-2-360~1

на этой оси.

2) Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения.

3)Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

2.Метод разбиения. Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют формулы (2), в которые можно подставить не силы тяжести элементарных частиц Gi , а силы тяжести составных ча-

стей; под координатами понимают xi , yi , zi - координаты центров тяжести частей, на которые тело разбито. Для плоской фигуры применяют формулы (3).

3.Метод отрицательных масс (площадей). Этот метод заключается в том, что тело (плоскую фигуру), имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу (площади) свободных полостей считают отрицательными. Вид формул при этом не меняется. Для плоских фигур используют формулы (3), в которых площади свободных полостей подставляются со знаком минус. То есть при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу (площади) свободных полостей отрицательными.

4.Метод подвешивания основан на второй аксиоме статике (рисунок 1.68,а). Если тело в виде пластинки любой формы подвесить на нити, например в точке А, то при равновесии центр тяжести тела обязательно займет положение на вертикали, проходящей через точку подвеса А, так как только в этом положении центра тяжести сила тяжести и реакция нити AO уравновешивают друг друга. С помощью отвеса OD отметим на теле линию AA1 , на которой

расположен искомый центр тяжести. Подвесив затем тело на нити в другой точке, например В (рисунок 1.68,б), получим линию BB1 , которая пересечением с линией AA1 фиксирует положение центра тяжести С.

Рисунок 1.68 – Метод подвешивания

Положение центра тяжести некоторых плоских фигур.

1) Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии,

71

то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей или в точке пересечения диагоналей (рисунок 1.69, а).

2)Треугольник. Центр тяжести площади треугольника лежит на расстоянии одной трети высоты от каждого основания (рисунок 1.69, б).

Для прямоугольного треугольника центр тяжести лежит на расстоянии одной трети от вершины прямого угла (рисунок 1.69, в).

3)Круг. Центр тяжести площади круга лежит в точке пересечения осей симметрии (рисунок 1.69, г).

yC 0 .

Рисунок 1.69 – Положение центра тяжести некоторых плоских фигур

Пример решения задач. Задача.

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием. Размеры указаны на чертеже (рисунок 1.70)

Решение.

Разбиваем фигуру на элементарные Простые части, которых здесь будет три: два прямоугольника I и II и круглое отверстие III. Определяем координаты центров тяжести и вычисляем площади этих элементарных частей

72

(см. рисунок 4). При этом площадь отверстия будем считать величиной отрицательной.

73

1.2. Кинематика 1.2.1. Основные понятия кинематики

1.2.1.1 Кинематика как наука о механическом движении

Кинематика – эта часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел без учета действующих сил.

Рассматривая движение твердого тела, нетрудно установить, что в общем случае различные его точки совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость в первую очередь изучить движение отдельных точек тела. Чтобы определить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то неподвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета.

Под системой отсчета нужно понимать абсолютно жесткое тело или неизменно связанную с ним систему координат, относительно которых рассматривается данное движение.

Движение заданного тела обнаруживается только путем сравнения с системой отсчета.

Вряде случаев в кинематике рассматривается подвижная система отсчета, которая совершает какое-либо движение относительно основной системы отсчета.

Вприроде вообще не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему координатных осей, связанную с Землей, Рассмотрим для примера движение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz. .Положение точки в пространстве определяется, тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение.

Кривая, которую описывает точки при своѐм движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые - движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.). Траектории движения одной и той же точки в зависимости от принятой системы отсчета (системы координат) будут различными. Например, траектория движений крюка мостового крана относительно его фермы - вертикальная прямая линия. Если же при этом кран перемещается, то траектория движения крюка относительно неподвижной системы отсчета, т. е. относительно неподвижного наблюдателя, будет

74

выглядеть иначе.

Вслучае прямолинейного равномерного движения мостового крана крюк относительно неподвижной системы отсчета будет перемещаться по наклонной прямой линий. Движение точки в пространстве прежде всего определяется ее скоростью. Скоростью называется величина характеризующая быстроту и направление движения точки в данный момент времени. В зависимости от скорости движение тела может быть равномерным и неравномерным.

При равномерном движений скорость постоянна по величине; при неравномерном — переменна. Изменение, скорости во времени характеризуется величиной ускорения.

При изучении движения точки необходимо различать два важных по- нятия—пройденный путь и расстояние.

Расстояние определяет положение точки на ее траектории и отсчитывается от некоторого начала отсчета. Расстояние является алгебраической величиной, так как в зависимости от положения точки относительно начала отсчета и принятого направления отсчета расстояний оно может быть и положительным и отрицательным. В отличие от расстояния путь, пройденный точкой, всегда положителен. Путь совпадает с абсолютным значением расстояния только в том случае, когда движение точки начинается из начала отсчета и совершается по траектории в одном направлений.

Вобщем случае движение точки может начинаться из некоторого произвольного ее положения на траектории, не совпадающего с началом отсчета расстояний. Тогда для определения этого исходного положения точки вводится понятие начального расстояния. Если точка, выйдя из данного начального положения, не совпадающего с началом отсчета; движется по траектории в одном направлении, то пройденный ею путь равен абсолютному значению разности расстояний в начальном и конечном положениях. Встречаются случаи, когда точка совершает по траектории колебательное движение: например, движение поршня двигателя внутреннего сгорания, движение маятника часов. Здесь при определении взаимосвязи между путем

ирасстоянием следует учитывать количество колебаний, совершенных до рассматриваемого момента. Для обозначения расстояний мы будем пользоваться буквой S, для пути не будем вводить особых обозначений, учитывая изложенное выше. Путь и расстояние могут различаться между собой только на какую-то постоянную величину, зависящую от положения начала отсчета.

Это можно записать так: Sp Sп Sо ,

где S p —расстояние точки от начала отсчета, Sп —пройденный путь, Sо —

75

расстояние от начала отсчета до начального положения точки (величина постоянная).

Вдальнейшем нам придется вычислять производные от пути по времени

иот расстояния по времени. Дифференцируя по времени формулу, получаем

яния и пути тождественно равны.

76

1.2.2. Кинематика точки 1.2.2.1. Способы задания движения точки

Самым общим случаем движения точки является движение по криволинейной траектории.

Для изучения криволинейного движения точки необходимо уметь определить положение точки в назначенной системе отсчета (системе координат) в любой момент времени.

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. Движение точки может быть задано двумя способами.

1. Естественный, или геометрический, способ. При этом задается траектория точки (графически или аналитически) и закон движения точки по траектории. Пусть произвольная точка А перемещается по заданной траектории (рисунок 1.71, а). Принимая точку О за начало отсчета пути, пройденного точкой А по своей траектории, уравнение движения можно записать в виде S f (t) , где S — путь, пройденный точкой А от начала отсчета; t — время.

В каждый данный момент это уравнение определяет положение точки

А.

2. Координатный, или аналитический способ. Положение движущейся в плоскости точки (рисунок 1.71, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, x и у являются некоторыми функциями времени:

x f1 (t); y f2 (t)

Этими уравнениями движение точки в плоскости вполне определяется, так как для каждого данного момента времени t можно вычислить координаты точки и, следовательно, указать ее положение.

Рисунок 1.71Способы задания движения точки

77

Уравнения называются уравнениями движения точки в прямоугольных координатах. С их помощью можно найти уравнение траектории движения точки. Для этого из уравнений нужно исключить параметр — время t и найти зависимость между координатами точки: .

Решение задач.

Задача.

По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траек-

тории.

x at 2 ,

y bt.

Решение.

Из уравнения нужно исключить параметр t. Из второго уравнения

Это уравнение параболы.

78

1.2.2.2. Уравнения движения. Виды движения точки. Средняя скорость, ускорение

Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

Скорость равномерного движения измеряется отношением пути, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого

промежутка времени v St , где v — скорость; S — путь; t — время.

Приведенная формула позволяет установить, в каких единицах скорость измеряется. Очевидно, скорость измеряется в единицах длины, отнесенных к единицам времени, — м/сек, см/сек, км/ч и т. д.

Если же точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называется неравномерным.

Из этого определения ясно, что скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени .

Часто бывает необходимо определить среднюю скорость неравномерного движения за некоторый промежуток времени, т. е. скорость такого воображаемого равномерного движения, при котором точка проходит за определенный промежуток времени такой же путь, как и при неравномерном движении.

Пусть S — путь, проходимый точкой при неравномерном движении, и t — время, за которое точка проходит этот путь. Средняя скорость опреде-

лится по формуле v ср St .

Рассмотрим теперь, как определяется скорость при естественном за-

дании движения точки.

Пусть точка А перемещается по заданной траектории по некоторому закону S f (t) (рисунок 1.72, а). За промежуток времени t точка А переместится в положение А1 по дуге AA1, длину которой обозначим S .

Если заменить дугу AA1 ее хордой, то можно найти в первом приближений некоторую среднюю скорость движения точки по формуле

vср AA1 S .t t

Эта скорость направлена по хорде от точки А к точке А1. Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при t 0 учитывая, что хорда

Когда t 0 , направление хорды в пределе совпадает с направлением

79

касательной к траектории в точке А.

Скорость является вектором, ее величина определяется как первая производная, от расстояния по времени, а направление совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Когда движение точки задано координатным способом, ее скорость можно определить через проекции на координатные оси.

Следовательно, проекции скорости точки на прямоугольные координатные оси при координатном способе задания движения определяются как первые производные от соответствующих координат точки по времени.

В общем случае при движении по криволинейной траектории скорость точки изменяется и по направлению и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Первое слагаемое полного ускорения характеризует изменение величины скорости и направлено по касательной к траектории, его называют ка-

сательным ускорением at dvdt .

Второе слагаемое полного ускорения определяет изменение направ-

ления скорости и называется нормальным ускорением an v2 .

Полное ускорение точки является векторной величиной и определяется как геометрическая сумма касательной и нормальной составляющих: a at an .

Если движение точки задано координатным способом, то ее полное ускорение можно определить через проекции на координатные оси. Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным по

времени от соответствующих координат: ax d 2 x ; ay d 2 y .

dt2 dt2

По заданным проекциям ускорения можно найти его полную величину

a ax2 ay2 .

Рисунок 1.72Скорость точки при естественном задании движения точки.

Характер движения точки и форма ее траектории в конечном итоге определяются ее ускорением. Рассмотрим все возможные случаи движения точки и проанализируем выведенные выше формулы для касательного и нормального ускорений.

80