Методичка Зубкова

3.СТАТИСТИКА РАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

ВПОЛУПРОВОДНИКАХ

3.1. Общие положения

Равновесной концентрацией носителей заряда называется их концентрация в валентной зоне и зоне проводимости при отсутствии внешних возмущений (свет, электрическое поле и др.). При температуре абсолютного нуля в невырожденных полупроводниках равновесные электроны заполняют полностью валентную зону, а зона проводимости абсолютно свободна. С повышением температуры возникает определенная вероятность разрыва отдельных связей в кристалле, что приводит к выбросу некоторой части валентных электронов на свободные энергетические уровни зоны проводимости. Вероятность таких переходов экспоненциально зависит от энергии активации и температуры.

Существует два основных канала термической генерации носителей заряда: ионизация собственных атомов и ионизация различных дефектов (примесей, междоузельных атомов и т. д.). Как было показано в гл. 2, дефекты образуют локальные уровни в запрещенной зоне с энергией ионизации меньшей, чем у собственных атомов. Наиболее важный случай – искусственно вводимые примеси замещения, энергетические уровни которых расположены вблизи дна зоны проводимости или потолка валентной зоны. При низкой температуре такие примеси определяют концентрацию свободных носителей заряда. При повышении температуры примеси истощаются в силу их ограниченной концентрации, и дальнейший рост числа электронов и дырок связан с термической ионизацией собственных атомов полупроводника. Нахождение концентраций свободных и связанных носителей заряда является одной из основных задач физики полупроводников.

3.2.Плотность разрешенных состояний

Всостоянии термодинамического равновесия в кристалле существует равновесное распределение электронов по различным квантовым состояниям. В результате в кристалле устанавливается определенная концентрация квазисвободных электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Кроме того, в кристалле может содержаться некоторое количество электронов и дырок, связанных на донорных и акцепторных уровнях.

Для нахождения равновесной концентрации носителей заряда при определенной температуре необходимо знать число разрешенных энергетических состояний электронов и вероятность заполнения данного состояния частицей.

31

Из квантовой механики известно, что объем элементарной ячейки зоны

Бриллюэна кристалла в p-пространстве равен h3. Поэтому число квантовых состояний, соответствующих элементу объема dp и рассчитанное на единицу объема кристалла, равно (с учетом двух возможных проекций спина) 2dph3 . Теперь, если знать дисперсионную зависимость E p или E k ,

можно вычислить плотность электронных состояний для случая конкретного полупроводника.

Из физики конденсированного состояния известно, что плотность разрешенных состояний вблизи дна зоны проводимости в точке k 0 для изотропного параболического закона дисперсии (1.3) выражается корневой зависимостью

где mn* – эффективная масса электрона. Примером таких полупроводников

являются бинарные A3B5 соединения GaAs, InAs, InP и др.

Второй вариант реализуется, когда экстремум зоны проводимости располагается не в точке k 0 . В этом случае имеет место анизотропия эффективной массы электрона. Кроме того, следует учитывать, что плотность состояний увеличивается в M раз, где M – число эллипсоидов равной энергии

(см. рис. 1.8):

Выражение (3.2) можно свести к виду, аналогичному (3.1), если ввести

эффективную массу плотности состояний для электронов m*dn M 2/3 mn*1mn*2mn*3 1/3 .

В результате подстановки получим

Для принятого квадратичного приближения зависимости E k три эффективные массы соответствуют трем полуосям эллипсоида энергий. Таким образом, эллипсоид равной энергии зоны проводимости для удобства вычислений можно заменить воображаемой сферой, содержащей эквивалентное количество электронных состояний.

32

пределение в сильной степени зависит от температуры (рис. 3.2). Для электронов это соответствует случаю, при котором выполняется EC EF kBT .

Такой электронный газ называется невырожденным и для него приближенно справедлива функция распределения Больцмана:

Противоположный случай имеет место, когда концентрация носителей заряда в зоне оказывается высокой настолько, что их средняя энергия становится значительно больше средней тепловой энергии kBT , т. е. вызываемое

флуктуацией температуры приращение концентрации свободных носителей заряда оказывается пренебрежимо малым по сравнению с уже существующей концентрацией. Такой электронный газ называют вырожденным. В этом случае уровень Ферми располагается выше дна зоны проводимости, так что

EF EC kBT .

Вероятность того, что при данной температуре состояние с энергией E не занято электроном, т. е. занято дыркой, определяется как

fp E, T 1 fn E, T 1 exp 1EF E .

kBT

Функция распределения дырок аналогична функции распределения Ферми–Дирака для электронов с той только разницей, что энергия дырок формально должна отсчитываться в противоположную сторону (от потолка EV в глубь валентной зоны).

34

Аналогично, для невырожденного дырочного газа может использоваться распределение Больцмана

fp E, T exp (E EF) kBT 1.

3.4.Равновесная концентрация свободных носителей заряда

вполупроводнике

Если известна плотность разрешенных состояний в зоне проводимости gn E , то плотность занятых электронами состояний определяется произве-

дением gn E fn E . Для вычисления равновесной концентрации электронов

при определенной температуре необходимо проинтегрировать эту величину по всем энергетическим состояниям зоны проводимости:

n0 EC max gn E fn E dE,

EC

где EC max – энергия потолка зоны проводимости.

Для простой зоны в кубическом полупроводнике с законом дисперсии E k EC 2k 2 2m* имеем плотность разрешенных состояний в зоне проводимости, выражаемую (3.1). Тогда

Верхний предел интегрирования можно распространить до бесконечности, поскольку подынтегральная функция быстро спадает с ростом энергии. Если ввести безразмерные переменные

E EC , EF EC , kBT kBT

то интеграл в (3.5) удобно выразить через так называемый интеграл Ферми половинного индекса:

Равновесная концентрация электронов в зоне проводимости тогда равна

Величина NC называется эффективной (приведенной) плотностью со-

стояний в зоне проводимости. В реальных полупроводниковых материалах следует вместо m n* в (3.5) использовать эффективную массу плотности со-

стояний m*dn , чтобы учесть особенности зонной структуры. Тогда выражение для NC можно записать как

зоне проводимости в области энергий порядка kBT выше дна зоны. Заметим, что при T 0 эффективная плотность состояний равна нулю.

Расчет концентрации дырок в валентной зоне проводится аналогично,

где введена эффективная плотность состояний в валентной зоне:

В ряде частных случаев можно получить упрощенное аналитическое выражение для интегралов Ферми.

1. Если число электронов в зоне относительно мало и изменяется с температурой ~kBT (случай невырожденного полупроводника), то можно использовать распределение Больцмана (3.4). Тогда вместо (3.6) имеем

Используя справочное значение определенного интеграла

получим для концентрации электронов из (3.7):

Концентрация дырок в невырожденном полупроводнике рассчитывается по аналогичной схеме без учета спин-орбитальной отщепленной зоны; при этом энергия дырок отсчитывается от потолка валентной зоны:

При EC EF 4kBT (т. е. 4 ) погрешность этих формул не более 1 %.

2. В сильно вырожденном полупроводнике n-типа уровень Ферми находится глубоко в зоне проводимости (рис. 3.3). Такой полупроводник ведет себя подобно металлу, и можно считать, что электроны распределены в зоне проводимости до уровня Ферми. При 5 экспонентой в (3.6) можно пренебречь:

Рис. 3.3. Вырожденный полупроводник: а – распределение Ферми–Дирака; б – плотность заполненных состояний

Тогда концентрация электронов

Выражение для дырок в вырожденном акцепторном полупроводнике записывается аналогично.

37

Концентрация свободных носителей заряда в вырожденном полупроводнике от температуры не зависит, это легко видеть из сопоставления (3.12)

свыражением для эффективной плотности состояний NC (3.8).

3.5.Равновесная концентрация электронов и дырок

всобственном полупроводнике

Всобственном полупроводнике концентрацией примесей и электрически активных дефектов можно пренебречь, и генерация свободных носителей заряда происходит только парами путем разрыва собственных связей кристалла. Поэтому равновесные концентрации электронов n0 и дырок p0, опре-

деляемые выражениями (3.7) и (3.9), в собственном полупроводнике равны друг другу. На рис. 3.4 приведены функция Ферми–Дирака и плотность разрешенных и заполненных состояний для случая невырожденного собственного полупроводника.

Рис. 3.4. Невырожденный собственный полупроводник: а – распределение Ферми–Дирака; б – плотность разрешенных и заполненных состояний

Как правило, в отсутствие специально вводимой легирующей примеси концентрации свободных носителей заряда в таком полупроводнике оказываются малыми и удовлетворяют больцмановскому экспоненциальному приближению. Тогда легко показать, перемножив (3.10) и (3.11), что для невырожденного собственного полупроводника при данной температуре концентрации свободных электронов и дырок определяются только шириной запрещенной зоны Eg материала:

где через ni обозначена собственная концентрация носителей заряда. При

использовании формулы (3.13) необходимо учитывать, что ширина запрещенной зоны сама зависит от температуры (1.4), что является следствием изменения постоянной решетки и электрон-фононного взаимодействия.

Поскольку в собственном полупроводнике свободные электроны и дырки рождаются парами (т. е. равновероятно), из выражений (3.7) и (3.9) следует, что уровень Ферми в таком полупроводнике должен находиться на одинаковом расстоянии от энергетических положений EC и EV , т. е. в середине

запрещенной зоны. На самом деле разная плотность энергетических состояний в валентной зоне и зоне проводимости приводит к сдвигу EF от середины запрещенной зоны. Подробный расчет будет сделан в 3.11.

3.6. Статистика электронов в примесном полупроводнике. Фактор вырождения энергетического уровня

Для получения заданных свойств полупроводники легируют примесями, которые поставляют дополнительные носители заряда и придают материалу электронный или дырочный тип проводимости.

При наличии в полупроводнике легирующей примеси следует учитывать степень вырождения примесного уровня. Рассмотрим типичный случай водородоподобного донора. В нейтральном состоянии он может иметь «лишний» электрон в любом из двух энергетических состояний, отличающихся ориентацией спина. Однако при наличии на нейтральном дефекте одного электрона захват второго оказывается невозможным из-за сильного кулоновского отталкивания. Учет этого эффекта обеспечивается введением в равновесную функцию Ферми–Дирака, характеризующую вероятность заполнения электроном локального энергетического уровня Et , фактора вырождения gt :

Как было указано в 3.3 gt gt1 gt0 , т. е. равен отношению кратности вырождения энергетического уровня Et при наличии на нем электрона ( gt1 ) к кратности вырождения этого же уровня, свободного от электрона ( gt0 ).

Так, для водородоподобных доноров в полупроводнике gt1 2 (нейтральный донор может удержать электрон в одном из двух эквивалент-

39

ных состояний с различной ориентацией спина) и gt0 1 (ионизированный

донор имеет только одно возможное состояние). Таким образом, для водородоподобных доноров обычно gt gt1 gt0 2 . Для акцепторов в германии,

кремнии, а также в полупроводниках AIIIBV gt1 1; акцептор, захвативший

электрон, оказывается ионизированным, при этом все четыре ковалентные связи насыщены, так что такое состояние единственно. Акцептор в нейтральном состоянии имеет три электрона и одну ненасыщенную связь. Электрон в этом состоянии может иметь любую ориентацию спина. Поэтому кратность вырождения нейтрального водородоподобного акцептора в алмазоподобных полупроводниках gt0 2 . Учитывая двукратное вырождение валентной зоны

большинства полупроводников, следует считать акцепторное нейтральное состояние четырехкратно вырожденным. Тогда фактор вырождения для водородоподобного акцептора равен gt 14 .

Количество ионизированных доноров определяется вероятностью того,

а ионизированных акцепторов – вероятностью того, что акцепторный уровень занят электроном:

3.7. Уравнение электронейтральности

Рассмотренные ранее соотношения (3.7), (3.9), (3.15), (3.16) позволяют связать концентрации электронов и дырок в соответствующих зонах, а также находящихся на локальных уровнях, с положением уровня Ферми. Важно, что количество электронов, дырок и заряженных дефектов в полупроводнике не может быть произвольным и в равновесии суммарный заряд Q должен удовлетворять условию электронейтральности Qi EF 0 . В общем слу-

i

40