Методичка Зубкова

2. При повышении температуры доля ионизированных примесных центров возрастает; при некоторой температуре будет достигнуто состояние истощения примеси, когда вся примесь оказывается ионизованной, т. е., например, в полупроводнике n-типа (дырками снова можно пренебречь):

n0 ND .

Данное соотношение остается справедливым в довольно широком интервале температур, пока не начнет превалировать термогенерация носителей «зона–зона».

3. При достаточно высоких температурах количество свободных носителей заряда, обусловленных термическими переходами из валентной зоны в зону проводимости, станет превышать количество примесных центров. В этом случае концентрация свободных носителей заряда оказывается не зависящей от концентрации примесей, и уравнение электронейтральности сводится к виду

(3.13), а температурная зависимость концентрации на этом участке определяется множителем Eg 2kB .

На рис. 3.5 качественно показана зависимость концентрации свободных носителей заряда (электронов или дырок) в широком диапазоне температур в полупроводнике, содержащем один тип примеси. Различают три участка: 1 – область слабой ионизации примеси (область вымораживания); 2 – область полной ионизации примеси (область истощения); 3 – область собственной проводимости. На рис. 3.5: Ts – температура истощения (см. также рис. 3.6);

На участке истощения примеси в полупроводнике p-типа имеет место

p0 NA ,

а высокотемпературный участок зависимости концентрации носителей заряда от температуры идентичен таковому в донорном полупроводнике и также описывается формулами (3.13) и (3.22).

Заметим, что в формулах статистики примесных полупроводников (3.21), (3.23) и подобных часто опускают EC и EV . Тогда ED и EA имеют

смысл энергии ионизации донорного и акцепторного уровней, отсчитываемых от края соответствующей разрешенной зоны.

3.8.Температурная зависимость уровня Ферми

вполупроводниках

Как видно из выведенных в 3.4 формул (3.7) и (3.9), концентрация свободных электронов и дырок определяется взаимным положением уровня Ферми и края соответствующей свободной зоны. С изменением температуры изменяется относительная степень ионизации собственных атомов полупроводника и атомов примеси, что вызывает изменение положения уровня Ферми. Как было отмечено, в общем случае положение уровня Ферми при определенной температуре находится численным решением уравнения электронейтральности (3.17), однако в ряде приближений можно получить для него аналитические выражения.

Проанализируем температурные зависимости положения уровня Ферми для случаев собственного полупроводника и примесного полупроводника.

1. Для невырожденного собственного полупроводника уравнение для нахождения уровня Ферми получим, приравнивая (3.10) и (3.11):

Данное уравнение при подстановке в него NC и NV имеет аналитическое решение:

где через Ei обозначена энергия середины запрещенной зоны.

При температуре абсолютного нуля, как видно из (3.24), уровень Ферми в собственном полупроводнике располагается точно посередине запрещенной зоны, а с ростом температуры он приближается к краю той зоны, где эффективная масса плотности состояний меньше (рис. 3.6, а).

43

Рис. 3.6. К расчету уровня Ферми в собственном полупроводнике:

а– изменение положения уровня Ферми с температурой (схематически);

б– приращение плотности заполненных состояний при изменении температуры на dT

Сувеличением степени ионизации собственных атомов полупроводника

втой зоне, где меньше масса плотности состояний, требуется заполнить количество состояний, занимающих большее приращение по энергии, как показано на рис. 3.6, б. Это и вызывает соответствующее смещение положения уровня Ферми в сторону зоны с меньшей массой плотности состояний с изменением температуры.

2. В невырожденном донорном полупроводнике уровень Ферми определяется из уравнения электронейтральности (3.18).

На участке низких температур, как показано в 3.7, концентрация свободных носителей заряда практически всецело определяется степенью ионизации примеси и подчиняется зависимости (3.21). С другой стороны, равновесная концентрация электронов может быть выражена через положение уровня Ферми (3.10). Приравняв эти формулы:

легко получим выражение для уровня Ферми

При T 0 К уровень Ферми располагается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси. С ростом температуры, пока выполняется gD NC ND , уровень Ферми приближается к дну зоны проводимо-

сти, а затем уходит к середине запрещенной зоны (рис. 3.7, а). Температура Ts , при которой EF ED , является температурой истощения. Заметим, что полная ионизация примеси (когда имеет место n0 ND ) соответствует положению уровня Ферми на несколько kBT ниже уровня примеси ED .

44

После достижения температуры наступления собственной проводимости Ti уровень Ферми ведет себя как в собственном полупроводнике, подчиняясь

зависимости (3.24).

фик уровня Ферми ведет себя с возрастанием температуры, как показано на рис. 3.7, б.

3.9. Расчет концентрации носителей заряда в компенсированном примесном полупроводнике

На практике наряду с основной легирующей примесью в полупроводнике почти всегда присутствует и некоторое количество примеси противоположного типа. Рассмотрим случай, когда наряду с одноэлектронной донорной примесью имеются частично компенсирующие ее акцепторы, при этом NA ND . В данном случае изначально имеются свободные состояния для

электронов на акцепторной примеси, которые энергетически расположены

проводимости. Тогда концентрацией свободных дырок можно пренебречь, и уравнение электронейтральности имеет вид

1. При выполнении условий n0 NA и n0 ND NA , что реализуется

при очень низких температурах и высокой степени компенсации, приближенное решение данного квадратного уравнения дает концентрацию свободных электронов*

2. С повышением температуры вид выражения для n0 зависит от соот-

ношения концентраций доноров и акцепторов. Если степень компенсации мала ( NA ND ), то можно найти область температур, для которой выполня-

ется соотношение NA n0 ND . В этой области температурная зависимость концентрации носителей заряда приближенно описывается формулой

* Решение см.: Шалимова К. В. Физика полупроводников. М.: Энергоатемиздат, 1985. 46

3. С дальнейшим повышением температуры вся некомпенсированная примесь оказывается термически ионизованной. На участке полной ионизации примеси выполняется

n0 ND NA .

4. Участок собственной проводимости наступает при еще более высоких температурах. Здесь для компенсированного примесного полупроводника, как и для полупроводника с одним типом примеси, вкладом примесей в концентрацию свободных носителей заряда можно пренебречь, и уравнение электронейтральности снова имеет вид n0 p0 .

Концентрации электронов и дырок при этом выражаются формулой (3.13), а температурная зависимость концентрации на этом участке также определяется множителем Eg 2kB .

5. Для акцепторного компенсированного полупроводника имеем аналогичные выражения для концентрации дырок на участке низких температур:

Далее с повышением температуры наступает участок

а участок полной ионизации примеси характеризуется равенством

p0 NA ND .

3.10.Расчет положения уровня Ферми

вкомпенсированном примесном полупроводнике

Вполупроводнике с частично компенсированной примесью ход уровня Ферми в области примесной проводимости существенно отличается от такового в некомпенсированном полупроводнике. Пусть в невырожденном полупроводнике опять имеются доноры и акцепторы, причем NA ND . Уравне-

ние электронейтральности (3.26) при условии NA NA можно свести к квадратному уравнению (3.27):

Аналитическое решение данного квадратного уравнения достаточно громоздко, его вывод можно найти, например, в учебнике К. В. Шалимовой.*

* Шалимова К. В. Указ. изд.

47

ответствующей разрешенной зоны и могут легко отдавать электрон либо дырку. Так, в полупроводнике, легированном донорами, возникает дополнительное количество подвижных электронов в зоне проводимости. Это сопровождается смещением уровня Ферми ко дну зоны проводимости в соответствии с (3.10). Далее, поскольку количество дырок в валентной зоне также определяется расстоянием уровня Ферми до нее, то в соответствии с (3.11) концентрация дырок в валентной зоне падает. Электроны являются основ-

ными носителями заряда в донорном полупроводнике, определяя тип и про-

водимость материала. Дырки, соответственно, оказываются в таком полупроводнике неосновными носителями заряда. Аналогично, в акцепторном полупроводнике дырки являются основными носителями заряда, а электроны – неосновными. В то же время, как видно из сопоставления (3.10) и (3.11), произведение концентраций n0 и p0 для невырожденного полупроводника не зависит от наличия примесей и положения уровня Ферми, а определяется

Соотношение (3.29) имеет большое значение для физики полупроводников и носит название закона действующих масс. Зная равновесную концентрацию носителей заряда одного типа, с его помощью можно рассчитывать концентрацию носителей заряда другого типа.

С учетом неосновных носителей заряда уравнение электронейтральности для донорного полупроводника, как указывалось ранее, имеет вид (3.17). На участке неполной ионизации примеси концентрация дырок на много порядков меньше концентрации электронов. Только при относительно высоких температурах, когда наступает истощение примеси и существенно возрастает веро-