Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 6719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

3.12Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg)

Рассмотрим независящий от времени оператор ^	^
A	= A(x).

До сих пор мы рассматривали функции и операторы в, так называемом, представле-

нии Шр¼дингера
S(x; t)	=	(x; t)	(3.412)
^	=	^	(3.413)
AS	=	A :	(3.413)

В представлении Шр¼дингера волновая функция S(x; t) зависит от времени, а операторы

AS не зависят.

Надо заметить, что в представлении Шр¼дингера мы можем ввести операторы, зависящие от времени (например, внешнее переменное поле или оператор эволюции). Здесь мы их не рассматриваем. Мы говорим только о независящих от времени операторах: x^,

p^.
Рассмотрим среднее значение оператора ^								^
						A = A(x), выразив с помощью оператора
эволюции волновую функцию в момент времени t								через волновую функцию в момент
времени t0 (ñì. Óð. (3.252))
	S(x; t)		=			^				(3.414)
	S(x; t)		=	(x; t) = S(t; t0) (x; t0) ;						(3.414)
	Z dx			^S	S					(3.415)
A =	Z dx		S(x; t)A			(x; t)
=	Z	dx	S^(t; t0) (x; t0) A^SS^(t; t0)						(x; t0)	(3.416)
=	Z	dx	(x; t0) S^+(t; t0)A^S(x)S^(t; t0)						(x; t0)	(3.417)
=	Z dx			^H	(t; t0)		H	(x; t0) ;		(3.418)
=	Z dx		H(x; t0)A		(t; t0)			(x; t0) ;

где мы ввели оператор и волновую функцию представлении Гейзенберга

^	=	^+	^ ^	(3.419)
AH(t; t0)	=	S	(t; t0)ASS(t; t0)	(3.419)
H(x; t0)	=	(x; t0) :		(3.420)

Заметим, что волновую функцию представлении Гейзенберга также можно представить в виде (см. Ур. (3.281))

^	^+	(t; t0) S(x; t) :
H(x; t0) = S(t0	; t) S(x; t) = S	(t; t0) S(x; t) :

Предположим, что ^ ^

H = H(x)

(x; t) = e ~i Et'(x)

HS'(x) = E'(x) :

(3.421)

(3.422)

(3.423)

106

Тогда оператор эволюции имеет вид (см. Ур. (3.289))

^		i	^
^	e	~	HS (t t0)	(3.424)
S(t; t0) =	e

Соответственно, операторы и волновые функции в представлении Гейзенберга можно записать как

		i	^			i	^
^H	(t; t0) = e	~	HS (t t0) ^S		e	~	HS (t t0)	:	(3.425)
A	(t; t0) = e			A	e			:
Если волновая функция	описывает стационарное состояние, то мы можем записать

	^+				i	^		i
H	^+	(t; t0)	S	(x; t) = e	~	HS (t t0)	e	~	Et	'(x)
	(x; t0) = S	(t; t0)		(x; t) = e			e			'(x)

= e~i E(t t0) e ~i Et'(x) = e ~i Et0 '(x) :

Заметим, что оператор Гамильтона и оператор эволюции (в случае представлении Шр¼дингера и Гейзенберга выглядят одинаково

^	=	^
HH	=	HS ;
^		^
SH(t; t0) =		SS(t; t0) :

Единичный оператор также сохраняет свой вид.

(3.426)

(3.427)

^ ^

H = H(x)) â

(3.428)

(3.429)

^	^	(3.430)
EH	= ES :	(3.430)

Также важно отметить, что операторы в представлении Гейзенберга и Шр¼дингера совпадают в момент времени t0

^					^			(3.431)
AH(t0) =					AS :			(3.431)
Обычно момент времени t0 выбирают равным нулю (t0 = 0). Тогда, мы получаем
			i	^		i	^
A^H(t) =		e	~	HtA^Se		~	Ht	(3.432)
H(x) = '(x)								(3.433)
и, соответственно,
^		=			^			(3.434)
AH(0)		=			AS :			(3.434)
В представлении Гейзенберга оператор		^
	AH(t) зависит от времени (t), а волновая функ-

ция не зависит.

107

Рассмотрим производную по времени от среднего значения оператора

Z dx

H(x)A

(t)

(x) ;

Z dx

dtA

H(x)

dtA

(t)

(x) ;

(3.435)

(3.436)

Здесь под производной от оператора мы понимает производную по времени как по параметру

A^H(t)

lim

AH(t + t) AH(t)

(3.437)

t!0

Рассмотрим эту производную

A^H =

HtA^Se

(3.438)

~i e~ Ht^

A^Se ~ Ht^ H^ + e~ Ht^

@tA^S e

~ Ht^

~i He^ ~ Ht^ A^Se ~ Ht^

(3.439)

@tA^S H + ~[H;^ A^H] =

@tA^S H +

~i ([H;^

A^S])H :

(3.440)

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что [H;^ e

Ht] = 0.

Равенство Ур. (3.440) надо сравнить с аналогичным равенством в представлении Шр¼дингера Ур. (3.251).

Заметим, что в отличие от представления Шр¼дингера, в представлении Гейзенберга производную от оператора можно понимать в смысле Ур. (3.437).

Производная по времени от матричного элемента не зависит от представления

dth jA^j i = h H dtA^H		Hi = h S dtA^S		Si :	(3.441)
d	d		d

3.12.1Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга

Посмотрим как выглядят операторы координаты и импульса в представлении Гейзенберга.

Сначала вычислим несколько коммутаторов (см. Ур. (3.184))

[^p; x^] = i~:

(3.442)

108

i ^ ^ ^ i ^

e~ HtASHe ~ Ht

i ^ ^ i ^ ^

e~ HtASe ~ HtH

[^p2; x^] = p^2x^ x^p^2

= p^p^x^ p^x^p^ + p^x^p^ x^p^p^

=	p^[^p; x^] + [^p; x^]^p
=	2i~p^:
[^p; x^2] =	p^x^2 x^2p^
=	p^x^x^ x^p^x^ + x^p^x^ x^x^p^
=	[^p; x^]^x + x^[^p; x^]
=	2i~x^ :
		i	^	i	^
A^H(t) = e		~	HtA^Se	~	Ht
^	^
HH	= H :

Ещ¼ раз воспользуемся тем, что [H;^	e	i	^
		~	Ht] = 0.

d ^ dtAH

1. Свободная частица

^ ^

[H; AH] =

(HAH

Ht ^

~ Hei

e i

Ht^ HA^ ^Se

Ht^

i^ ^

=~([H; AS])H :

^ ^

HAH)

^	p^2
H =	2m

d				i	^	i	^	i	2
dt	p^H	=	~		[H; p^H] =	~	([H; p^])H =	2m~	([^p	; p^])H = 0
	p^H	=	c^:

Ñ ó÷¼òîì Óð. (3.434)

p^H(0) = p^ = c^; c^ = p^:

(3.443)

(3.444)

(3.445)

(3.446)

(3.447)

(3.448)

(3.449)

(3.450)

(3.451)

(3.452)

(3.453)

(3.454)

(3.455)

(3.456)

(3.457)

(3.458)

(3.459)

(3.460)

109

p^H

= p^:

(3.461)

( 2i~p^)H =

p^H

(3.462)

x^H =

[H; x^H] =

([H; x^])H =

2m~

([^p

; x^])H =

2m~

x^H(t) =

c^ +

p^H

t :

(3.463)

Ñ ó÷¼òîì Óð. (3.434)

x^H(0) =

x^ = c^;

c^ = x^ :

(3.464)

x^H(t)

= x^ +

t :

(3.465)

2. Частица в однородном поле

p^2

F x^ :

(3.466)

p^H

[H; p^H] =

2m~

([^p

; p^])H

F ([^x; p^])H =

F (i~) = F

p^H(t) =

p^ + F t

p^H(0)

p^:

; x^])H

( 2i~p^)H =

x^H =

[H; x^H] =

2m~

([^p

F ([^x; x^])H =

2m~

t :

x^H(t) = x^ +

t +

x^H(0) =

x^ :

3. Осциллятор

^	p^2		m!2x^2
H =	2m	+	2	:

(3.467)

(3.468)

(3.469)

p^mH (3.470)

(3.471)

(3.472)

(3.473)

(3.474)

110

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 6719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf