Методичка Зубкова

Как правило, дрейфовая добавка к скорости электрона в поле мала по сравнению с тепловой скоростью, поэтому неравновесная и равновесная функции распределения отличаются на малое приращение f1 :

ff0 f1.

Всилу аддитивного характера кинетического уравнения Больцмана все кинетические коэффициенты могут быть рассчитаны через f1 .

Из-за столкновения носителей зарядов с атомами кристаллической решетки их движение в направлении действия электрического поля будет прерывистым и может быть охарактеризовано средней скоростью. Средняя скорость движения носителей заряда в поле единичной напряженности называется подвижностью носителей заряда. В приближении времени релаксации подвижность выражается формулой [5]*

Подвижность электронов и дырок в полупроводнике зависит от зонной структуры материала и от механизма их рассеяния в кристаллической решетке. Характер зависимости подвижности от температуры, концентрации примесей, а также смысл эффективной массы m* в (4.13) рассматриваются в следующих главах.

*См. также: Ю П., Кардона М. Основы физики полупроводников. М.: Физмалит, 2002. 61

построенного на этой площадке, равно f ( p,r, t)vxdtdvxdvydvz . Все эти элек-

троны за время dt пересекут рассматриваемую площадку. Полное число электронов всех скоростей, пересекающих площадку за время dt , равно

dt f ( p,r, t)vxdvxdvydvz ,

при этом учитываются электроны, пересекающие площадку как слева направо, так и справа налево. Так как каждый электрон имеет заряд –q, то плотность тока в направлении x выражается интегралом

jx q f ( p,r, t)vxdvxdvydvz .

Так как f f0 f1, а f0 (E ) – четная функция vx , то интеграл по dvx от f0 (E )vx равен нулю и окончательно получим:

jx q f1( p,r,t)vxdvxdvydvz .

Таким образом, при рассмотрении кинетических явлений основной задачей является определение неравновесной функции распределения f ( p,r,t)

(или приращения f1( p, r,t) ). Эта задача решается при условии, что известен

интеграл столкновений (либо время релаксации), следовательно, необходимо знание механизма рассеяния носителей заряда.

4.3.Контрольные вопросы

1.Объясните физический смысл кинетического уравнения Больцмана.

2.Что является решением кинетического уравнения Больцмана?

3.Раскройте понятие фазового пространства.

4.Что характеризует неравновесная функция распределения?

5.Что такое интеграл столкновений?

6.В чем заключается приближение времени релаксации?

7.Что такое подвижность носителей заряда?

62

5.МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

ВПОЛУПРОВОДНИКЕ

5.1.Основные механизмы рассеяния. Общие положения

Движущиеся в кристалле электроны проводимости характеризуются

средней кинетической энергией E , которая имеет величину порядка 32 kBT , и

ная волна встречает на своем пути дефект, протяженность которого соизмерима с 4 , то она эффективно рассеивается, т. е. частично изменяет или

полностью утрачивает направленную составляющую скорости. Рассеяние носителей заряда в твердых телах – процесс взаимодействия электрона (дырки) с нарушениями идеальной периодичности кристалла, приводящий к потере направленной составляющей скорости. В результате акта рассеяния электрон переходит из состояния с импульсом p в состояние с импульсом p , кроме

того, также может измениться и его энергия.

Рассеяние называется упругим, если энергии электрона в начальном и

Есть триосновных источника, приводящих крассеянию носителей заряда:

1.Статические дефекты решетки. К ним относятся точечные дефекты: примесные атомы замещения, вакансии, междоузельные атомы. Кроме того,

кним относятся одномерные дефекты – дислокации, а также двумерные дефекты – межкристаллитные границы в поликристалле, интерфейсы гетероструктур и поверхность кристалла. Статические дефекты рассмотрены в гл. 2.

2.Динамические дефекты решетки. Эти дефекты связаны с движением атомов кристалла (фононы) или их спинов (магноны).

3.Кулоновское взаимодействие квазисвободных носителей заряда друг с другом [6].

Пусть свободные электроны, которые характеризуются концентрацией

n, движутся со средней скоростью vт в данном направлении. Тогда nvт есть плотность потока электронов, т. е. количество электронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направле-

63

5.2. Рассеяние носителей заряда на динамических дефектах

Основные сведения о тепловых колебаниях решетки. При темпера-

туре выше абсолютного нуля атомы в кристалле колеблются около своих положений устойчивого равновесия. Так как все атомы твердого тела связаны друг с другом упругими силами, то колебания любого из них передаются соседнему, и, таким образом, по всему кристаллу во всевозможных направле-

сой запрещенных частот, так что во всем интервале изменений волновых чисел частота оптических колебаний больше

частоты акустических. Для каждого типа (акустических или оптических) колебаний в трехмерном кристалле возможны три поляризации колебаний: одна продольная (LA, LO) и две поперечные (TA, TO). Для акустических мод соседние атомы в элементарной ячейке движутся в одном направлении (в фазе). Для оптических мод колебаний соседние атомы движутся в противофазе.

Энергия колебаний решетки квантована. Квант энергии тепловых колебаний решетки (фонон) обладает энергией Eф и квазиимпульсом

Pф .

65

Как известно из квантовой механики, электроны являются фермионами и подчиняются статистике Ферми–Дирака (3.3). В отличие от этого фононы являются бозонами, т. е. в кристаллической решетке может быть возбуждено одновременно сколь угодно одинаковых фононов. Число фононов в кристалле является переменной величиной и определяется из условий теплового равновесия. В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов данного типа с частотой j и волновым вектором q (т. е. заполненность

фононной моды) выражается распределением Бозе–Эйнштейна

где j – номер фононной моды (LA, TA и т. д., см. рис. 5.1).

На каждое колебание приходится средняя энергия jq n jq . Строго говоря, к этой энергии надо прибавить энергию нулевых колебаний, равную

12 jq . Но энергией нулевых колебаний кристалл обладает всегда, и ее

обычно принимают за начало отсчета.

Можно показать, что максимальная частота фонона для кристалла, элементарная ячейка которого состоит из двух атомов с массами m1 и m2 , вы-

максимальная энергия max kB D , где D – температура Дебая. Фактиче-

ски температура Дебая разделяет две температурные области. В области низких температур на энергию и теплоемкость решетки сильное влияние оказывают квантовые эффекты («вымерзание» высокочастотных колебаний). В области высоких температур эти эффекты несущественны и теплоемкость может быть вычислена в классическом приближении. Для большинства кристаллов D лежит в интервале от 100 до 300 К.

Чтобы вычислить среднюю энергию всех колебаний кристаллической решетки, нужно просуммировать среднюю энергию всех типов колебаний (всех состояний фононов):

Деформационный потенциал Edef есть, по определению, коэффициент

пропорциональности между величиной сдвига энергии соответствующей зоны EC и относительным изменением первоначального объема кристалла

EC Edef V V . Анализируя рассеяние электронов на деформационном по-

тенциале решетки, Бардин и Шокли показали [7], что для простого изотропного случая зоны проводимости основную роль играет рассеяние электронов на длинноволновых колебаниях решетки (вблизи точки Г), длина волны которых существенно больше межатомного расстояния. Поэтому в качестве волновой

функции электрона можно использовать плоскую волну k (r) Ceikr , а блоховскую периодическую составляющую рассматривать как константу.

отр 2

1

EC

EV

x = 0

Рис. 5.3. Продольные акустические колебания решетки кристалла: a – вариации энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны при наличии продольной акустической волны; б – рассеяние электрона на деформационном потенциале

Среднюю энергию движущихся электронов в невырожденном полупроводнике можно оценить как E 32 kBT . При не очень низких температурах

она намного превышает энергию акустических фононов jq в центре зоны

Бриллюэна. Поэтому рассеяние электронов на акустических колебаниях решетки, вызывающих изменение объема, можно рассматривать как упругое рассеяние, при котором электрон сохраняет свою энергию, но изменяет квазиимпульс, передавая или принимая его дискретными порциями от решетки.

Для оценки эффекта рассеяния на деформационном потенциале приведем рассуждения, рассматривая одномерный случай отражения плоской волны от прямоугольного барьера. Пусть частица, описываемая плоской волной

1 x eik1x , налетает на прямоугольный потенциальный барьер. Тогда су-

ществует вероятность, что она может либо отразиться, либо пройти через него, что выражается соответствующими волновыми функциями (рис. 5.3, б):

отр x re ik1x , 2 x teik2 x .

68

В силу общих условий, накладываемых на волновую функцию и ее производную, они должны оставаться непрерывными в точке разрыва потенциальной энергии. Поэтому при x 0 должны иметь место равенства

По определению, коэффициент отражения есть отношение интенсивно-

стей отраженной и падающей волн, т. е. R r 2 k22 . Выражение для k

4k

можно получить, продифференцировав по k дисперсионную зависимость

Подставив выражение EC Edef V V для изменения энергии, вы-

званное деформационным потенциалом, получим R m*2 Edef 2 V / V 2 .

4 4k4

Можно показать, что при тепловом расширении V V 2 kВT V , где –

коэффициент пропорциональности (объемный модуль упругости). Анализируемый механизм отражения от барьера повторяется в кристал-

ле с периодичностью 4 . Поэтому в качестве рассматриваемого объема естественно взять V 4 3 . Тогда

Как видно, коэффициент отражения от барьера R пропорционален температуре решетки T и не зависит от энергии электрона.

69

Вероятность рассеяния электрона на барьере равна коэффициенту отражения: W R . Если бы электрон с вероятностью W 1 отразился от единственного деформационного барьера, тогда его длина свободного пробега равнялась точно 4 . Таким образом, вероятность рассеяния можно выразить

как отношение периода деформационного потенциала к длине свободного

энергии электрона.

Длина свободного пробега электрона есть произведение средней скорости его теплового движения vт 3kВT m * и времени свободного пробега: lсв.пр vт . Тогда окончательно получим для постоянной времени рассея-

5.4. Проявление зонной структуры полупроводника и типа химической связи в решеточном рассеянии

Междолинное рассеяние электронов. Этот динамический механизм

рассеяния с участием фононов может наблюдаться в непрямозонных полупроводниках, зона проводимости которых содержит несколько эквивалент-

ных долин. В равновесных условиях электроны в долинах имеют одинаковую энергию и поэтому распределены поровну. Однако всякое воздействие (поле, давление, градиент температуры) приводит к перезаселению долин за счет

междолинного рассеяния.

В кремнии и других алмазоподобных полупроводниках n-типа различа-

ют два типа междолинного рассеяния:

– g-рассеяние, происходящее между данной долиной и долиной на противоположной стороне той же оси, например между долинами в направлени-

ях 100 и 100 ;

– f-рассеяние, когда электрон переходит из данной долины в одну из остальных(перпендикулярных) долин, напримериздолины 100 вдолину 010 .

Носители заряда в долинах отличаются направлением волнового вектора, и переход электрона из одной долины в k-пространстве в другую сопровожда-

70