Если этот предел существует, то величину (a0) называют плотностью вероятности получения значения a0 при измерении физической величины a.

С определ¼нной погрешностью результаты измерения (a0) воспроизводятся при

проведении такого же эксперимента в другом месте и времени. Воспроизводится статистическое распределение величины a. Зная статистическое распределение ве-

личины a, мы можем посчитать е¼ среднее значение

Существование вероятности или плотности вероятности нахождения физической величины считаем экспериментальным фактом.

3.2Волновая функция

Чистое состояние системы описывается вектором гильбертова пространства (волновой функцией). Любой вектор гильбертова пространства описывает некоторое состояние системы.

Под системой мы будем понимать одну или несколько (конечное число) частиц, ион, атом, молекулу, кристаллическую ячейку.

В этом курсе квантовой механики мы в основном будем иметь дело с одной частицей. Замечание: тв¼рдые тела имеют макроскопические размеры и обычно рассматриваются как имеющие бесконечный размер. Соответственно, они содержат бесконечное число частиц. Для их описания используют функции непрерывного спектра, не принадлежащие

гильбертовому пространству. Тв¼рдое тело мы пока не рассматриваем.

Когда мы говорим, что волновая функция описывает состояние системы, мы имеем в виду, что с помощью не¼ мы можем получить статистическое распределение для любой физической величины.

65

Несколько (подмножество) векторов гильбертова пространства может описывать одно и то же состояние системы, давать одинаковые статистические распределения всех физических величин.

Принцип суперпозиции. Если существуют два состояния системы, описываемые волновыми функциями 1 è 2, соответственно. Тогда также существует состояние, яв-

Этот принцип есть следствие того, что линейная комбинация векторов гильбертова пространства принадлежит гильбертову пространству.

Иногда мы будем считать, что разные вектора гильбертова пространства, но дающие одинаковые статистические распределения для всех физических величин, вс¼-таки описывают разные состояния системы.

Состояние системы называется чистым, если оно описывается вектором гильбертова пространства, то есть, если он задан. Можно также сказать, что, если задана волновая функция, описывающая данное состояние системы, то это состояние чистое. С другими состояниями системы, которые называются смешанными, мы пока работать не будем.

Если нам заданы статистические распределения потенциально любой физической величины для данного состояния системы, то система должна быть замкнутой: система находится в поле классически заданных полей и других взаимодействий (с другими системами) не испытывает.

По умолчанию всегда будем считать, что вектора гильбертова пространства (волновые функции) нормированы на единицу

Рассмотрим волновую функцию в каком-то определ¼нном представлении. Пусть это будет координатное представление: пространство функций L2. В этом случае функция (x) описывает одну частицу в одномерном пространстве, и нормировка на единицу вы-

глядит следующим образом

1

Z

1

66

3.2.1Определение 1.

Будем считать, по определению, что j (x)j2 есть плотность вероятности обнаружить частицу в точке x

Раз ( 1) = 0, то мы можем говорить, что вероятность найти такую частицу на бес-

конечности равна нулю частица локализована в конечной области пространства. Вероятность найти частицу в конечной области пространства можно сделать сколь угодно

Согласно определению, плотность вероятности получить при измерении величину a есть

(a) = j ~(a)j2.

67

При переходе от Ур. (3.22) к Ур. (3.23) мы использовали Ур. (3.18). При переходе от

По определению, для дискретной переменной вероятность появления величины an

68

Рассмотрим среднее значение величины a

a = Xanj ~(an)j2 = X ~ (an)an ~(an) (3.31)

an an

При переходе от Ур. (3.32) к Ур. (3.33) мы использовали Ур. (3.27). При переходе от Ур. (3.33) к Ур. (3.34) мы использовали Ур. (3.26).

Таким образом, мы получаем, что для произвольного оператора ^

A, заданного в коор-

динатном представлении ( ^[x]

A ), среднее значение величины a для системы в состоянии

(x) имеет вид

1

Верхний индекс [x] обычно не пишут, предполагая, что понятно, в каком представлении задан оператор,

69

3.3Áðà- è кет-вектора

Введ¼м понятия бра- и кет-векторов (bra-c-ket).

Говорят, что бра-вектор h j является сопряж¼нным к кет-вектору j i. Удобно считать, что кет-вектор h j принадлежит абстрактному гильбертовому пространству, а бра-вектор

hj принадлежит сопряж¼нному пространству. Действительно, скалярное произведение

hj'i не зависит от представления. Следовательно, мы можем не указывать в каком

L. Мы не требуем эрмитовости оператора L. В сле-

дующем скалярном произведении предполагается, что оператор действует направо, т.е., на функцию '

Равенства (3.45) и (3.49) определяют, как действуют операторы в сопряж¼нном простран-

Будем считать, что все собственные значения невырожденные. Здесь j an i собственные функции (собственные кет-вектора) оператора ^. Произвольная функция j i может быть

A

70

XX

Выражение в круглых скобках можно рассматривать как единичный оператор

В координатном представлении этот оператор будет выглядеть следующим образом

Видно, что (x x0) есть ядро единичного оператора.

Будем считать, что все собственные значения невырожденные. Здесь j ai собственные

71