= jcj2

2( x)2

= jcj2 2 ( x)2 :

(3.541)

(3.542)

(3.543)

(3.544)

(3.545)

(3.546)

(3.547)

(3.548)

(3.549)

(3.550)

(3.551)

(3.552)

116

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 6720 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf