Определим действие функции от оператора ^ |
|
|
^ |
|||||
|
|
|
|
|
A на собственные функции оператора A |
|||
следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
F (a) |
a(x) : |
(2.432) |
|
|
F (A) a(x) = |
|||||||
Действие функции от оператора |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A на произвольную функцию f(x) определим как |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
F (A^)f(x) = |
Z |
da f~(a)F (A^) |
|
a(x) = |
Z |
da f~(a)F (a) a(x) : |
(2.433) |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Рассмотрим частный случай, когда функция F может быть представлена в виде ряда |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
F (a) |
= |
|
ckak : |
|
(2.434) |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
Мы предполагаем, что ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае, можно показать, что функция от оператора имеет вид |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
Xk |
^k |
|
|
^0 |
^ |
|
F (A) |
= |
ckA |
; |
ãäå A |
= E : |
(2.435) |
||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
Мы умеем складывать и умножать операторы.
2.15Две теоремы о коммутирующих операторах
1. Если два самосопряж¼нных оператора ^ ^ |
A и B имеют общий базис, то они коммути- |
ðóþò. |
^
A
^
B
n |
= |
an |
n |
n |
= |
bn |
n : |
(2.436)
(2.437)
X
|
f |
= |
|
|
n |
^ ^ |
X |
|
^ ^ |
cn n |
|
[A; B]f = [A; B] |
||
n
cn n
^^ ^ ^
=(AB BA)
(2.438)
X
cn n |
(2.439) |
n
|
X |
|
= |
cn(anbn bnan) n = 0 ; 8f : |
(2.440) |
n
59
^
Так как Ур. (2.440) выполнено для каждой функции f, коммутатор операторов A
è ^ |
|
|
B является нулевым оператором |
|
|
^ ^ |
^ |
(2.441) |
[A; B] = |
0 : |
|
Теорема доказана.
2. Если два самосопряж¼нных оператора ^ ^ ^ ^ ^
A и B коммутируют (т.е., [A; B] = 0), то они
имеют общий базис.
^ |
= |
an n |
|
A n |
(2.442) |
||
^ |
= |
bn'n : |
(2.443) |
B'n |
Ограничимся случаем, когда все собственные значения операторов невырожденные.
^ ^ |
|
^ ^ ^ ^ |
8 n = 0 |
[A; B] |
n = (AB BA) n ; |
||
^ ^ |
n |
^ ^ |
|
AB |
= BA n |
|
|
^ ^ |
n |
^ |
|
AB |
= anB n |
|
|
Получаем, что функция ^ |
|
|
|
B |
|
|
|
собственным числом an. |
|
|
|
Так как спектр оператора |
^ |
|
|
|
A невырожденный, получаем, что функции |
||
могут отличаться только на константу
(2.444)
(2.445)
(2.446)
^
A ñ
^
n è B n
^ |
n ; |
8 n : |
(2.447) |
n = const B |
Получаем, что функции |
^ |
n являются собственными функциями для оператора B |
и, так как от самоспряж¼нный, образуют базис.
Так как мы ограничились случаем невырожденных собственных значений, мы можем положить
'n |
= |
n ; |
8n : |
(2.448) |
Сч¼тный набор f ng являетя общим базисом |
|
|
||
^ |
= an |
n |
|
|
A |
n |
(2.449) |
||
^ |
n |
= bn |
n : |
(2.450) |
B |
||||
В рамках указанного случая теорема доказана.
60
В случае наличия вырожденных собственных значений у оператора ^
A. Íàäî ðàñ-
смотреть подпространство, натянутое на собственные вектора, отвечающие вырожденному собственному значению. В этом подпространстве оператор ^
B можно вы-
разить через эрмитовскую матрицу. Эрмитовская матрица всегда может быть приведена к диагональному виду. Базисные функции, в которых эрмитовская матрица диагональна, будут собственными для обоих операторов.
61
25.09.2021
2.16Интегральный оператор в импульсном представ-
лении
Рассмотрим интегральный оператор, который зада¼тся своим ядком L(x; x0)
|
1 |
|
|
Lf^ (x) = |
Z |
dx0 L(x; x0)f(x0) : |
(2.451) |
|
1 |
|
|
Найд¼м, как этот оператор выглядит в импульсном представлении
Lf~ ~(p) = U^Lf^ |
(x) = |
1 |
dx |
p(x)Lf^ (x) |
Z |
||||
^ |
|
|
|
|
1
11
ZZ
= |
|
dx |
p(x) |
dx0 L(x; x0)f(x0) |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
= |
Z |
dx |
p(x) Z |
dx0 L(x; x0) Z |
dp0 p0(x0)f~(p0) |
1 1 1
= |
1 dp0 |
0 1 dx |
1 dx0 |
p(x) |
|
|
Z |
|
Z |
Z |
|
|
1 |
|
@ 1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
Z |
dp0 L~(p; p0)f~(p0) : |
|
||
1
p0(x0)L(x; x0)Af~(p0)
1
^
Ядро оператора ~
L выглядит следующим образом
11
ZZ
~ |
0 |
) = |
dx dx |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
) ; |
|||
L(p; p |
|
p(x) p0(x |
)L(x; x |
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L~(p; p0) = (2 ~) 1 Z |
dx Z |
dx0 e |
i(p0x~0 px) |
L(x; x0) : |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Ядра операторов |
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L и L связаны как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
dp0 e |
~ |
|
L~(p; p0) : |
||
L(x; x0) = (2 ~) 1 Z |
dp Z |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(px p0x0) |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(2.452)
(2.453)
(2.454)
(2.455)
(2.456)
(2.457)
(2.458)
(2.459)
62