2.12.3Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора с дискретным и непрерывным спектром
Рассмотрим оператор с дискретным и непрерывным спектром. Для краткости изложения будем считать, что все собственные значения (точки спектра) невырожденные
^
A
h an j h aj
an = an an ;
a0n i = an;a0n
a0i = (a a0) :
X
^
A a = a a ;
Z
f(x) = |
can an (x) + da ca a(x) |
|
an |
(2.386)
(2.387)
(2.388)
(2.389)
f~(a) =
Условие полноты
X
an
can |
= h |
an jfi |
|
(2.390) |
|||
|
ca |
= h |
ajfi : |
|
(2.391) |
||
h |
ajfi |
; |
|
для a из непрерывного спектра |
|
|
|
h |
an jfi |
; |
|
для a из дискретного спектра |
: |
(2.392) |
|
an (x0) |
an (x) + Z |
da a(x0) a(x) = (x x0) : |
|
(2.393) |
|||
2.13Оператор координаты и импульса в импульсном представлении
Оператор импульса в координатном представлении имеет вид
|
pf^ (x) = i~ |
d |
f(x) : |
(2.394) |
|||
|
|
||||||
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f~(p) = |
Uf^ (x) = h |
pjfi = |
Z |
dx p(x)f(x) |
(2.395) |
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
= |
(2 ~) 1=2 |
Z |
dx e ipx~ f(x) : |
(2.396) |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
55
pf^ (x) = g(x)
^ ~
p~f(p) = g~(p) :
^ |
~ |
^ |
+ |
p^ |
|
|
^ |
U |
|
|
|
U |
|||
p~ : f(p) ! f(x) ! g(x) |
! g~(p) |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p~^f~(p) = h |
p(x)jpf^ (x)i = |
Z |
dx |
p(x)^pf(x) |
|||
1
Z
= (2 ~) 1=2
1
1
Z
= (2 ~) 1=2
1
1
Z
= (2 ~) 1=2
1
dx e ipx~ ( i~)dxd f(x)
dx (i~) dxd e ipx~ f(x)
dx pe ipx~ f(x)
1
(2.397)
(2.398)
(2.399)
(2.400)
(2.401)
(2.402)
(2.403)
^ |
~ |
(2.404) |
= pUf(x) = pf(p) : |
||
^ ~ |
~ |
(2.405) |
p~f(p) = pf(p) : |
|
|
Рассмотрим другой вывод Ур. (2.405). Мы будем использовать следующие равенства
|
|
1 |
|
|
|
f(x) = |
Z |
dp0 f~(p0) p0(x) |
(2.406) |
1 |
|
1 |
|
|
Z |
dx p(x) p0(x) = |
(p p0) : |
(2.407) |
|
1 |
|
|
|
|
56
^ ~ p~f(p)
|
1 |
|
|
= h p(x)jpf^ (x)i = |
Z |
dx p(x)^pf(x) |
(2.408) |
1
11
ZZ
= |
dx p(x)^p dp0 f~(p0) p0(x) |
(2.409) |
1 1
11
ZZ
= |
|
dx |
p(x) dp0 f~(p0)p0 p0(x) |
(2.410) |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
dp0 p0f~(p0) (p p0) |
|
|
= |
Z |
(2.411) |
||
|
1 |
|
|
|
= |
pf~(p) : |
|
(2.412) |
|
Здесь мы не использовали явный вид импульсного представления. Следовательно, мы можем сказать, любой оператор ^
A в сво¼м представлении (в представлении a) имеет вид
умножения на переменную a. Оператор координаты
^ ~ |
|
^ |
|
|
^ |
^+ ^ |
x~f(p) = Uxf^ (x) = Ux^U Uf(x) |
||||||
^ |
~ |
^+ |
|
|
x^ |
^ |
U |
|
|
U |
|||
x~ : f(p) |
! f(x) |
! g(x) ! g~(p) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x~^f~(p) = U^xf^ (x) = |
Z |
dx |
p(x)^xf(x) |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
(2 ~) 1=2 |
Z |
dx e ipx~ xf(x) |
|||
(2.413)
(2.414)
(2.415)
(2.416)
1 1
Z
= (2 ~) 1=2 dx i~dpd e ipx~ f(x)
|
|
1 |
|
|
|
|
= i~dp |
1 |
dx e ~ |
f(x) |
|||
(2 ~) 1=2 Z |
||||||
|
d |
|
|
|
ipx |
|
|
d |
1 |
d |
|
|
|
|
^ |
|
~ |
|
||
= i~ |
dp |
Uf(x) = i~ |
dp |
f(p) : |
|
|
(2.417)
(2.418)
(2.419)
57
^ ~ |
d |
~ |
(2.420) |
|
|||
x~f(p) = i~dp f(p) : |
|
||
Найд¼м собственные функции оператора координаты в импульсном представлении
^ |
~ |
(p) = i~ |
d |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
x~ x0 |
dp |
x0 (p) = x0 x0 |
(p) ; |
||||||||
|
~ |
(p) = (2 ~) |
1=2 |
e |
|
ipx |
0 |
; |
|
||
|
~ |
|
|
||||||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|||||
~ |
~ |
|
x2) : |
|
|
|
|||||
h x1 j x2 i = (x1 |
|
|
|
||||||||
(2.421)
(2.422)
(2.423)
Функции Ур. (2.422) также можно получить, переведя собственные функции координаты (см. Ур. (2.305)) из координатного пространства в импульсное
x^ x0 |
(x) = |
x x0 (x) = x0 x0 (x) ; |
(2.424) |
|||||
x0 |
(x) = |
(x x0) ; |
1 |
(2.425) |
||||
~x0 (p) = |
h |
p(x)j x0 (x)i = |
Z |
dx p(x) x0 (x) |
(2.426) |
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
Z |
dx (2 ~) 1=2e ipx~ |
(x x0) |
(2.427) |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
= |
(2 ~) 1=2e |
ipx0 |
: |
|
|
(2.428) |
|
|
~ |
|
|
|||||
Функция Ур. (2.428) совпадает с Ур. (2.422).
2.14Функция от оператора
^
Мы хотим ввести понятие функции от оператора F (A).
Рассмотрим случай непрерывного спектра. При наличии дискретного спектра функция от оператора определяется аналогично.
^ |
a(x) |
|
= a a(x) |
(2.429) |
||
A |
|
|
||||
h |
aj |
a0i |
|
= (a a0) : |
(2.430) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f(x) |
|
= |
Z |
da f~(a) a(x) : |
(2.431) |
|
|
|
|
1 |
|
||
58