Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 6715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Выражение в круглых скобках можно рассматривать как единичный оператор

E^	=	Z	da j aih aj		(3.63)
E^j i	=	Z	da j aih aj	i :	(3.64)

В координатном представлении этот оператор будет выглядеть следующим образом

0 1

^	(x) =	0		0	0	)A a(x)	(3.65)
E	(x) =	da @ dx	a	(x	) (x	)A a(x)
		1
		1

=		dx0	da	(x0) a(x)	(x0)	(3.66)
			a
	1
	1
=	Z	dx0	(x x0)	(x0) =	(x) ; 8 :	(3.67)
	1

Видно, что (x x0) есть ядро единичного оператора.

3.3.1Волновая функция. Определение 2.

Часто используют эквивалентное определение. По определению, среднее значение физи- ческой величины, отвечающей самосопряж¼нному оператору ^

A, зада¼тся волновой функ-

öèåé êàê

	1
a = h jA^j i =	Z	dx (x)A^ (x) :	(3.68)
	1

Тогда доказывается, что j (x)j2 имеет смысл плотности вероятности (или вероятности, в

случае дискретного спектра)

Рассмотрим среднее значение от произвольной функции F от самосопряж¼нного опе-

ратора ^

Здесь используется терминология бра- и кет-векторов, которая представлена ниже, в секции 3.3.

Рассмотрим сначала случай дискретного спектра

^ j ih j (3.69)

E = an an

(3.70)

F =

h jF (A)j

aXn n0

h j

^ ^

j i

h j

n ih

n j i

(3.71)

EF (A)E

F (A)

aXn n0

~(an0 )

~ (an)F (an0 )

an a0

(3.72)

n i

aXn n0

~ (an)F (an0 ) an;an0

~(an0 )

(3.73)

Xan

F (an)j ~(an)j2

(3.74)

Мы использовали, что

~(an0 ) =

(3.75)

n j

~ (an) = h j an i :

(3.76)

Таким образом, среднее значение для произвольной функции F имеет вид

Xan

F (an)wan ;

(3.77)

ãäå

wan

j ~(an)j2 :

(3.78)

Мы считаем, что

j i = 1 :

(3.79)

тогда

Xan

wan

1 :

(3.80)

В виду произвольности функции F получаем, что wan имеют смысл вероятности полу-

		^
чения значения an при измерении величины, отвечающей оператору A.
Рассмотрим теперь случай непрерывного спектра
E^ =	Z	da j aih aj	(3.81)

	h	^								(3.82)
F =	h	jF (A)j i			= Z		da Z			(3.82)
=	h	jEF^	(A^)E^j i		= Z		da Z		da0 h j aih ajF (A^)j a0ih a0j i	(3.83)
	Z	Z		~ (a)F (a0)h aj a0i ~(a0)
=	Z	da	da0	~ (a)F (a0)h aj a0i ~(a0)						(3.84)
	Z	Z		~ (a)F (a0) (a a0) ~(a0)
=	Z	da	da0	~ (a)F (a0) (a a0) ~(a0)						(3.85)
=	Z	da F (a)j ~(a)j2								(3.86)
Мы использовали, что
					~(a0) =				h a0j i	(3.87)
					~ (a) = h j ai :					(3.88)
Таким образом, что среднее значение для произвольной функции F имеет вид
				F	=		Z	da F (a) (a) ;		(3.89)
ãäå
					(a)			=	j ~(a)j2 :	(3.90)
Мы считаем, что
						h	j	i = 1 :		(3.91)
тогда					Z
					Z	da (a)			= 1 :	(3.92)

В виду произвольности функции F получаем, что (a) имеют смысл плотности вероят-

ности получения значения a при измерении величины, отвечающей оператору A.

3.3.2Измеримость физической величины

Рассмотрим самосопряж¼нный оператор ^

A с чисто дискретным спектром

^[x]

A an (x) = an an (x)

h an0 j an i = an;an0 :

(3.93)

(3.94)

Произвольную функцию можно разложить по собственным функциям оператора A

= Xcan an = X ~(an) an (3.95)

an an

Как было определено выше, j ~(an)j2 вероятность того, что при измерении будет заре- гистрирована величина an.

Åñëè j ~(an)j2 = an;an0 , òî
=	c an0 ;	jcj = 1 :	(3.96)
Здесь говорят, что волновая функция	описывает состояние системы, в котором вели-
чина, отвечающая оператору ^
A, принимает определ¼нное значение (an0 ).

В случае дискретного спектра, чтобы физическая величина имела определ¼нное зна-

чение (со 100% вероятностью получалась an0 ), необходимо и достаточно, чтобы волновая функция, описывающая это состояние была собственной функцией оператора ^

A, отвеча-

ющей собственному значению an0 .

Для дискретного спектра измеримость физической величины означает, что мы можем предъявить состояние, в котором эта величина принимает определ¼нное значение.

Удобно сделать аналогичное утверждение в терминах понятия дисперсия. Дисперсия величины, определяемой оператором ^

A на состоянии , есть

j(A^ A)2j i

= q

(A^ A)2

;

(3.97)

ãäå

(3.98)

h jAj i

среднее значение величины, определяемой оператором

A на состоянии

j i :

(3.99)

j(A A)

Рассмотрим

^ 2

i = h

^ +

(3.100)

(A A)

j(A

(A A)j i

i = h'j'i

(3.101)

h(A A)

j(A

(3.102)

(A A)

Если дисперсия равна нулю, то ' = 0 и мы можем записать

(3.103)

= A

Физическая величина принимает определ¼нное значение в том состоянии, которое описывается собственной функцией соответствующего оператора. Функция должна при-

надлежать гильбертовому пространству. В этом случае

A является собственным числом

оператора ^

A, т.е., принадлежит дискретному спектру.

Заметим, что в общем случае (при ненулевой дисперсии) величина

A может не быть

собственным значением оператора ^

A или его точкой спектра.

Рассмотрим теперь случай, когда измеряемая величина принадлежит непрерывному спектру. В этом случае функции, удовлетворяющие уравнению

= a a

A a

(3.104)

h aj a0i

= (a a0) ;

(3.105)

не принадлежат гильбертовому пространству.

Рассмотрим следующую функцию

ãäå a = a2 a1 ;

a2 > a1 :

(3.106)

p a aZ1

da a ;

h j i =

da0 (a a0)

(3.107)

a aZ1

daaZ1

da0 h aj a0i = a aZ1

daaZ1

da = 1 :

(3.108)

a aZ1

В координатном (x) представлении эти равенства будут выглядеть следующим образом

(x)

da a(x) ;

ãäå a = a2 a1 ;

a2 > a1 :

p a aZ1

da0

dx a

h j i = a Z

da Z

(x) a0(x) = a Z

da Z da0 (a a0)

da = 1 :

a aZ1

(3.109)

(3.110)

(3.111)

Функция	принадлежит гильбертовому пространству (					2 L2).
Найд¼м дисперсию для состояния, описываемого функцией
A =		a2	a2		a2	a2	da0 a0h aj a0i (3.112)
A =	h jA^j i = a Z		da Z	da0 h ajA^j a0i = a Z		da Z	da0 a0h aj a0i (3.112)
	1			1

		a1	a1
	a2	a2		a2	da a
= a Z		da Z da0 a0	(a a0) = a Z		da a
1			1

		a1		a1
=	1		(a22 a12)		=	1

						2
	a			2
						a2

2 h j ^2j i 1 Z

A = A = a

(a2 + a1) :

0 h j ^2j i da da a A a0 =

a1		a1
			(3.113)
			(3.114)
	a2	a2	da0 a02h aj a0i (3.115)
a Z		da Z	da0 a02h aj a0i (3.115)
1

a1 a1

da a2

(3.116)

a aZ1

daaZ1

da0 a02 (a a0) = a aZ1

(a23 a13)

(a2

+ a2 + a1a2) :

(3.117)

^ 2

= h

^ 2

j i

(3.118)

(A A)

j(A

A) j

2AA + A

(3.119)

= A

2AA + A

(3.120)

(a2

+ a1 + a1a2)

(a2

+ a1)

(a22 + a12 2a1a2) =

( a)2 :

(3.121)

Видно, что

! 0 ;

ïðè a ! 0 :

(3.122)

Для каждого значения физической величины существует состояние, в котором эта величина принимает это значение либо точно (дискретный спектр), либо со сколь угодно малой (но ненулевой) дисперсией (непрерывный спектр). В этом смысле физическая величина измерима.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 6715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf