Квантовая механика

О.Ю. Андреев

25 октября 2022 г.

Оглавление

1.3.4Опыт Дэвиссона Джермера (Clinton Joseph Davisson, Lester Germer).

2.2Примеры гильбертова пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Пространство l2: бесконечные последовательности комплексных чисел 17

1

2.10.2Собственные функции оператора координаты . . . . . . . . . . . . . 47

2.11Унитарные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.12Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора . . . 50

2.12.1Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора с дискретным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.12.2Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора с непрерывным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.12.3Разложение по собственным функциям самосопряж¼нного оператора с дискретным и непрерывным спектром . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.13Оператор координаты и импульса в импульсном представлении . . . . . . . 55

3.1Операторы в квантовой механике и физические величины. Вероятность и плотность вероятности нахождения физической вличины. . . . . . . . . . . 63

3.2Волновая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1Определение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3Áðà- è кет-вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.1Волновая функция. Определение 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.2Измеримость физической величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4Редукция волнового пакета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 Оператор импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5.1 Квантовые скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопреде-

л¼нности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7Уравнение Шр¼дингера (Erwin Schrodinger). Производная по времени от оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.8Оператор эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.9Стационарные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.10 Уравнение неразрывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.11Примеры гамильтонианов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.12Представление Гейзенберга (Werner Heisenberg) . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.12.1 Операторы координаты и импульса представлении Гейзенберга . . . 108

3.13Уравнения Эренфеста (Paul Ehrenfest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.14 Минимизирующий волновой пакет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2

3.15 Расплывание минимизирующего волнового пакета . . . . . . . . . . . . . . 117

3.15.1Расплывание минимизирующего волнового пакета. Пример свободной частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.16Полный набор квантовых чисел. Физический смысл скалярного произведения волновых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.17Матричное представление операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.1Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.2Качественный анализ спектра гамильтониана. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.3Симметрия (ч¼тность) решений стационарного уравнения Шр¼дингера . . 138

4.4Сравнение движения классической и квантовой частицы . . . . . . . . . . . 141

4.5Непрерывность волновой функции и е¼ первой производной . . . . . . . . . 143

4.6Прямоугольная потенциальная яма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.7Прямоугольный потенциальный барьер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.8Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.9Когерентные состояния гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . 167

4.10Импульсное представление уравнения Шр¼дингера . . . . . . . . . . . . . . 171

3

6.1Уравнение Дирака для свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.2Спектр и стационарные состояния уравнения Дирака для свободного элек-

трона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.3Полный угловой момент электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.4Зарядовое сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

6.5Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули. . . . . . . 274

6.6Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Релятивистские поправки. . 279

6.7Уравнение неразрывности для уравнения Дирака . . . . . . . . . . . . . . . 286

6.8Радиальное уравнение Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.9Собственные функции уравнения Дирака с определ¼нной энергией, полным угловым моментом и ч¼тностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.10Уравнение Дирака с кулоновским полем. Дискретный спектр . . . . . . . . 297

6.11Уравнение Дирака с кулоновским полем. Непрерывный спектр . . . . . . . 309

7.1Стационарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

7.2Квазивырожденная стационарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . 321

7.3Низший порядок теории возмущений для случая двух квазивырожденных уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.4Эффект Зеемана. Бесспиновая частица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

7.5 Аномальный эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

7.6Эффект Пашена-Бака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

7.7Эффект Штарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.7.1Квадратичный эффект Штарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.7.2Линейный эффект Штарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7.8 Теория нестационарных возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

7.9Квантовые переходы под действием гармонического во времени возмущения348

7.10Квантовые переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

7.11Примеры внезапного включения возмущения: толчок ядра атома . . . . . . 361

8.1Спин в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

8.2Движение в однородном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

8.3Фаза Берри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.4Плотность потока вероятности и векторный потенциал . . . . . . . . . . . . 385

8.5Эффект Ааронова-Бома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

4

9.1Рассеяние микрочастиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

9.2Функция Грина и интегральная форма уравнения Шр¼дингера. . . . . . . 406

9.3Формула Борна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

9.4Рассеяние заряженных частиц на экранированном кулоновском потенциале

(потенциале Юкавы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

9.5Рассеяние заряженных частиц атомами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

9.6Метод парциальных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

10.1Система тождественных частиц. Принцип Паули. . . . . . . . . . . . . . . . 430

10.2Одночастичное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

11.2Свойства матрицы плотности. Статистический оператор . . . . . . . . . . . 442

11.3Примеры чистых и смешанных состояний частицы со спином s = 1=2 . . . 446

11.4Квантовое уравнение Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

11.5Матрица плотности подсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

12.2Система двух электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

12.3Молекула водорода. Ковалентная связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

13.0.1Детерминант Слэтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

13.0.2Вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

13.0.3 Приближение Хартри-Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

5

Глава 1

Введение

Андреев Олег Юрьевич

Кафедра квантовой механики

http://fock.phys.spbu.ru/

1.1Список литературы

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая механика. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская механика)

2.Давыдов А.С. Квантовая механика

3.Абаренков И.В. Квантовая механика. Краткий конспект лекций И.В. Абаренкова

4.Абаренков И.В., Загуляев С.Н. Простейшие модели в квантовой механике

5.Иванов М.Г. Как понимать квантовую механику

6.Мессиа А. Квантовая механика. т.1,2

1.2Экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической механики

К концу 18 началу 19 веков накопилась масса экспериментальных данных, указывающих на то, что классическая механика не может корректно описывать свойства микромира.

6

Равновесное излучение. Излучение абсолютно ч¼рного тела.

Молекулы. Тв¼рдые тела.

Рассмотрим несколько экспериментов.

1.2.1Комбинационный принцип Ритца (Rydberg Ritz combination principle). 1908

Длины волн ( ) излучаемых фотонов удовлетворяют следующей эмпирической формуле

Уровни энергии атома водорода

1.2.2Опыты Франка Герца (James Franck, Gustav Hertz). 1914

Нобелевская премия 1925 года: За открытие законов соударения электрона с атомом. https://en.wikipedia.org/wiki/Franck-Hertz_experiment

Franck, J.; Hertz, G. Uber Zusammensto e zwischen Elektronen und Molekulen des

Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben [On the collisions between electrons and molecules of mercury vapor and the ionization potential of the same]. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (in German). 16, 457 467 (1914).

https://doi.org/10.1002/phbl.19670230702

Franck, J.; Hertz, G. (1914). Uber die Erregung der Quecksilberresonanzlinie 253,6durch Elektronenst e [On the excitation of mercury resonance lines at 253.6 nm

by electron collisions]. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (in German). 16, 512 517 (1914).

7