Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 6718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

3.10Уравнение неразрывности

В классической механике плотность потока это произведение скорости на плотность

j(r; t)

v (r; t) =

(r; t)

(3.323)

(r; t)

(3.324)

(r; t)) (r; t) :

(3.325)

2m (r; t)p (r; t) + (p

В квантовой механике плотность потока, отвечающая волновой функции

, опреде-

ляется следующим образом

2m (r; t)p^ (r; t) + (p^

(r; t)) (r; t)

j(r; t)

(3.326)

2m (r; t)r (r; t)

(r; t)r (r; t) :

(3.327)

Оператор импульса (p^ = i~r) действует только на подч¼ркнутую функцию. Рассмотрим уравнение Шр¼дингера

	i~	@	^
	i~	@t	(r; t) = H (r; t)
с гамильтонианом вида
^				p^2
	H =					+ V (r; t)
	H =			2m		+ V (r; t)
			~2
		=					+ V (r; t) :
		=			2m		+ V (r; t) :
Тогда уравнение Шр¼дингера записывается как
i~@t (r; t) =			2					(r; t) :
i~@t (r; t) =			2~m + V (r; t)					(r; t) :
@

Запишем по отдельности вещественную и мнимую части этого уравнения

(r; t) =

~@t@ (i)(r; t) =

~@t@ (r)(r; t) =

(r)(r; t) + i (i)(r; t) ;

2m + V (r; t)

ãäå (r)(r; t); (i)(r; t) 2 R;

(r)(r; t)

(i)(r; t) :

(3.328)

(3.329)

(3.330)

(3.331)

(3.332)

(3.333)

(3.334)

Домножим последнее уравнение на ( i)


i~@t( i) (i)(r; t) =			2
			2~m + V (r;
@
	i~@t	(r)(r; t) =	2
			2~m + V (r;
@

t)	(r)(r; t)	(3.335)
t)	( i) (i)(r; t) :	(3.336)

Сложив эти уравнения, мы получаем, что уравнение для комплексно сопряж¼нной функции ( (r; t)) имеет вид

i~@t

(r; t)

(r; t) :

(3.337)

2~m + V (r; t)

Умножим Ур. (3.331) на и Ур. (3.337) на

(r; t)@t

(r; t)

(3.338)

(r; t) 2~m + V (r; t)

i~ (r; t)@t

(r; t)

(r; t) :

(3.339)

(r; t) 2~m + V (r; t)

Вычитая полученные уравнения, мы получаем (подч¼ркнутые члены сократились)

i~	(r; t)@t (r; t) + (r; t)						@t	(r; t)	=
	@						@
	2					(r; t) (r; t) (r; t) (r; t)
			=		~
			=		2m
	(r; t)@t (r; t) + (r; t)						@t	(r; t)	=
		@					@
			= 2m				(r; t) (r; t) (r; t) (r; t) :
				i~

Введ¼м плотность вероятности ( ) и плотность потока вероятности ( j)

(r; t)

(r; t) (r; t) ;

(r; t) + (p^

(r; t))

(r; t)

j(r; t)

= 2m (r; t)p^

2m (r; t)r (r; t) (r; t)r (r; t)

В Ур. (3.345) оператор импульса действует только на подч¼ркнутую функцию. Рассмотрим производную по времени от плотности вероятности

@	(r; t) =	(r; t)	@	(r; t) + (r; t)	@	(r; t)
@t			@t
					@t

(3.340)

(3.341)

(3.342)

(3.343)

(3.344)

(3.345)

(3.346)

(3.347)

и дивергенцию от потока вероятности

divj(r; t) = rj(r; t)
=	2mr (r; t)r (r; t) (r; t)r (r; t)
		i~
=	2m		(r; t) (r; t) (r; t) (r; t)
		i~

Уравнение (3.343) можно записать в виде

@t@ (r; t) + divj(r; t) = 0 :

(3.348)

(3.349)

(3.350)

(3.351)

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Обсудим физический смысл уравнения неразрывности. Для этого рассмотрим одномерный случай

@		(x; t) +		@	jx(x; t) =	0	(3.352)

	@t			@x
jx(x; t) = 2m			(r; t)^px (r; t) + (^px			(r; t)) (r; t) :	(3.353)
1

Проинтегрируем Ур. (3.352) по промежутку [x1; x2]

	x2	dx (x; t)		=	x2	dx @xjx(x; t)		(3.354)
@t xZ1		dx (x; t)		=	xZ1	dx @xjx(x; t)		(3.354)
@							@
		@	w[x1;x2]	=	jx(x1; t) jx(x2; t)			(3.355)

		@t

Скорость изменения вероятности найти частицу на промежутке [x1; x2] равна разности потоков вероятности на краях этого промежутка.

Åñëè jx(x1; t) > jx(x2; t), то вероятность найти частицу в промежутке [x1; x2] увели- чивается. Если jx(x1; t) < jx(x2; t), то вероятность найти частицу в промежутке [x1; x2] уменьшается.

Это тот результат, который мы бы получили, основываясь на наших экспериментальных знаниях о природе.

Таким образом, существование уравнения неразрывности для волновой функции показывает на самосогласованность определений квантовой механики. В частности на корректность определения плотности вероятности.

100

3.11Примеры гамильтонианов

В классической механике гамильтониан строится как сумма кинетической и потенциальной энергии, выраженные через обобщ¼нные координаты и импульсы. В квантовой механике будем действовать так же.

1. Свободная частица. Одномерный случай.

^	^	p^2		~2 @2
H = T =			=			:
		2m		2m	@x2

Мы использовали определение оператора импульса

p^ =	i~	@

		@x
		@		2	@2

p^2 =	i~			= ~2		:
			@x		@x2

Рассмотрим стационарные состояния свободной частицы

iEt

(x; t) = e ~ '(x)

H'(x) = E'(x)

~2 @2

2m @x2 '(x) = E'(x)

(3.356)

(3.357)

(3.358)

(3.359)

(3.360)

(3.361)

Так как Ур. (3.361) является уравнением второй степени, мы имеем два линейно независимых решения

ipx	+ c2e	ipx	c1; c2 2 C; E =	p2
'E(x) = c1e ~		~ ;			:	(3.362)
				2m

Часто бывает удобно представить решение в следующем виде

'E(x) = a sin	px	+ b cos	px	; a; b 2 C;		p2
					E =		: (3.363)
	~		~			2m

Оператор импульса коммутирует с гамильтонианом свободной частицы

^		p^2
[H; p^] =	[	2m	; p^] = 0 :	(3.364)

Значит, эти самосопряж¼нные операторы имеют общий базис и, соответственно, энергия и импульс могут одновременно иметь определ¼нное значение. Таким общим базисом являются собственные функции оператора импульса

p^ p(x)	= p p(x)		(3.365)
		ipx
p(x) =		(2 ~) 1=2 e ~	(3.366)
h pj p0i	=	(p p0) :	(3.367)

101

Действительно,

^		p2
H p(x) = E p(x) ;	E =	2m	:	(3.368)

Волновая функция, описывающая состояние с определ¼нной энергией и импульсом имеет вид

ipx

E;p(x; t) = e iEt~ p(x) = (2 ~) 1=2 e iEt~ e ~ ;

(3.369)

Найд¼м плотность вероятности и поток вероятности для функций

(x; t) =

E;p(x; t).

(x; t)

;

(3.370)

E;p

E;p = p

p = (2 ~)

j(x; t)

pp p + (p p) p

(3.371)

p p =

= (2 ~) 1

(3.372)

Мы будем считать, что собственные функции оператора импульса описывают поток частиц с постоянным потоком и постоянной плотностью.

2. Одномерный случай. В общем случае гамильтониан выглядит следующим образом

^	^ ^	(3.373)
H	= T + V :	(3.373)

Во многих частных случаях собственные функции и спектр гамильтониана можно найти аналитически.

Здесь мы отметим только случай когда потенциал есть константа

^			= V0
		V	= V0						(3.374)
^			= V0'(x) ;		8' :				(3.375)
		V '(x)	= V0'(x) ;		8' :				(3.375)
Задача на собственные значения гамильтониана выглядит как
^				= E'(x) :					(3.376)
		(H + V0)'(x)		= E'(x) :					(3.376)
Эта задача сводится к случаю свободной частицы ( V0 = 0)
	p^2		(E V0)'(x) = E0'(x) ;
		'(x) =							(3.377)
	2m	'(x) =							(3.377)
	ipx		ipx				p2
'E(x) = c1e ~ + c2e			~ ;	c1; c2 2 C;		E =		+ V0 :	(3.378)
'E(x) = c1e ~ + c2e			~ ;	c1; c2 2 C;		E =	2m	+ V0 :	(3.378)

102

èëè

'E(x) = a sin	px	+ b cos	px	; a; b 2 C;		p2
					E =		+ V0 : (3.379)
	~		~			2m

Соответствующая волновая функция стационарного состояния имеет вид

iEt

E(x; t) = e ~ 'E(x) :

3. Свободная частица. Тр¼хмерный случай. Декартовые координаты.

^	^	p^2		~2
H = T =			=		:
		2m		2m

Мы использовали определение оператора импульса

p^ = i~r = i~ ex @x

+ ey @y + ez @z

p^2 = ( i~r)2

= ~2

@x2

@y2

@z2

= (r)2 =

@x2

@y2

@z2

Рассмотрим стационарные состояния свободной частицы

iEt

(r; t) = e ~ '(r)

H'(r) = E'(r)

~2 '(r) = E'(r) : 2m

(3.380)

(3.381)

(3.382)

(3.383)

(3.384)

(3.385)

(3.386)

(3.387)

Каждый уровень энергии оказывается бесконечнократно вырожденным (по направлению импульса)

ipr	c 2 C; E =	p2
'E(x) = ce ~ ;			:	(3.388)
		2m

В этом состоянии импульс также имеет собственное значение.

103

Введ¼м собственные функции оператора импульса

p^ p(r)	=	p p(r)	(3.389)
		ipr
p(r) =		(2 ~) 3=2 e ~	(3.390)
h pj p0i	=	3(p p0) :	(3.391)

Таким образом, волновая функция стационарного состояния системы с определ¼нными энергией и импульсом имеет вид

E;p(r; t) = e	iEt			p2
	~	p(r) ;	E =		:

				2m

Найд¼м плотность вероятности и поток вероятности для функций p.

(r; t)

= p p = (2 ~) 3 ;

j(r; t)

2m pp p + (p p) p

p p

= (2 ~) 3

(3.392)

(3.393)

(3.394)

(3.395)

09.10.2021

4.Свободная частица. Тр¼хмерный случай. Сферические координаты. Рассмотрим лагранжиан свободной частицы в сферических координатах

		mv2			m
L(r; '; ; r; '; _) =				=		r2 + r2 _2 + r2 sin2 '2	:
		2			2
Введ¼м обобщ¼нные импульсы
pr	=	@L		= mr ;

			@r
		@L		2 _
p	=			= mr ;
		_
			@
p'	=	@L		= mr2 sin2 ' :
			@'

Запишем гамильтониан свободной частицы в сферических координатах

H(r; '; ; pr; p'; p ) = 2m		pr2 + r2 p2		+ r2 sin2	p'2			:
1		1		1

(3.396)

(3.397)

(3.398)

(3.399)

(3.400)

104

Для квантования гамильтониана его надо записать в следующем виде

H(r; '; ; pr; p'; p )

r2 prr2pr + r2 sin p (sin )p

+ r2 sin2

p'2

(3: .401)

Введ¼м операторы, отвечающие обобщ¼нным импульсам,

p^r

;

(3.402)

;

(3.403)

p^' = i~

(3.404)

После квантования гамильтониан принимает следующий вид

H^ =

2m r2 p^rr2p^r

+ r2 sin p^ (sin )^p + r2 sin2

p^'2

(3.405)

sin

(3.406)

2m r2 @r

sin2 @'2

sin @

@r r2

1 @

l^2

(3.407)

Здесь мы ввели оператор орбитального момента, который мы будем изучать ниже,

~l^

[r p^]

1 @2

(3.408)

l^2

sin

(3.409)

sin

sin2

@'2

Нам потребовалось перейти от формы записи Ур. (3.400) к Ур. (3.401) для того, чтобы получившийся после квантования оператор был самосопряж¼нным.

Легко показать, что оператор Ур. (3.407) является самосопряж¼нным. Также мы показали, что

1 @

l^2

(3.410)

1 @

1 @2

sin

(3.411)

sin

sin2

@'2

105

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 6718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf