Методичка Зубкова

ется большим (порядка радиуса первой зоны Бриллюэна) изменением квазиимпульса. Обмен импульса может быть осуществлен с фононом, находящимся вблизи края зоны Бриллюэна фононов; при этом должно выполняться:

Из рассмотренного очевидно, что для переходов нужны высокоэнергетичные фононы. Заполненность фононной моды определяется выражением

(5.5). При низких температурах мало фононов, обладающих большой энерги-

ей. Поэтому следует ожидать, что при низких температурах междолинное рассеяние будет достаточно слабым и им можно пренебречь.

Межподзонное рассеяние дырок. Поскольку полупроводники, как пра-

вило, характеризуются сложной структурой валентной зоны, то в них оказы-

вается возможным рассеяние дырок между подзонами валентной зоны. При этом легкая дырка, претерпев рассеяние, попадает в зону тяжелых дырок и наоборот. Вследствие различия эффективных масс время релаксации для легких дырок существенно меньше [8].

Рассеяние на оптических колебаниях в полупроводниках с долей ионной связи. Полупроводники, кристаллизующиеся в решетку сфалерита,

имеют два различных атома в элементарной ячейке и поэтому обладают некоторой долей ионной связи. В таких полупроводниках электроны проводимости сильнее взаимодействуют с оптическими фононами, нежели с акустическими. Поскольку при оптических колебаниях смещение ионов в ячейке

происходит в противоположные стороны, то колеблющиеся разноименные

заряды (диполи) создают электрические поля, которые проявляются в виде поляризационных волн.* Эти диполи очень эффективно рассеивают электронную волну. Данный механизм носит название фрёлиховского рассеяния.

Максимальная энергия оптического фонона для кристалла, элементарная ячейка которого состоит из двух атомов с разными массами, характеризуется

температурой Дебая D :

В связи с этим механизм рассеяния на оптических полярных фононах имеет

существенно различный характер в зависимости от температуры. При низких

температурах (T D ) кинетическая энергия электронов kBT мала по срав-

* Шалимова К. В. Указ. изд.

71

Из атомной физики известно*, что угол рассеяния частицы связан с прицельным расстоянием формулой

ние от центра гиперболы, на котором потенциальная энергия вдвое больше

движения электрона.

Для расчета вероятности рассеяния частицы на примеси сделаем следующие предположения (модель Конуэлл–Вайскопфа):

1.Среднее расстояние между рассеивающими ионами ai 1 3 Nдеф .

2.Взаимодействие упругое.

Поскольку электрон движется в кристаллической решетке между рассеивающими ионами, то максимальное значение прицельного параметра b бу-

Дифференциальное сечение рассеяния , по определению, равно отно-

шению числа частиц, отклоненных центром в единицу времени на угол d в телесный угол d , к плотности потока падающих частиц. Выделим в плоско-

*Борн М. Атомная физика. М.: Мир, 1965. С. 384.

**Зеегер К. Физика полупроводников. М.: Мир, 1977.

73

На основании определения и равенства (5.9) можно записать

Выразив b и db из (5.7), после несложных преобразований получим:

Формула (5.10) была получена Резерфордом при изучении рассеяния α- частиц на ядрах тяжелых элементов. Из нее видно, что дифференциальное

сечение рассеяния v 4 .

Установим связь между и вероятностью рассеяния W v,v на угол

между и d ; последняя зависит от угла θ между скоростями v и v и их абсолютным значением. Это легко сделать по аналогии с (5.3):

W v,v W Nдефv .

Интегральное сечение рассеяния находят интегрированием по всем возможным углам:

Вкачестве минимального угла рассеяния принимается min , соответствующий прицельному расстоянию bmax в (5.8).

Впроцессе рассеяния на статическом дефекте электрон изменяет направление скорости движения. Если выбранный электрон претерпел рассеяние на угол , то относительное изменение составляющей скорости по

менение приводит к уменьшению соответствующей компоненты импульса. Таким образом, интегральное сечение рассеяния импульса (или, что то же самое – тока) будет учитывать этот множитель*:

min

* Зеегер К. Указ. изд.

74

Далее, поскольку согласно (5.4) постоянная времени 1, найдем, что времярелаксацииносителязаряда ивремярелаксациитока т соотносятсякак

т 1 cos .

Именно время релаксации тока контролирует подвижность, поскольку она определяется скоростью, с которой изменяется компонента полного импульса вдоль направления поля.

Подставив в (5.11) выражение для дифференциального сечения рассея-

ния (5.10), получим [4]:

Подробные вычисления интеграла (5.11) были проведены Конуэлл и Вайскопфом. Результирующее интегральное сечение рассеяния на ионизованной примеси можно представить в виде

т 2 bmax2 ln 1 x . x

гия электрона; Eпот – его потенциальная энергия в кулоновском поле иона. Далее рассчитаем постоянную времени рассеяния в соответствии с (5.4). Рассмотрим разные температурные диапазоны.

1. Высокие температуры. В этом случае Eкин Eпот min , т. е. x – ве-

Данное выражение обратно пропорционально четвертой степени тепловой скорости носителей заряда: т v 4 . Соответственно, для подвижности электрона с учетом выражения для средней скорости его теплового движения v 3kВT m * имеем:

т. е. с увеличением температуры эффективность рассеяния становится меньше и подвижность возрастает из-за высокой скорости движения электронов.

2.Низкие температуры. Здесь кинетическая энергия мала по сравнению

спотенциальной. Разложим ln 1 x в ряд по малому параметру x:

Отсюда следует, что, во-первых, интегральное сечение рассеяния не зависит от v, а, во-вторых, т Nдеф2/3 .

Далее оценим подвижность:

Окончательно для низких температур (когда тепловая энергия носителя заряда kBT Eпот ) при рассеянии на ионизованных примесях

ион T 1/2 Nдеф1/3,

т. е. в области низких температур ион уменьшается пропорционально T с ростом температуры. Кроме того, рост концентрации ионов приводит к падению подвижности пропорционально 3 Nдеф .

5.6. Рассеяние на поверхности

Поверхность полупроводника также является эффективным фактором, вызывающим рассеяние носителей заряда. Рассмотрим ее влияние на примере МДП-транзистора.

76

Рис. 5.6. Рассеяние носителей заряда на поверхности полупроводника: а – изменение волнового вектора дырки на интерфейсе под затвором МДП-структуры; б – соотношение подвижности дырок в канале транзистора и ее объемной величины [o. e.]

В p-канале МДП-транзистора дырки, двигаясь под воздействием приложенной разности потенциалов от истока к стоку, приобретают дрейфовую составляющую скорости vE . Поскольку канал делается очень тонким, то хаотическое движение дырок приводит к высокой вероятности их рассеяния на интерфейсе полупроводник–диэлектрик. Действующая со стороны затвора перпендикулярная составляющая электрического поля, в свою очередь, также вытягивает дырки к поверхности. Если бы поверхность была атомарно гладкой, то наблюдалось бы упругое рассеяние носителей заряда, при котором дрейфовая составляющая импульса не изменялась (рис. 5.6, а). Однако наличие шероховатостей интерфейса приводит к рассеянию импульса в произвольном направлении, что уменьшает дрейфовую составляющую импульса. Эксперименты показывают, что, увеличение напряженности поля под затвором E приводит к существенному уменьшению подвижности носителей заряда в канале по сравнению с их ожидаемой подвижностью в объеме полупроводника (рис. 5.6, б).

5.7. Рассеяние носителей заряда на дислокациях

Существует два механизма рассеяния носителей заряда на дислокациях. Первый обусловлен полем упругих напряжений вблизи дислокаций. Упругие напряжения приводят к локальным изменениям объема кристалла, поэтому имеется некоторая аналогия с деформационным потенциалом, который вызывает рассеяние носителей на тепловых фононах (рис. 5.7, а).

77

μ – низкая

ρ – большое

Криволинейный путь тока

Рис. 5.7. Рассеяние носителей заряда на дислокациях: а – модификация потенциала вблизи дислокации; б – протекание тока в кристалле перпендикулярно линиям дислокации

Второй механизм связан с акцепторным характером дислокаций в таких полупроводниках, какгерманийикремний. Вкристаллахn-типа, какобсуждалосьв гл. 2, дислокация вследствие оборванных связей приобретает отрицательный заряд, который должен быть окружен цилиндрической трубкой равного положительного заряда (рис. 5.7, б). В результате дислокационная линия создает сильный потенциал, который рассеивает электроны. Время релаксации здесь не зависит от температуры кристалла, а определяется плотностью дислокаций и скоростью электрона. Поэтому данный вид рассеяния может быть существенен при низкихтемпературах, когдарольрассеяниянаакустическихфононахпадает.

Подвижность носителей заряда в рассматриваемом механизме рассеяния зависит от направления. Если поток носителей заряда параллелен дислокации, то она не оказывает влияния на рассеяние компоненты импульса, которая параллельна дислокации. Поэтому подвижность меньше в направлении, перпендикулярном трубке, и больше в направлении, совпадающем с направлением трубки. Механизм рассеяниянадислокационныхтрубкахотсутствуетвкристаллахp-типа.

5.8.Межэлектронное рассеяние

Впроцессах рассеяния электронов друг на друге полный импульс системы электронов не меняется. В то же время эти столкновения влияют на подвижность носителей заряда, так как приводят к перераспределению энергии и квазиимпульса между электронами. Последнее обстоятельство существенно потому, что времена релаксации, связанные с рассеянием на фононах или ионизованной примеси, зависят от энергии носителей заряда. Таким образом, взаимодействие носителей заряда друг с другом, меняя функцию их распределения по

энергиям, может изменять интенсивность других механизмоврассеяния.*

* Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1990. 78

моноатомных полупроводниках Ge и Si. Рассеяние на ионизованных примесях при высоких температурах играет второстепеннуюроль.

В области средних температур роль рассеяния на колебаниях решетки снижается и главную роль начинает играть рассеяние на ионизованных при-

месях. Здесь для подвижности справедлива зависимость ион T 3/2 . При

очень низких температурах энергия электрона становится очень малой, а степень ионизации примесей резко падает. Здесь характер температурной зависимости подвижности, обусловленной рассеянием на ионах, изменяется на

ион T 1/2 . Очевидно, что с повышением концентрации ионизованных

центров подвижность носителей заряда падает.

Наконец, при приближении температуры к абсолютному нулю в кристалле практически не остается ионизованных примесей. В этом случае доминирующим механизмом оказывается рассеяние на нейтральной примеси. Время релаксации носителя заряда при взаимодействии с нейтральным дефектом не зависит от температуры, а обратно пропорционально концентрации дефектов Nн в кристалле: н 1 Nн .

Таблица 5.1

Температурная зависимость подвижности носителей заряда при различных механизмах рассеяния

Заметим, что проблема рассеяния на ионизованных примесях стала особенно актуальной для широкозонных полупроводников (GaN, SiC, алмаз), которые из-за больших энергий активации примеси необходимо легировать до очень высоких концентраций (>1019 см–3). Поэтому для подобных полупроводников разрабатываются специальные технологические методы легирования малой части кристалла типа дельта-легирования.

В табл. 5.1 приводятся сводные данные по температурной зависимости подвижности носителей заряда при различных механизмах рассеяния.

80