Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

6 сем / km-lectures-221025.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 6710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.11Унитарные операторы

Линейный оператор ^ в пространстве H называется унитарным, если выполнено

U^+ = U^ 1 :

(2.310)

èëè

^	+ ^	^	(2.311)
U	U	= E :	(2.311)

Эквивалентное определение: линейный оператор ^ в пространстве H называется уни-

тарным, если он отражает вс¼ пространство H на вс¼ пространство H и сохраняет норму:

	^	^	(2.312)
D(U) =		R(U)
^	k =	k k ; 8 2 H :	(2.313)
k U

Действительно, рассмотрим скалярное произведение

^	^	^	+ ^	8 ; ' 2 H :	(2.314)
hU	jU'i	= h jU	U'i = h j'i ;	8 ; ' 2 H :	(2.314)

Условие (2.312) необходимо для существования обратного оператора.

Можно сказать, что унитарный оператор переводит один ортонормированный базис в другой.

Рассмотрим действие унитарного оператора ^

U на следующее равенство

			^	= ' :						(2.315)
			A	= ' :						(2.315)
Получаем, что для любых функций ; ' 2 H выполнено
^ ^		^								(2.316)
UA		= U'								(2.316)
^ ^ ^+ ^		^	^+ ^	^						(2.317)
UAU U		= U' ;	U U = E							(2.317)
^	~		^	^ ^ ^	+		~	^	^
~	~	= '~ ;	~	^ ^ ^		;	~	^	^	(2.318)
A		= '~ ;	ãäå A = UAU			;		= U ;	'~ = U' :	(2.318)

Унитарный оператор определяет унитарное преобразование для элементов пространства H, соответствующее преобразование для операторов называется преобразованием

подобия.

Заметим, унитарное преобразование можно определить между разными простран-

ствами H	è	~
ствами H		H.
Унитарный оператор ^
		U определяет преобразование подобия для операторов
		^		^	+
		^	!	~ ^ ^ ^		:	(2.319)
		A	!	A = UAU		:	(2.319)

Свойства преобразования подобия

1. Åñëè	^ ^	^	^
	^ ^	~	~
	A = B, òî A = B.
			^	^
			A	= B ;
			^ ^ ^+	^ ^ ^+
			UAU	= UBU
			^	^
			~	~
			A	= B

2. Åñëè

^ ^

C = A + B, òî C = A + B.

3. Åñëè

^ ^

~ ~

C = AB, òî C = AB.

^ ^

= AB ;

^ ^ ^

^ ^ ^ ^

^ ^ ^

= UABU

= UAU

UBU

C = UCU

4. Åñëè

^ +

A = B, òî (A) = B.

= B ;

^ ^+ ^+

^ ^ ^+

UA U

= UBU

^ +

(A)

Здесь мы использовали

^ ^

~ ~

= AB :

(2.320)

(2.321)

(2.322)

(2.323)

(2.324)

(2.325)

(2.326)

(2.327)

^ ^ ^

^ +

^ ^+ ^

(2.328)

(UAU

)

= (U

)

(A)

(U)

= UA U

5. Спектр не меняется

A n

^ ^

UA n

^ ^ ^+ ^

UAU U n

^ ~

A n

= an n	(2.329)
^
= anU n	(2.330)
^
= anU n	(2.331)
= an ~n :	(2.332)

Таким образом, если an является собственным значением оператора A, оно также

является собственным значением оператора ~

2.12Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора

2.12.1Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора с дискретным спектром

Рассмотрим оператор с чисто дискретным спектром. Для краткости изложения будем считать, что все собственные значения невырожденные

	^
	A n(x) = an n(x) ;
	h nj n0i = n;n0 :
	X
f(x) =	cn n(x)

(2.333)

(2.334)

(2.335)

cn = h njfi ;

(2.336)

cn0

cn n;n0 = cn :

(2.337)

f(x) =

njfi n(x) =

n(x0)f(x0) n(x)

(2.338)

1 dx

n(x0)

n(x)! f(x0) ;

8f :

(2.339)

Условие полноты

n(x0)

n(x)

(x x0) :

(2.340)

Из Ур. (2.335) следует Ур. (2.340). Верно и обратное: из Ур. (2.340) следует Ур. (2.335). Также используют обозначения

		^	an	=	an an ;		(2.341)
h		A	an	=	an an ;		(2.341)
h		j	n i		n
	an		a0	=	an;a0	:	(2.342)

Здесь величина an пробегает дискретные значения.

f(x)	=	Xan	can an (x)	(2.343)
can	=	h an jfi ;		(2.344)

Условие полноты имеет вид

Xan	an (x0)		an (x)	= (x x0) :	(2.345)
Коэффициент can можно рассматривать как функцию дискретной переменной an
		can = f~(an) :			(2.346)
Функцию ~					^
f(an) называют функцией f в представлении оператора A
f~(an)		=	h an jfi		(2.347)
	f(x)	=	Xan	f~(an) an (x) :	(2.348)

Заметим, что функции an (x) вместе с Ур. (2.345) устанавливают взаимно однозначное соответствие между пространствами функций f и f~.

Покажем, что это соответствие не меняет скалярное произведение

f(x) =		Xan	f~(an) an (x)				(2.349)
g(x)	=	Xan0	f~(an0 ) an0 (x)				(2.350)
			1
hfjgi	=	an;an0 Z		dx f~ (an)		an (x)~g(an0 ) an0 (x)	(2.351)
		X 1
Воспользуемся ортонормированностью собственных функций Ур. (2.334)
	1
	Z	dx	an (x) an0 (x)			= an;an0 :	(2.352)
	1
	hfjgi	=	Xan		f~(an)~g(an) = hf~jg~i :		(2.353)

Таким образом, между пространствами функций f(x) и f~(an) установлено унитарное преобразование.

Скалярное произведение не зависит от представления.

2.12.2Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора с непрерывным спектром

Рассмотрим оператор с чисто непрерывным спектром. Для краткости изложения будем считать, что все собственные значения (точки спектра) невырожденные

= a

a ;

(2.354)

A a

h aj

a0i

(a a0) :

(2.355)

f(x)

da ca

a(x) ;

(2.356)

= h

ajfi :

(2.357)

Докажем равенство (2.357). Подставим в скаларное

произведение

h ajfi функцию f виде

)

(2.356) (где переменная интегрирования a заменена на a0

h ajfi =

da0 h

ajca0

a0i

= Z

da0 ca0h

a0i = Z

da0 ca0 (a a0) = ca : (2.358)

f(x)

da h

ajfi

a(x) =

dx0

a(x0)f(x0) a(x)

(2.359)

0 1

a(x)A f(x0) ;

Условие полноты

dx0

@ 1

da a(x0)

8f :

(2.360)

a(x0)

a(x)

= (x x0) :

(2.361)

Коэффициенты ca можно рассматривать как функции непрерывной переменной a

f~(a)

ca :

(2.362)

Функцию (f)(a) называют функцией f в представлении оператора A.

Заметим, что функции

a(x) вместе с Ур. (2.361) устанавливают взаимно однозначное

соответствие между пространствами функций f и f~.

Покажем, что это соответствие не меняет скалярное произведение

		1
f(x)	=	Z	da f~(a)		a(x)			(2.363)
		1
		1
g(x)	=	Z	da0 g~(a0)			a0(x)		(2.364)
		1	1			1
		1	1			1
hfjgi	=	Z	da Z	da0		Z	dx f~(a) a(x)~g(a0) a0(x)	(2.365)
		1	1			1

Воспользуемся ортонормированностью собственных функций Ур. (2.355)

1
Z	dx	a(x)		a0(x) = (a a0) :	(2.366)
1
			1	da f~(a)~g(a) = hf~jg~i :
hfjgi		=	Z	da f~(a)~g(a) = hf~jg~i :	(2.367)

Таким образом, между пространствами функций f(x) и f~(a) установлено унитарное

преобразование.

Скалярное произведение не зависит от представления.

Разложение по собственным функциям оператора импульса

						^					(2.368)
						A = p^:					(2.368)
				p^	p(x)	= p p(x)					(2.369)
							ipx
					p(x)	= (2 ~) 1=2e ~ :					(2.370)
f(x)	=	1				1	dp cpe	~
f(x)	=	Z	dp cp	p(x) = (2 ~) 1=2 Z			dp cpe	~			(2.371)
							ipx
		1		1		1			1
				1					1
cp	=	h	pjfi =	Z	dx	p(x)f(x) = (2 ~) 1=2			Z	dx e ipx~ f(x) :	(2.372)
				1				1

Коэффициенты cp, рассмотренные как функция переменной p, называют функцией f

в импульсном представлении
f~(p)	=	cp = h pjfi		(2.373)
~	=	^	h pjfi :	(2.374)
f(p)	=	Uf(x) =	h pjfi :	(2.374)

Условие полноты выполнено

p(x0) p(x) = (2 ~) 1

dp e ~ 0

ipx

ip(x x0)

= (2 ) 1

dp e

= (2 ) 1 (2 )

= (x x0) :

Здесь использовалось Ур. (2.298).

Разложение по собственным функциям оператора координаты

		^
		A = x^ :
x^ x0 (x)	=	x x0 (x) = x0 x0 (x)
x0 (x)	=	(x x0) :

(2.375)

(2.376)

(2.377)

(2.378)

(2.379)

(2.380)

f(x)	=	dx0 cx0	x0 (x) =		dx0 cx0 (x x0)			(2.381)
		1	1		1	1
			1			1
cx0	=	h x0 jfi =	Z	dx x0 (x)f(x) =		Z	dx (x x0)f(x) = f(x0) :	(2.382)
			1			1

Коэффициенты cx0 , рассмотренные как функция переменной x0, называют функцией f в координатном представлении

	f~(x0)	= cx0	= h		x0 jfi = f(x0) :	(2.383)
Условие полноты выполнено				1
1				1
Z	dx0 x0 (x0)	x0 (x)	=	Z	dx0 (x0 x0) (x x0)	(2.384)
1				1
			=	(x x0) :		(2.385)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 6710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 6 сем

#
14.12.20254.94 Mб0km-lectures-221025.pdf
#
14.12.20255.6 Mб0База квантовой механики.pdf
#
14.12.2025101.92 Кб0Доп задачи КМ.pdf
#
14.12.20252.35 Mб0клебши.pdf
#
14.12.20252.02 Mб0Локальная_калибровочная_инвариантность_Уровни_Ландау_.pdf
#
14.12.20253.52 Mб0Магнитный резонанс.pdf