-2-360~1

2.8 Устойчивость сжатых стержней 2.8.1. Устойчивые и неустойчивые формы равновесия. Критическая си-

ла. Формула Эйлера для определения критической силы

Третьей задачей сопротивления материалов являются расчеты конструкции на устойчивость.

Тело, обладающее устойчивостью, находится в равновесии. Равновесие тела может быть:

1)устойчивым, так, шар, лежащий на вогнутой поверхности, находится в состоянии устойчивого равновесия (рисунок 2.58,а). Если ему сообщить небольшое отклонение от этого положения и отпустить, то он снова возвратится в свое исходное положение;

2)безразличным, так, шар, лежащий на горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия (рисунок 2.58 , б). Будучи отклоненным от этого положения, он в исходное положение не возвращается, но движение его прекращается;

3)неустойчивым, например, шар, лежащий на выпуклой поверхности, находится в состоянии неустойчивого равновесия (рисунок 2.58, в). Будучи отклоненным от первоначального положения, он продолжает двигаться дальше.

Рисунок 2.58 – Виды равновесия

Для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия.

Если по каким-либо причинам упругое тело или конструкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Например, длинный стержень при действии сравнительно небольшой осевой сжимающей силы (меньшей некоторого критического значения) находится в состоянии устойчивого равновесия (рисунок 2.59, а). Если незначительно изогнуть его какой-нибудь поперечной нагрузкой и затем эту нагрузку убрать, то стержень вновь распрямится, примет первоначальную форму равновесия. Искривленная форма равновесия стержня при этом оказывается неустойчивой и потому невозможной.

201

При значении сжимающей силы, превосходящей определенное критическое значение, наоборот, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и поэтому сменяется криволинейной формой равновесия, которая является при этом устойчивой (рисунок 2, в).

Рисунок 2.59Длинный стержень при действии осевой сжимающей силы

Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Fcr (рисунок 2.59, б).

По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны. Исследования показывают, что, пока сжимающая сила меньше критической, прогибы стержня будут небольшими, но при приближении значения силы к критическому они начинают чрезвычайно быстро возрастать (рисунок 2.59).

Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значении осевой нагрузки F сохранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом некоторым запасом устойчивости, который определяется коэффициентом запаса устойчивости:

SS Fcr

F .

Если допускаемый коэффициентом запаса устойчивости задан, тогда условие

ется в пределах от 1,8 до 3, для чугуна -от 5 до 5,5 для дерева - от 2,8 до 3,2. Для расчетов сжатых стержней на устойчивость надо уметь определять

критическую силу. Впервые эту задачу математически решил Леонард Эйлер в 1744 г. (по национальности швейцарец, он прожил в России 30 лет, был академиком Петербургской Академии наук, оставил неизгладимый след в механике и математике).

202

где Е - модуль упругости первого рода или модуль Юнга;

Jmin - наименьшей из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости;

Рисунок 2.60 - Способы закрепления стержней: а) оба конца шарнирно закреплены; б) один конец жестко закреплен, другой свободен;

в) один конец закреплен шарнирно, второй имеет «плавающую» заделку; г) один конец заделан жестко, второй имеет «плавающую» заделку; д) оба конца заделаны жестко; е) один конец заделан жестко, другой закреплен шарнирно.

Вывод формулы Эйлера основан на законе Гука, который справедлив только до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональ-

ности pr , поэтому формулой Эйлера можно пользоваться невсегда.

Для определения пределов применения формулы Эйлера определим критическое напряжение:

В эту формулу входят две геометрические характеристики сечения стержня:

Jmin - минимальный осевой момент инерции и А – площадь сечения.

203

J min

Частное от деления A - представляет собой величину, имеющую размерность м2 , поэтому линейную величину:

рактеризует его сопротивляемость потере устойчивости: с увеличением гибкости стержня уменьшается его сопротивляемость потери устойчивости.

Гибкость стержня не зависит от материала, а определяется геометрическими характеристиками: длиной стержня, его формой и размерами сечения.

висит только от физико-механических свойств материала стержня, и постоянна для данного материала.

Условие применяемости формулы Эйлера: dan , т.е формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости того материала, из которого он изготовлен.

Разработку современных методов расчета на устойчивость таких стержней начал Ф. С. Ясинский, который предложил приближенные формулы для определения критических напряжений за пределом пропорциональности, проанализировав предварительно обширный экспериментальный мате-

териалов. График зависимости сr от для стержней из пластичного материала (низкоуглеродистой стали) показан на рисунке 2.61.

204

Рисунок 2.61График зависимости сr от для стержней из пластичного материала

В результате исследований подобных графиков стержни условно делятся на три группы:

1) стержни большой гибкости ( dan ), для которых критические напряжения определяются по формуле Эйлера;

ментально. Некоторые значения этих коэффициентов, а также гибкости, в интервале которых применима для данного материала формула Ясинского, приведены в таблице 1.

риалов. Такие стержни рассчитывают не на устойчивость, а на прочность, как при простом сжатии.

В зависимости от цели различают три вида расчета на устойчивость: 1) Проверочный, когда определяют коэффициент запаса устойчивости

Задача. Проверить на устойчивость сжатую стальную стойку (рисунок 4),

если SS ,adm 4 ; Е = 2 . 105 МПа, pr = 230 МПа.

Решение:

1. Определяем предельную гибкость материала стойки:

Следовательно, запас устойчивости стойки соответствует требуемому

.

206

Раздел 3. Детали машин 3.1. Основные положения и понятия

3.1.1. Классификация машин и механизмов. Требования, предъявляемые к машинам, деталям и сборочным единицам

Машиной называют механизм или устройство, выполняющие механические движения и служащие для преобразования энергии, материалов или информации с целью облегчения или замены физического или умственного труда человека и повышения его производительности.

Структура любой машины состоит из шести блоков, приведенных на рисунке 3.1

Рисунок 3.1- Структура машины:

Машины делят на:

1)машины-двигатели – энергетические машины, предназначенные для преобразования энергии любого вида в энергию исполнительных органов рабочих машин (электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания, паровые машины, турбины и т.п.)

2)рабочие машины - для замены и облегчения физического труда человека по изменению формы, свойств, состояния, размера и положения обрабатываемых материалов. Они делятся на:

- технологические (металлорежущие станки, прокатные станы, дорожные

исельскохозяйственные машины манипуляторы, промышленные роботы и др.);

- транспортные - для перемещения различных грузов (автомобили, тепловозы, самолеты, вертолеты, подъемники, конвейеры и т.п.);

3) информационные - для преобразования информации, а также для облегчения и замены логической деятельности человека при выполнении расчетных и контрольных операций и операций управления производственными процессами (счетные и вычислительные машины).

207

Механизм – устройство, предназначенное для передачи и преобразования движения. Механизм обязательно входит в состав машины, но может быть и самостоятельной единицей, например, часовой механизм.

Звено механизма – одна или несколько жестко соединенных деталей. Различают входные и выходные звенья.

Входное – звено, которому движение сообщается извне.

Выходное – звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

В каждой паре совместно работающих звеньев в направлении силового потока различают ведущие и ведомые звенья.

Ведомое – звено, которое получает движение от ведущего звена. Кинематическая пара – соединение двух звеньев, обеспечивающее их

относительную подвижность (винт – гайка, зубчатая передача, шарнир и.т.п.) По характеру движения кинематические пары могут быть вращатель-

ными, поступательными, винтовыми и т.д.

Соединение кинематических пар называется кинематической цепью. Они бывают замкнутые (рисунок 3.2, а) и разомкнутые (рисунок 3.2, б). 1,2,3,4,5, 6,7 – звенья; О, А, В, С, D, E, F – точки соединения двух звеньев

Рисунок 3.2 – Кинематические цепи

Таким образом, механизм состоит из звеньев, соединенных между собой кинематическими парами.

Все машины и механизмы состоят из деталей, сборочных единиц и узлов. Деталь – изделие, изготовленное из однородного по наименованию и марке материала без применения сборочных операций. Детали могут быть простыми, например, шпонка, болт, гайка, или сложными, например, корпус

редуктора, станина станка, коленчатый вал. Детали объединяют в узлы.

208

Узел – законченная сборочная единица, состоящая из ряда деталей, имеющих общее функциональное назначение (подшипник, муфта и т.п.).

Сборочная единица – изделие, составные части которого подлежат соединению между собой сборочными операциями (сваркой, склеиванием, соединением винтами, болтами и т.п.).

Детали и узлы делятся:

1)детали общего назначения (валы, зубчатые колеса, подшипники, болты, винты и т.д.(их расчет и конструирование изучают в разделе «Детали машин»);

2)детали специального назначения (коленчатый вал, ходовой винт,

шпиндели станков, канаты и др.).

Все детали и узлы общего назначения делят на:

1)соединительные детали и соединения (сварные, резьбовые, шпо-

ночные и др.);

2)передачи вращательного движения (ременные, зубчатые, червяч-

ные и др.);

3)механизмы поступательного, колебательного и прерывистого движения (рычажные, кулачковые, храповые, мальтийские и др.)

4)детали и узлы, обслуживающие передачи (валы, подшипники,

муфты и др.)

Основные требования, предъявляемые к машинам, сборочным единицам и деталям.

1)Работоспособность – состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными норматив- но-технической документацией. Основные критерии работоспособности:

- прочность – способность детали сопротивляться разрушению или возникновению пластичных деформаций под действием приложенных нагрузок. Конструкция будет прочной, если рабочие напряжения, возникающие в деталях, не превышают допустимых. Однако, излишние запасы прочности приводят к громоздкости и удорожанию конструкции.

- жесткость – способность деталей сопротивляться упругим деформациям, т.е. изменению их формы и размеров под действием нагрузок. Под жесткостью деталей подразумевают ограничение упругих деформаций в пределах заранее установленных для определенных условий их работы. Чрезмерные упругие деформации могут привести к нарушению правильности работы деталей, отчего они быстро выходят из строя.

- износостойкость – сопротивление трущихся деталей изнашиванию. Износ приводит к изменению размеров, формы и состояния трущихся поверхностей, в результате снижается точность работы машин и приборов, па-

209

дает КПД, увеличиваются динамические нагрузки. Износостойкость определяется правильным выбором материала и смазки, всесторонним учетом особенностей работы трущихся деталей.

-теплостойкость – способность конструкции сохранять работоспособность в пределах заданных температур. Для установления температурного состояния изделия при работе производят тепловые расчеты и при необходимости применяют водяное охлаждение, циркуляционную смазку и др.

-виброустойчивость – способность конструкции работать в заданном диапазоне режимов без резонансных колебаний. Виброустойчивость как критерий работоспособности характерна для быстроходных машин. Вибрации снижают качество работы машины, вызывают дополнительные переменные напряжения, которые приводят к усталостному разрушению деталей.

2) Высокая производительность и надежность. В зависимости от назначения конструкции и условий ее эксплуатации надежность может включать в себя безотказность, долговечность и сохраняемость.

3) Удобство и безопасность в обслуживании.

4) Экономичность в изготовлении и эксплуатации (небольшие габариты, низкая металлоемкость (масса), низкая энергоемкость).

5) Технологичность - обеспечение заданных эксплуатационных показателей при наименьших затратах времени, труда, материалов и средств на создание данной конструкции.

6) Ремонтопригодность – приспособленность конструкции к предупреждению, обнаружению и устранению отказов (удобный ремонт, быстрая замена изношенных деталей).

7) Транспортабельность – удобство при транспортировке.

8) Соблюдение правил технической эстетики (машинам следует придавать красивый вид, сочетающийся с целесообразностью форм).

9)Удовлетворение требованиям техники безопасности.

10) Максимальная взаимозаменяемость, использование унифицированных и стандартных деталей.

Важнейшей предпосылкой стандартизации и унификации является широкое применение предпочтительных чисел, т.е. специально подобранных величин, которыми рекомендуется пользоваться во всех отраслях народного хозяйства. При расчете деталей машин полученные расчетом линейные размеры (диаметры, длины, высоты и др.) необходимо округлять (как правило в большую сторону) до предпочтительных.

210