3.4Редукция волнового пакета

Если при измерении физической величины, отвечающей самосопряж¼нному оператору

^

A, было получено значение a, то при повторном измерении через бесконечно малый промежуток времени будет получено то же самое значение a.

Если при первом измерении было получено число an0 , то при повторных измерениях будет получаться одно и то же число an0 . Следовательно, после первого измерения си-

стема оказалась в состоянии, описываемом вектором an0 . Таким образом, в результате измерения состояние системы изменилось

Говорят, что произошла редукция волнового пакета.

^

Чтобы приготовить систему в заданном состоянии an0 , надо найти оператор A, собственным вектором которого является an0 , произвести измерение величины, отвечающей

^

A и отобрать то состояние, при котором измеренное значение a оказалось равным собственному числу, соответствующему an0 .

3.5Оператор импульса

В качестве гильбертова пространства выберем пространство функций L2

Рассмотрим координатное представление.

78

По определению, оператор импульса в координатном представлении имеет следующий вид

Оператор импульса самосопряж¼нный оператор

Спектр оператора импульса чисто непрерывный: 1 < p < 1.

Строго говоря, у оператора импульса нет собственных функций, поскольку функцииp(x) не принадлежат гильбертовому пространству L2. Однако, мы будем называть функ- öèè p(x) собственными функциями.

Аналогичным образом определяют оператор импульса в тр¼хмерном пространстве. Здесь гильбертово пространство L2 åñòü

Z

79

Теперь обсудим почему оператор импульса определили Ур. (3.128) и Ур. (3.137).

где a малое изменение вектора r. С точностью до членов порядка a2 функция (r + a) может быть записна как

Здесь градиент выражен через оператор импульса. Для конечного сдвига ( a) необходимо учитывать все члены ряда Тейлора, что да¼т

При наличии трансляционной симметрии функции (r) и (r + a) должны описывать одно и то же состояние системы, т.е., они могут отличаться только на константу jCj = 1,

т.е., на мнимую экспоненту.

Рассмотрим свободную частицу с определ¼нным импульсом p. Если функция опи-

сывает состояние с определ¼нным импульсом, то она есть собственная функция для оператора импульса и мы получим

Таким образом, из определ¼нности импульса и его сохранения следует трансляционная симметрия. Для свободной частицы также получаем, что из трансляционной симметрии следует сохранение импульса.

Здесь надо отметить, что состояния свободной частицы с определ¼нным импульсом принадлежат непрерывному спектру. Однако можно рассмотреть состояние из гильбертова пространства, со сколь угодно малой (но ненулевой) дисперсией для импульса.

80

Из классической механики мы знаем, что при трансляционной симметрии импульс должен сохраняться.

Получаем, что для существования указанной связи между трансляционной симметрией и сохранением импульса, оператор импульса должен иметь вид

где C вещественная константа.

3.5.1Квантовые скобки Пуассона

Рассмотрим ещ¼ одно обоснование определений Ур. (3.128) и Ур. (3.137). Классическая скобка Пуассона

где H гамильтониан системы.

Классические скобки Пуассона обладают известными свойствами.

Потребуем, чтобы квантовая скобка Пуассона обладала такими же свойствами

1.

2.

3.

4.

81

5.

Основываясь на этих пяти свойствах, постараемся найти вид квантовой скобки Пуассона.

82

Рассмотрим классические скопки Пуассона

Мы будем использовать следующие обозначения p = (px; py; pz) = (p1; p2; p3), r = (x; y; z) = (r1; r2; r3)

83

Мы получаем, что при указанных определениях оператора импульса квантовые скобки Пуассона (Ур. (3.185)-(3.187)) напрямую связаны с классическими скобками Пуассона (Ур. (3.173)-(3.175)). Это обстоятельство позволяет нам установить связь между уравнениями квантовой механики и классической механики. Это также обеспечивает существование корректного перехода от квантовой механики к классической механике для систем, где классическая механика хорошо работает.

84

3.6Одновременная измеримость физических величин.

Соотношение неопредел¼нности

Две физические величины называются одновременно измеримыми (во всех состояниях), если для каждой пары возможных значений a и b существует состояние, в котором

эти величины принимают определ¼нные значения (дискретный спектр), либо со сколь угодно малой (но ненулевой) дисперсией (непрерывный спектр).

Для этого необходимо, чтобы все эти состояния были собственными функциями для операторов ^ ^ ^ ^

A и B, то есть, чтобы операторы A и B имели общий базис. В этом случае операторы должны коммутировать (см. параграф 2.15)

Рассмотрим состояние системы , на н¼м физические величины, отвечающие опера-

85

Мы видели, что коммутатор двух эрмитовских операторов есть антиэрмитовский опера-

86

Это неравенство называется соотношением неопредел¼нности.

Как видно, соотношение неопредел¼нности получается из основных положений квантовой механики.

Мы относится к соотношению неопредел¼нности как к экспериментальному факту.

В качестве примера рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Разрешающая способность глаза человека

где L растояние от объекта до глаза (25cm), d диаметр зрачка (5mm), длина волны

где апертурный угол, длина волны фотона, n показатель преломления оптиче-

ской среды, в которой находится линза.

Пусть мы смотрим вдоль оси y, тогда разброс импульса вдоль оси x есть

p sin < px < p sin

87

Известно, что импульс фотона связан с длиной волны как p = h= . Действительно, для потенциала электромагнитного поля можно написать

Соотношение неопредел¼нности Ур. (3.219) в этом эксперименте будет выполнено.

Рассмотрим ещ¼ один мысленный эксперимент.

Пусть монохроматический поток частиц движется вдоль оси y и проходит сквозь диафрагму параллельную оси x со щелью x. Мы можем утверждать, что в этот момент знаем x-координату частицу с точностью x.

Пройдя сквозь диафрагму, частицы попадают на поверхность перпендикулярную оси y. Пусть первый максимум на этой поверхности определяется углом , отсчитанный от

оси y, тогда

sin

Из разброса частиц на угол мы получаем, что x-компонента импульса имеет разбросp sin < px < p sin , т.е., она определена с точностью

Соотношение неопредел¼нности Ур. (3.219) в этом эксперименте будет выполнено.

88

3.7Уравнение Шр¼дингера (Erwin Schrodinger). Производная по времени от оператора

По определению, чистое состояние системы развивается во времени согласно уравнению Шр¼дингера

Самосопряж¼нный оператор ^

H называется оператором Гамильтона или гамильтонианом.

Гамильтониан зада¼т систему в том смысле, что, задав этот оператор и волновую функцию в какой-то момент времени t0 (то есть, задав граничное условие (r; t0)), мы можем получить волновую функцию в другой момент времени t ( (r; t)).

Теперь обсудим почему уравнение Шр¼дингера определили именно так.

1. Задав волновую функцию состояния системы в момент времени t0, мы говорим, что нам доступна вся информация о системе. Тем самым, мы должны знать волновую функцию и в последующие моменты времени ( (r; t)). Для этого достаточно, чтобы мы

знали волновую функцию через бесконечно малый промежуток времени ( (r; t0 + dt)). Это выражается тем, что производная по времени функции от (r; t) определяется самой функцией (r; t) посредством какого-то линейного оператора. Это реализовано в Ур. (3.230).

2. Формально Ур. (3.230) похоже на определение оператора импульса

Мы видели, что такой вид оператора импульса связывает его с пространственной трансляцией Ур. (3.144) и, соответственно, инвариантность к пространственной трансляции с сохранением импульса. Из классической механики известно, что инвариантность к сдвигу во времени связана с сохранением энергии. Таким образом, уравнение Шр¼дингера

89

и установили, что они напрямую связаны с классическими скобками Пуассона для соответствующих величин.

Классические скобки Пуассона обладают следующим свойством

где H гамильтониан системы, а F = F (q; p; t) есть произвольная функция обобщ¼нных координат и импульсов.

Рассмотрим производную по времени от среднего значения оператора ^

A(x; t) на волновой функции (x; t). Для краткости мы рассматриваем одномерный случай и используем

где оператор ^

A явно зависит от t как от параметра. Соответственно, если оператор не за-

висит явно от времени, например, как операторы координаты и импульса, то эта частная производная равна нулю.

Далее воспользуемся уравнением Шр¼дингера в виде

90

Мы использовали то, что гамильтониан является самосопряж¼нным (эрмитовским) оператором.

При переходе к классическому пределу, где операторы будут переходить в отвечающие им физические величины, мы получим, что Ур. (3.250) перейд¼т в Ур. (3.233).

91