Глава 3
Основы квантовой механики
3.1Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины.
Каждой физической величине сопоставляется самосопряж¼нный (эрмитовский) оператор. Каждому самосопряж¼нному оператору соответствует некоторая физическая вели- чина.
Физическая величина принимает значения только из спектра соответствующего ей оператора.
Если у оператора чисто дискретный спектр, что соответствующая физическая вели-
чина принимает только дискретные значения. Пример: опреатор квадрата орбитального
2^2 ^
момента (~ l ), оператор проекции орбитального момента ( ~lz).
Если у оператора чисто непрерывный спектр, что соответствующая физическая величина пробегает непрерывные значения. Примеры: x^, p^.
В случае смешанного спектра у оператора соответствующая физическая величина принимает и непрерывные и дискретные значения.
^
Если физической величине a соответствует оператор A, то величине F (a) должен
^
соответствовать оператор F (A).
В секции Опыты, демонстрирующие волновые свойства электронов мы видели, что единичное измерение на эксперименте не воспроизводится на другом эксперименте. Однако статистическое распределение измеряемой величины воспроизводится.
Рассмотрим измерение физической величины a, отвечающей самосопряж¼нному опе-
ратору ^
A. Пусть измерения производятся много раз при одних и тех же условиях: 1)
63
приготавливаем систему; 2) производим измерение физической величины с помощью контакта прибора с системой.
|
Пусть оператор ^ |
|
|
|
|
; a2; : : :). В серии из n изме- |
|
A имеет чисто дискретный спектр (a1 |
|||||
|
рений значение a1 было получено m1 раз, значение a2 было получено m2 ðàç, : : :, |
|||||
|
значение ak было получено mk раз итд. Предел |
|
||||
|
wk = |
lim |
|
mk |
|
(3.1) |
|
|
n |
||||
|
|
n!1 |
|
|
||
|
называется вероятностью получения значения ak при измерении физической вели- |
|||||
|
чины a. Принимая во внимание, что |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
mk |
= n ; |
(3.2) |
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
мы можем записать |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
wk |
= |
1 : |
|
(3.3) |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Так как на эксперименте проводится конечное число измерений ( n < 1), то какието значения величины a могут ни разу не выпасть (для них mk = 0). С определ¼нной погрешностью результаты измерения wk воспроизводятся при проведении такого же эксперимента в другом месте и времени. Воспроизводится статистическое распределение величины a. Зная статистическое распределение величины a, мы можем посчитать е¼ среднее значение
|
1 |
|
|
Xk |
|
a = |
wkak : |
(3.4) |
|
=1 |
|
Чтобы не считать бесконечную сумму, заменяем е¼ на конечную и считаем среднее значение величины a приближ¼нно.
|
Пусть оператор ^ |
|
A имеет чисто непрерывный спектр (a1 a a2) (мы проводим из- |
|
мерения только на указанном отрезке). Разобь¼м отрезок [a1; a2] на непересекающи- |
|
еся малые интервалы длины a. Возьм¼м малый интервал [a0; a0 + a] и посчитаем |
|
сколько раз из n измерений результат измерения попадал в этот малый интервал |
|
(m[a0;a0+ a]). Предел |
w[a0;a0+ a] |
= lim |
m[a0 |
;a0+ a] |
(3.5) |
|
n |
|||
|
n!1 |
|
||
имеет смысл вероятности того, что при измерении величины чение из интервала [a0; a0 + a]. Рассмотрим предел
(a0) = lim w[a0;a0+ a] :
a!0 a
a будет получено зна-
(3.6)
64