Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Рассмотрим отдельно Ур. (3.249). Правая часть этого равенства определяет оператор, средние значения которого совпадают с производной от средних значений оператора ^

Этот оператор обозначают как полная производная по времени от оператора ^

	d	^		@	^	i		^ ^
	dt	A	=	@t	A +	~		[H; A] :	(3.251)

Таким образом, Ур. (3.251) рассматривется как определение производной от оператора

A по времени.

Видно, что определение производной по времени от оператора ^

A зависит от гамильто-

ниана и, тем самым, от рассматриваемой системы. Таким образом, для каждой системы производная по времени от оператора определяется по-разному.

3.8Оператор эволюции

Изменение волновой функции во времени можно рассматривать как результат действия оператора эволюции

^	(3.252)
(x; t) = S(t; t0) (x; t0) :

Покажем, что оператор эволюции является унитарным оператором.

Рассмотрим производную по времени от среднего значения единичного оператора. Согласно Ур. (3.249) мы можем записать

d		i		^ ^
dt	h j i =	~	h	j[H; E]j i = 0 :	(3.253)

Мы использовали, что единичный оператор коммутирует со всеми операторами

^ ^	(3.254)
[H; E] = 0 :

Таким образом, мы показали, что из уравнения Шр¼дингера следует, что нормировка волновой функции не меняется со временем.

Тогда мы можем записать

	1	1
	Z dx	1
h j i =	Z dx	(x; t0) (x; t0) = Z1 dx	(x; t) (x; t)	(3.255)
	1	S^(t; t0) (x; t0) S^(t; t0)	(x; t0)
	1
=	Z1 dx			(3.256)
	1
=	Z1 dx	(x; t0)S^+(t; t0)S^(t; t0) (x; t0) :		(3.257)

В последнем равенстве мы воспользовались Ур. (3.252). Так как это выполнено для про-

извольной функции

, мы можем заключить, что оператор

S(t; t0) не меняет норму:

(t0)k èëè

(t0)k = kS(t; t0)

j i

^+ ^

(3.258)

= h jS

Sj i ;

(3.259)

S(t; t0)

(t0) :

(3.260)

Рассмотрим сначала функцию

в виде (где ' и произвольные функции)

= ' + ;

(3.261)

= h(' + )j(' + )i

(3.262)

= h'j'i + h j i + h j'i + h'j i

(3.263)

= h'j'i + h j i + 2<fh j'ig

(3.264)

^+ ^

(3.265)

= h jS Sj

= h(' + )jS Sj(' + )i

^+ ^

(3.266)

= h'jS Sj'i + h jS Sj i + h jS Sj'i

+ h'jS Sj i

^+ ^

(3.267)

= h'j'i + h j i + 2<fh jS Sj'ig

<fh j'ig

^+ ^

8'; :

(3.268)

= <fh jS

Sj'ig ;

Теперь представим функцию

â âèäå

= ' + i ;

(3.269)

= h(' + i )j(' + i )i

(3.270)

= h'j'i + h j i ih j'i + ih'j i

(3.271)

= h'j'i + h j i + 2=fh j'ig

(3.272)

^+ ^

(3.273)

= h jS

i = h(' + i )jS Sj(' + i )i

^+ ^

(3.274)

= h'jS

Sj'i + h jS

Sj i ih jS Sj'i

+ ih'jS Sj i

^+ ^

(3.275)

= h'j'i + h j i + 2=fh jS Sj'ig ;

=fh j'ig

8'; :

(3.276)

= =fh jS

Sj'ig ;

Получаем, что мы доказали

h j'i

8';

(3.277)

= h jS

Sj'i ;

и, тем самым, доказали, что

^+ ^	^
S S	= E ;

или, вернув явную временную зависимость,

^+	^	^+	^	^
S	(t0; t)S(t0	; t) = S	(t; t0)S(t; t0) = E :

(3.278)

(3.279)

Итак, оператор эволюции		^
		S(t; t0) унитарный оператор
				^
		(x; t) = S(t; t0) (x; t0) :
Оператор эволюции обладает следующим свойством
			^	^+	(t; t0) :
			S(t0	; t) = S	(t; t0) :
Действительно,
^	; t) (x; t) =			^	^+	^
S(t0	; t) (x; t) =	(x; t0) = E (x; t0) = S				(t; t0)S(t; t0) (x; t0)
		^+	(t; t0) (x; t) ;		8 :
	= S		(t; t0) (x; t) ;		8 :

Волновая функция (x; t) должна удовлетворять уравнению Шр¼дингера

	@			^
		i~	@t	(x; t) = H (x; t) :
Используя (3.280), мы можем написать
i~	@	^		^ ^	8 (x; t0) :
i~	@t	S(t; t0) (x; t0) = HS(t; t0) (x; t0) ;			8 (x; t0) :

Мы получаем следующее операторное уравнение для оператора эволюции

i~	@	^			^ ^
	@t	S(t; t0)		=	HS(t; t0)
	^		; t0)	=	^
	S(t0				E :

Если гамильтониан не зависит от времени ( t)

^	^
H	= H(x) ;

тогда мы можем записать решение Ур. (3.286), (3.287) в виде

^ i ^

S(t; t0) = exp ~ H (t t0) :

(3.280)

(3.281)

(3.282)

(3.283)

(3.284)

(3.285)

(3.286)

(3.287)

(3.288)

(3.289)

3.9Стационарные состояния

Рассмотрим независящий от времени гамильтониан

^	^	(3.290)
H	= H(x) :	(3.290)

В этом случае удобно ввести понятие стационарных состояний. 94

Определение. Стационарные состояния это чистые состояния, которые описываются волновой функцией вида

(x; t) =	e iEt~ '(x) ;	(3.291)
ãäå
^	= E'(x) :	(3.292)
H(x)'(x)	= E'(x) :	(3.292)

Последнее уравнение называется стационарным уравнением Шр¼дингера. Существование стационарных состояний является следствием нашего предположе-

ния, что гамильтониан рассматриваемой системы не зависит от времени. Действительно, рассмотрим уравнение Шр¼дингера

i~	@		^
i~	@t	(x; t)	= H(x) (x; t) :	(3.293)

Раз гамильтониан рассматриваемой системы не зависит от времени, мы можем искать решение в виде следующей факторизации

(x; t) = (t)'(x) :

(3.294)

		@		^
		i~	@t	(t)'(x) = H(x) (t)'(x)
Умножим это уравнение слева на ' (x) и проинтегрируем по x
1				1	dx ' (x)H^ (x)'(x) :
i~@t (t) Z		dx ' (x)'(x) = (t) Z			dx ' (x)H^ (x)'(x) :
@
	1			1

Получаем, что функция (t) удовлетворяет следующему уравнению

(t) = E (t)

(t) =

C e iEt~

E =

h'jHj'i

;

> 0 :

Тогда, в свою очередь, Ур. (3.295) примет вид

i~@t@ C e iEt~ '(x) =

H(x)'(x) =

^ iEt

H(x) C e ~ '(x)

E'(x) :

(3.295)

(3.296)

(3.297)

(3.298)

(3.299)

(3.300)

(3.301)

Уравнение (3.301) называют стационарным уравнением Шр¼дингера.

В случае факторизации Ур. (3.294) волновая функция	имеет вид
(x; t) = e iEt~ '(x) :	(3.302)

Рассмотрим свойства стационарных состояний

1. Волновая функция стационарного состояния зависит от времени экспоненциально

iEt

(x; t) = e ~ '(x) : (3.303)

05.10.2021

2. В стационарных состояниях энергия системы имеет определ¼нное значение

^	8t :	(3.304)
H (x; t) = E (x; t) ;

Замечание: в общем случае (E1 6= E2) суперпозиция стационарных состояний не является стационарным состоянием

(x; t) = c1 e		iE1t	'1(x) + c2 e			iE2t	'2(x) ;	(3.305)
(x; t) = c1 e		~	'1(x) + c2 e			~	'2(x) ;	(3.305)
ãäå
^	(x)		=	E1	'1(x) ;			(3.306)
H'1	(x)		=	E1	'1(x) ;			(3.306)
^	(x)		= E2		'2(x) :			(3.307)
H'2	(x)		= E2		'2(x) :			(3.307)
Как обычно, предполагаем, что
	h j		i	=	1 ;			(3.308)
h'1j'1i =					1 ;			(3.309)
h'2j'2i = 1 :								(3.310)
Очевидно, что
h'1j'2i				=	0 :			(3.311)

В состоянии Ур. (3.305) энергия не имеет определ¼нного значения. Вероятности того, что при измерении будет энергия E1 èëè E2 равны

		wE1		= jc1j2 ;			(3.312)
		wE2	= jc2j2 ;				(3.313)
соответственно.
	h	^	i	2	2	E2 :	(3.314)
E =	h	jHj	i	= jc1j	E1 + jc2j	E2 :	(3.314)
3. Если в какой-то момент времени t0 волновая функция						(x; t) удовлетворяет стаци-
онарному уравнению Шр¼дингера
	^	(x; t0)		= E	(x; t0) ;		(3.315)
	H	(x; t0)		= E	(x; t0) ;		(3.315)

то волновая функция Ур. (3.289),

(x; t) =

(x; t) описывает стационарное состояние. Действительно, см.

^		i	^
S(t; t0) (x; t0) = exp		~	H (t t0) (x; t0)	(3.316)

				i		(x; t0) = e	iEt		iEt0
=	exp				E (t t0)		~	e	~	(x; t0)	(3.317)
				~
= e iEt~ '(x) ;											(3.318)
'(x) =	e	iEt0	(x; t0) :								(3.319)
		~

4.Вероятности (в случае дискретного спектра) и плотности вероятности (в случае непрерывного спектра) не зависят от времени. В частности, плотность вероятности найти частицу в точке x, не зависит от времени

(x) = j (x; t)j2 = j'(x)j2 :

(3.320)

В случае дискретной переменной x принципиально ничего не поменяется.

5. У операторов, которые не зависят от времени явно ( @ ^

@t A = 0), средние значения на

стационарных состояниях не зависят от времени

A =	1	dx	(x; t)A^ (x; t) =	1	dx e ~	' (x)Ae^	~	'(x)
A =	Z	dx	(x; t)A^ (x; t) =	Z	dx e ~	' (x)Ae^	~	'(x)
					iEt		iEt
	1			1
	1
	Z

=dx ' (x)A'(x) :

(3.321)

(3.322)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf